Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 48
Текст из файла (страница 48)
хз — Зх+ 2 М Аналогично предыдущему имеем х к А В С + — + кз — за+2 (х — цг(я+2) (з — цг (з — ц х+ 2 Пользуясь формулой (6), находим Таким образом, l' кНк 1 ) Нх 2 ) Ыт 2 ) зг зз — Зз+г 3) (з — Цг 9/ з — 1 9/ х+2 1 1 2 2 1 2 1я — 1 — + — 1п)к — 1! — — 1в)я+ 2)+ С = — ф — 1п ) — ~ + С, 3 к — 1 9 9 З(х — Ц 9 )к+2 к~), кф-г.> 7 1. ая ( +ц(з+гр(*+З)з' м Имеем 1 А В С В Е Р (к з- ц(з+ 2)г(х+ З)з я+1 (к+ 2)г (х+ 2) (к+3)з (к+ 3)г к+ 3 + + + + + —. (ц Пользуясь формулой (6), последовательно находим 1 1 1 А= — В= — -1 (з + 2)' (к + 3)' 8 ' (к + 1 )(к + 3)' ! Сы 7 ы -(к+з)' — з(к+ ц(к+ з)' — =2, (к+ ц(х+ З)з/ (к+ цг(к+3)з 1 1 (.
+ц(к+г)г, г' -(*+ 2)' — г (к+ ц(. + г) ) 3, (з 4- ц(я+2)г ) ) (х+ цг(я+2)з ) 4' о 2 (к + Ц(я + 2)г з (х + цз(х + 2)г (к + цг(х + 2)з (к -~- ц(к + 2)з ) ) 8 Подставив найденные коэффициенты в разложение (Ц и проинтегрировав, получим Зх 1 1 1 1 (.+1Н.+2) (.+3)' =8"'!'+Ц+.+2+г'"! +')+4 (.+3)'+ 5 17, 9х +60з+68 1 )(к+ц(я+'2)зз) 4(х+ 3) 8 4(к+2)(к+ 3)г 8 ) (к+ 3)зг, хф — 3; 2; — 1.р Гл.
3. Неопределенный интеграл 72 ~х х(х + 1)(хг+ х+ 1) м Имеем 1 А В Сх+Р х(х + 1)(хг + х + 1) х х -1- 1 хг -1- х -!. 1 + + По формуле (4) находим первые два коэффициента; 224 А= 1 г ' г 1 = — 1. (х + 1)(хг + х + 1) х(хг + х + 1) Далее приводим разложение (1) к общему знаменателю 1 = А(х + 1)(зг + х .1- 1) .1- Вх(хг -1- х+ 1) -!- (Сх -!- Р)(хг + х); затем сравниваем коэффициенты при х и х, получим енот~му х ~ О=А+В+С, хг ~ 0 = 2А+ В + Р + С, из которой находим С' = О, Р = — 1.
Проинтегрировав (1), получим 73. 1,"*,. < Поскольку хз + 1 = (х + 1)(хг — х + 1), то — А / ! 3 3х / 4х / Вх+С =А — + Зх. х +! / х+1 / хг — х+1 Обычным методом получаем систему , г х а х О=А+В, 0=-А+В+С, 1 =А+С. Отсюда А = —, В = — —, С = „-. Таким образом, при х ~ — 1 з 1 1 з з' х — 2 1 Г(х-~)3х 3~ = — ! )~+1~ — — ~ + хг — х+1 3 3/ хг х+1 3х 1 1 г1п!к+1~!п(хх+ 1)+ ( 1)г+з 3 1 2х — 1, 1 (х+1) 1 2х — 1 + — агстд — + С = -!и .
+ — агсгб — + С. > чг3,/3 6 х — х + 1 чгЗ чгЗ бх 1 1 = — !п(х+ 1) —— хз 3 м Имеем откуда получаем х = А(хг + х + 1) + (Вх + С)(х — 1),' хг 0 =А+В, х !=А †В, х" О=А — С. Ах / Ах = !11 ~х~ — !и (х+ П+ х(х+1)(хг+х+ !) / хг+х+1 +С, хф — 1;О.п 3 2. Интегрирование рациональных функций 225 Решая полученную систему, находим 1 А= —, 3' 1 С= —, 3 1 В= — —, 3 Следовательно, хая 1 1 / х — 1 1 1 П / 42 = — 1п)х — 1) — — !и!х + х+1)+ хз — 1 3 3/ ' +к+1 — 3 6 1 2х+1, 1 (х — 1) 1 2х+1 + — алеся + С = — !и, + — асс!6 — + С (х ~ 1), р з/3 з/3 6 ха + х +'! з/3 з/3 М Поскольку х' + 1 = (х' + 1)' — 2х' = ( ' + з/2 + 1)(х' хз/2 + Ц, то разложение подынтегральной функции на простые дроби ищем в виде 1 Ах+В Сх+ Р + Х +1 хг фхз/2+1 хг — хГ2+1 Из тождества 1 = (Ах + В)(хг — хз/2+ 1) + (Сх+ Р)(ха + хз/2+ 1) получаем систему уравнений ,з г О=А+С, О = —,2.4+ В+,/2С+ Р, О = А — з/2В + С+ з/2Р, 1 = В+Р.
х ха Отсюда А = — С =; —, В = Р = —,. Следовательно, 2 1 -- -2Л вЂ” -2 х+ —, Л г!х + 2 2,/ *г + Л+ 1 Нх 1 ) х+ з/2 1 ) х — з/2 х~+ 1 2з/2,/ хг +хх/2+1 2з/2,1 хг — хз/2+ 1 3х 1 ( х 2 +— г,! + /~' 2Л/ "- 2+ 2 / И ( 2) +г = — !и + — (ашгд(хз/2+ 1) + агсгя (хъ 2 — 1)) + С. хг ! х/2+1 4з/2 хг — ха/2+ 1 2х/2 Учитывая формулы сложения арктангенсов (см, пример 268, гл. 1), окончательно получаем 3х 1 хг -!- Х,з/2+ 1 1 хз/2 т 1(х) = / = — 1п + — агс26 + — е(х) + С, / х + 1 4Х/2 хг — х Г2+ 1 2з/2 1 — хг 22/2 где ( +1, е(х) = О, — 1, солих > 1, если !х) = 1, если х < — 1, 1(-1) = 1пп 1(х).
в 1(1) = йш 1(х); ! 76. хз ф хг -1- 1 м Поскольку х'+ ха+1 = (хг+1) — хг = (х — х+1)(х +я+1), то разложение ищем в виде 1 Ах+В Сх+Р + хз + 22 + 1 хг + х + 1 22 х + 1' Гл. 3. Неопределенный интеграл Иэ тождества 1 ьв (Ах + В)(х — х + 1) + (Сх + В)(хз + х + 1) получаем систему О=А+С, О = — А+ В+ С+ В, О=А — В+С+В, 1жВ+В.
х о Отсюда А = В = — С = В = —. Таким образом, !х 1 )" х+1 1)" х — 1 х4 ! хз ! 1 2 ( хг ! х ! 1 2 / хг 1 х + х + 1 1 / 2х + 1 2х — 1 1 = — !а + — агсзб — + агсзд — /! + С. 4 хз — х+1 24/3 ~, Ь/3 ,/3 ~ Заметим, что (см, пример 2бб, гл. !) 2х + 1 2х — 1 хз/3 агсзб + агс!б — = агсзб — + те(х), ,/3,/3 1 — хз Зх 1 ха+к+1 1 хз/3 41 = — !и, + агс~б, + (х)+С. М х4 + хз -(- 1 4 хз — х + 1 21/3 1 — хз 2ч43 77. м Сначала преобразуем подынтегральную функцию 1 (*' + 1) + (1 — х') х' + 1 1 — х' + хз + 1 2 (хз + 1) 2 (хз 4- 1) 2 (хз + 1) (,4 2+1)+ 2 (1 2)(1+ 2) 1 х2 г + 2(ха+1)(хз — ха+1) 2(хз — ха+1)(1+ха) 2(ха+1) 2(ха+1) 2(хз — хз+ 1) Иервые два слагаемых легко интегрируются, поэтому найдем разложение на простые дроби только последнего слагаемого. Имеем — х +1 Ах+ В Сх+ В (х' — х' + 1) хз + /Зх + 1 х' — /Зх + 1* + г — — + — = (Ах -1- В)(хз — з/3 х + 1) + (Сх + д)(х + з/3 х + 1); 2 2 х' 2 О =А+С, --', = —,/ЗА+В+,/ОС+В, О = А — з/ЗВ + С+ ь/ЗВ, — ' = В+В.
2 1 —, поэтому з о Отсюда А=-С= —, В=В= з' 1 1 х' 1 + 2 /з хз+ ! 2(хз+1) 2(ха+1) 24/3 хз+ /Зх-1-1 + ° а + Интегрируя это равенство, получаем 442 г,/3 ' — з/3 +1' 4!х 1 ха+ 444З к+1 = — агсздх + — агсздхз + — !а + С. > ха+1 2 ' б 4 /3 хз — з/3 х + 1 44Х хз хз+хз хз+х где функция е(х) определена в предыдущем примере, а значения арктангенса в правой части а точках х = х! равны предельным значениям в этих точках. Окончательно имеем 1 2. Интегрирование рацнональнык функций 227 < Поскольку х' — к~+ха — хг+х — 1 = х'(х — ц+ха(х — ц+(х — ц =(х — ц(х~+х~+ц ж (х — ц(х + х + ц(хг — х+ ц, то разложение подынтегральной функции на простые дроби имеет вид г з х О=А+В+В, О= — 2В+С+Е, О = А+ 2 — 2С, О = -В+2С вЂ” В, 1=А вЂ С в, решая которую, находим 1 Е = — —.
2 А= — В=-, 1 1 С= — —, В=О, 6' Таким образом, Зх 1 1 1 2х — 1 = — 1п(х — Ц вЂ” -1п (х + х+ 1! — — агс16 — + С = хз — хэ -)- хг — хг ! х ,УЗ ' хГ~ 1 (х — Ц 1 2х — 1 = — 1п — — агсгб — + С, х ф 1. !ь 6 хг+х+1 ьгЗ АЗ )' '+6 + 79. При каком условии интеграл )1 з, Зх представляет собой рациональную / хз(х цг Функцию? ч Интеграл представляет собой рациональную функцию, если в разложении ахг+6х+с А В В Е Г = — + — + — + +— хз(х цг хз хг х (х цг коэффициенты Р и Е равны нулю. Предполагая последнее, имеем .*'+ 6х+ с = Л(,' 2, + ц+ В(*' — Зхг + х) + Ехз.
Приравнивая коэффициенты прн одинаковых степенях х, получаем систему з г О=В+Е, а =А — 2В, 6= — 2Л+В, с=А. х о Исключая из этой системы неизвестные А, В и Е, находим требуемое условие: а+26+Во=О. Ь Применяя метод Остроградского (сма Л я ш к о И. И. и др. Математический анализ. К., 1963. Ч. 1, с. ЗЗЦ, найти интегралы; 80.
(. цг(. ! цз' чг Имеем 1, 1 хНх Ахг+Вх+С /' йх ) Нх (х- )'(х+цз (х- И*й ц" l *- ' l + ' Дифференцируя обе части равенства, находим х (хг — Ц(2Лх+ В) — (Зх — Ц(Ахг + Вх + С) В Е (х 1Р( ..! Цз ( цг( +цз + + х — 1 х+1 Приводя к общему знаменателю н приравнивая числнтели, получаем = — Ахг + (А — 2В) хг + ( — 2А+  — ЗС) х+ С вЂ” В+ + В(х — ц(х + Зх + Зх + ц + Е(хх — 2хг + ц.
1 А Вх+ С Вх+ Š— + + хз — ха+ха — хг+х — 1 х — 1 ха+к+1 хг — х+1 Из тождества 1 ы 21(хг + хг + ц+ (Вх+ СИх — ц(хг — х+ ц + (Вх+ Е)(хз — ц получаем систему Гл. 3. Неопределенный интеграл 228 одинаковых степенях х в обеих частях этого тождества, О =Р+Е, О = — А+2В, О=А — 2 — 2Е, 1 = — 2А+  — ЗС' — 2Р, О=С вЂ”  — Р+Е, решая которую, находим А=В= — —, 1 8' С= — —, Рэз — Е= — —. 1 1 4' 16 Следовательно, х8х хг+х+2 1 )к+1~ (х — 1)г(х+1)з 8(х — 1)(к+1)г 16 ~х — 1! 81. (хз .Ь цг ' 4 Имеем 8х Ахг+Вх+С ! 4х ) Ех+Е +Р ( — + ( 8х. (ха+1)г +1 / х+1 / хг — х+1" Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 1 ы — Ах — 2Вх— з з ЗСхг + 2Ах + В + Р(х — х + х + х — х + 1) + (Ех + Е)(х~ + хз + х + 1), откуда , з ,з г х хз Р= — Е=— 2 9 А = С' = О, Таким образом, 8х х 2 2 / х — 2 (х'+1)' 3(х'+1) 9 + .~.+ц 9 / гг — х+1 х 1 (х+1)г 2 2х — 1 + — 1и + — агссб +С„хф — 1.
М 3(хз+ Ц 9 хг — к+1 Зьгз ига 82. (хг + 2х + 2)г ° я Имеем гЫ Ах+ В ~ Сх+ р + 8х, (ха +2х+ 2)г ха+ 2х+ 2 ( хг+ 2х+2 откуда, дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество х ги А(ха+ 2х+ 2) — (Ах+ В)(2х+ 2) + (Сх+ Р)(х + 2х+ 2). Для определения неизвестных получаем систему О=С, 1 = — А+2С+ Р, О = — 2В+ 2С'+ 2Р, О = 2А — 2В+2В, решая которую, находим А=О, В=1, С=О, Р=1.
Приравнивая коэффициенты при получаем систему 4 з хг о О= О= О= О= О= 1= Р+Е, — А — В+Е+Е, -2В+ Р+ Е, — ЗС'+ В+ Е, 2А — Р+ Е+ Е, В+Р+Е; 1 3' 32. Интегрирование рациональных функций Тогда 1( )= хяк 1 + агс28(х+ 1) + С. Ь (хг + 22+ 2)2 хг + 2х+ 2 83. ( '+1)' М Имеем 1хз+ Вхз+ Сх+ Р / Ехз+ Гхг+ Сх+ Н (24 .1- 1)2 хв + 1 / ха+ 1 Решая систему, получаем 1 3 А=В=О=Е=Г=С=О, С= —, Н=-. 4' 4 Следовательно 41х х 3 1' Ах (х'+ 1)г 4(х4+ 1) 4 / х'+1' Пользуясь результатами примера 75, окончательно находим Зх х 3 хг + х 242 + 1 3 хь22 Зтв(х) + 1а 2 +С, (х4 + 1)2 4 (24 + 1) 16Я х2 — хЯ 4- 1 8212 1 — хг ЗЯ где г(х) — то же, что и в примере 75. ~ Применяя метод Остроградского, интеграл представим в виде 11х Ахг+ Вхв+ Схз+ пхв+ Ехз+ Гхг+ Ох+ Н / 74хз+ 122+ Мх+ К / 4 41х. цг (24 1)2 х4 Дифференцируя и приводя к общему знаменателю, получаем тождество 1 = (х — 1)(7Ахв + 6Вх" + 5Сх + 4Вхз + ЗЕх + 2Гх + С)— — Зхз(Ахг+ Вх + Схз+ Вхв + Ех + Гхг + Сх+ Н) + + (х — 2х+ 1)(Кх + Хх + Мх+ 17).
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства, имеем хв 4 х г 11 х1 0 з в О=К, 0= — А+А, 0 = — 2В+М, 0= -ЗС+Ж, 0 = -4 — 2Л, 0 = — 7А — 5Š— 2Х, х в Решая систему, получаем 7 11 С= —, С=- —, 32' 32' Ф = —. 32 А = В = В = Е = Г = Н = К = Ь = М = О, Таким образом, дх 7х' — 11х 21 ~ 412 (хв — 1)з 32(24 — 1)2 32 / х' — 1 откуда 1 = (ЗАх + 2Вх + С)(хв+ 21 ,в хв х4 1) — 422(Ах + Вх + Сх О=Е, хз 0= — А+Г, хг 0 = — 2В+С, О=-ЗС+Н, х' +Р)+( 4+1)(Е 3+Г 2+С +Н) О= — 4Р+Е, О=ЗА+Г, 0 =2В+С, 1=С+В, 0 = — 6 — Оà — 2М, 0 = -5С вЂ” 7С вЂ” 2Х, 0 = — 4Р— ЗН+К, 0 = -ЗЕ+ Х, 0= — 2Г+М, 1 = -С+У. Гл.
3, Неопределенный интеграл 230 Вычисляя последний интеграл, окончательно полу <аем !1х 7х — 11х 21 1х — 1 ! 21 — + — 1и ~ — ~ — — агсгбх+ С. ~ (х' — 1)3 32(24 — 1)г 128 ~ к+1 ~ 64 Выделить рациональную часть следующих интегралов: 85. х + 13, (х4 -1- хг + 1)2 М Имеем хг+1 Ахз+ Вхг+ Сх+ Д 1 Ехз+ Гхг+ Сх+ Н (х4-1-хг+1)2 х'+хо+1 ( х4+хг+1 откуда получаем тождество х + 1 = (х + х + 1)(ЗА32+ 2Вх + С) — (4хз + 2х)(Ах + 2+С +В)+( 4+ 2+1)(Е 3+Г 2+ С +Н) Из системы уравнений х7 х 5 4 хз 0 = — 4В+ С+ Е, хг 1 = ЗА — С+ Н+ Г, .о 0 = 2 — 2Р+ С, хо 1=С» Н О=Е, 0= — А+Г, 0 = -2В+ С+ Е, 0 = А — ЗС+ Г+ Н, находимАж-, С=-, В=РззС=О, Г=т, Н= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
