Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 44
Текст из файла (страница 44)
= 1шс у(!) х(!) — — о Ь = 1шс (у(г) — х(4)) = а Рйп ($0 1 — — ) = — оо, :1 о созз ! с а-о с- -' — о г г Рнс. 42 Следов~тельно, асимптот нет. График кривой при всех ! (сов ! ~ 0) изображен иа рис. 42. 1ь Представив уравнения кривых в параметрической форме, построить эти кривые, если: 18Я хг+!г хо+ус 4 Очевидно, что график функции симметричен относительно осей координат.
Представим кривую при х > 0 и у > 0 в параметрическом виде, положив у = гх (! ~ )0); 1+12 1+42 1+ г" " ''(/ 1+ г' Вычисляя производные х' и у', выясняем вопрос об экстремумах функций х(2) и у(!)с (! — 212 — !') 1, 1+ 212 .(!) (! ! !4)2 ' (1) (1+ !с)2 ' Отсюда следует, что прн ! = 0 достигается минимум функции х(!), Ряс. 40 равный 1 (у = О); при ! = 1/~2 — 1 достигается максимум функции х(!), равный с( — -сГЯ+~ (= 2)' у = ~); прв ! = 1с /2 + 1 достигается максимум функции у(!), равный с! — (х = ~() . ст~~+с / Нетрудно проверить, что в точках пересечения кривой с координатными осями существует касательная к кривой (рис. 43), В 188 22 з з ч Полагал у = гх, получим 1 1 2 х = — — 1, у= — — ! (Г ~0). !2 196 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Если параметр 2 изменяется в интервалах ) — оо, О[ и )О, +оо[, то переменная х может принимать все значения от — со до +со; следовательно, функция у = у(х) определена при всех значениях х. Из параметрического представления кривой получаем равенства 2 1 1 2 г у= — х — — + —, у =х — 2+2, С 22' из которых непосредственно вытекают асимптотические соотношения: уг х при 2 шО (при этом х +со, у шоо); у х прн 2 шоо (при этом т — ~ шоо, у — со).
г г Полагал в исходном равенстве х — у = о, х + у = э, получим равенство (о — и ) 12ого + 4е, которое указывает на симметрию графика кривой относительно оси э = О, т. е. 3 относительно прямой х + у = О. Вычисляя производные 2 (1 ! 223) 12 223 (23 ! 723 ! 1) з (Ф) 4* 2+ 2' ' йх' (2+ 23)' 3, З 3 3 3; находим, что прн 22 = — т/2 = -1,26 (ха = 2212= 1,89; уа = — — у4= — 2,38) обе пронзя 3 Ь 3 3, водные у и у,, не существуют, а у„' = 0 при гг = — 122 — -0,79 (хг = '-у4 2,38; уг = --~/2 — 1,89) . Далее, у'„'г = 0 при П = — 3 1г 4' ' -1,90 (хг 2,18; у1 -4,14) и при 23 = — / ю -0,53 (хз ю 4,14; уз ш -2,18). Пользуясь этими данными и таблицей строим график функции у = у(х) (рис.
44). М 184. Построить график кривой сйг х — сйг у = 1. И График кривой симметричен относительно координатных осей, так как при замене х иа — х и у на -у уравнение кривой вида не меняет. Если х > 0; у > О, то уравнение ветви кривой примет вид аЬ х = сЬ у, откуда х =!и (с!г у + 1/1 + сЬ у), Имеется асимотота х = Ьу+ 5, где й= !пп — )=1; х(у) э +с у 3 = йш (х(у) — у) = О. э + Рис. 44 Найдем производную аЬу „221+ сйг у откуда следует, что функция х = х(у) возрастает при у > О, а в точке у = 0 достигается минимум, равный 1а (1+ ч'2).
Далее, 2с!гу хаг = 3 (1+сЬ'у)2 откуда вытекает, что кривая выпукла вниз при у > О. Принимая во внимание симметрию кривой относительно осей координат, строим график функции (рис. 45). ° 111. Построение графиков функций по характерным точкам Построить графики функций, заданных в полярной системе координат (р, р) (р > О): 185. р = с —, где «р > 1 (а > О).
1Л «э р — 1' Рис. 4Т Рис. 45 Рис. 46 М Функция р(р) непрерывна как элементарная; йш р(р) = +ао, т. е. имеется асимптота «зо р = 1; Гцп р(«р) = О, т. е. кривая асимптотически входит в полюс по спирали. э-+ Возьмем производную 1 1Л«р Рр " Лз ( 1) ( 1)э так ках р — 1 < — зЛ2«р при «р > 1, то р' < О; следовательно, функция р(«р) убывает (рис. 46). > 1 р-1 186. р = агссоз —. Рэ и Область существования функции определяется неравенством !р — 1! <Р откуда следует,что — 1+ ьр5 Рг = ~<р <+са. 2 Предельные зиачеиия «р в граничных точках: !пп «р(р) = т; Гйп Р(р) = —.
р р14з ' р «с 2' Так как Р— 1 Ф р', то функция «р(р) нулей ие имеет и положительна. з Производная этой функции р — 2 'рр = Я(;--')' показывает, что в точке р = 2 достигается минимум функции, равный агссаз —. В точке р = рд производная ие существует; функция в этой точке принимает краевой максймум, равный «г. При р«< р < 2 функция убывает, а при р > 2 — возрастает, как уже было отмечено (см.
предельные значения р в граничных точках), имеется вертикальная асимптота. Найдем ее расстояние а от полюса, Имеем р — 1 а = !пп рсоз~р(р) = Ьп р — = 1. Р р р г"рафик изображен иа рис. 47. И 198 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Построить графики семейства кривых (а — переменный параметр); 1 ат, = . *,/ (о:*') ° Рассмотрим два случая. а) а > 0 и б) а < О. а) а > О. Область существования функции: 1 — хз > О, т. е.
)х) < 1, Нули функции: *ч, =*.Г:;,а -1 — . ф,.« .,=*,ЛО-'. )-. Ч '+" Ч 1-~ х < . 1 —" отрицательна; при — 1 < х < . г= функция у = х — а(1 — хз) отрицательна, а Ч '+ Ч '+" при . à —" < х < 1 — положительна. Ч ге Находим производную у =1ж ~се:*ч о, ......,...,. „..., = .;.,~лг —.*~ ...,....,.. -,т . ~/ +1 1 :+г, е ° ° -'-,~à — *) - -* *=-д— )/ +1 — с/л+ 1. Точки х = ж1 являются точками "стыка" этих ветвей, Из выражения для второй производной у (1 — хз) /а (1 — хз) вытекает, что график первой ветви функции выпуклый вверх, а второй — вниз (рис. 48). При изменении а от 0 до +со получим семейство эллипсов, проходящих через точки ( — 1, 1) и (1, 1) (рис. 49); Рис.
48 Рис. 49 б) а < О. Область определения функции — (х! > 1. Асимптоты у = 11х + 8; у = йзх+ 6, --(-'- ) где йг,з = йп1 =1жо' — а; 6=0. + График изображен на рис. 50. Н 188. у = хе ч Рассмотрим два случая: а > 0 и а < О. 1. а > О. Функция положительна при х > 0 и отрицательна при х < О. Находим производную у =е (1 — -) в 11. Построение графиков функций по характерным точкам 199 Отсюда следует, что прн х = а достигаетсл максимум, равный —. Далее, в' у =г ( —.— — ), Рис. 50 У ав л>0 В стпорон увеличен Рис. 52 Рис. 51 График семейства изображен на рис.
51, 52. В» Упражнения длл самостоятельной работы Построить г1зафикн следующих функций; 404. а) Пх) = ввр 1в1в х, сов х, вб х); б) Дх) = 1в11в1п х, сов х, »б х). 405. х = 1сов й у = 1гйп 1, в ы а 406. х = а сов т, у = асов 21, в = совЗб откуда следует, что в точке х = 2а имеется перегиб функции у, причем прн х < 2а график функции выпуклый вверх, анри х > 2а — вниз. Так как хе 2 -» 0 при х -»+со, то прямая у = 0 является асимптотой графика функции при х +со.
2. Если а < О, то, как легко видеть, зтот случай сводится к предыдущему, если в нем заменить у на -у, а х на — х, гоо Гл. 2. Дифференциальное исчнсленде функций одной переменной Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют следующим уравнениям: 407. (1 — хз — )1 — х~~) + уз = О. 400. (2 — хз — ~1 — хо) — ~1 — у~ — )у!) (2 — у' — (1 — уз( — Д вЂ” х) — )х)) = О. 400. хо+ уз + 9 — !хо + уз — 1) — /2 — у! — (у+ 3) — /х! — )5 — х) = О. 410. 2 — у — )1 — х — у! — !1+ х — у! — (у! = О.
~ 12. Задачи на максимум и минимум функции 2(х) < 1(хо) ш го. Так как функция у(х) монотонно возрастает в строгом смысле, то из неравенства ? < 2о следует неравенство у(,Г) < уУ»), что н требовалось доказать. Аналогично, предположив, что в точке хо функция у(У(х)) достигает максимума, придем к выводу, что функция 2(х) така»е достигает максимума. ° 191. В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму? 4 Пусть у — основание искомой системы логарифмов.
Тогда согласно условию имеем 1об„х=х (х>О, у>О, уу1). а.-, у,' )с О 1 откуда у = хй. Функция у уже исследована нами в примере 1?4. Из 1 него следует, в частности, что у не превышает ушах = е 3 т. е. во всех системах с основанием у (О < у < е», у т= 1) Рис. 53 такие числа существуют. ° 192. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей площадью. М Пусть высота прямоугольника х, ширина 2у. Если обозначить через го дугу сегмента„а через 2у — дугу, стягиваемую стороной прямоугольника, то получаем, что у = Всйп у; х = ОŠ— ОВ = В(соя у — соло) (рис.
53). Следовательно, площадь прямоугольника равна В = 2ху = 2В сйлу(сову — соло). Приравнивая нулю производную В'(у) = 2В (2 соз у — соз у соз о — 1) = О, 189. Доказать, что если функция )'(х) неотрицательна, то функция Р(х) = сг (х) (г > О) имеет в точности те же точки экстремума, что и функция ?(х). М Для определенности предположим, что в точке хо функция ?(х) достигает максимума.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
