Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 47
Текст из файла (страница 47)
П -2,' г! з~ 26. ! *' ~В в кзв М Поскольку хз~1х = -((1+ хз) — 1) з!(! + х ), то /' " ' /'( — -) 7 в хз,з/! „ хз гх = ' / ((1 + хз)з (1 «. хз)з г(1 «-хз) = — (! «- хз) з — — (1 -!- х') з + С. Н 2(! — ) 8 2з1 Нх х2 „!.х М Имеем 1 1 (х+2) — (х — 1) 1 У хз+ х — 2 (х — 1)(х+ 2) 3(х — 1)(х+ 2) 3 'зх — 1 к+2) ' следовательно, ~гх 1 ! у Нх Г Нх з! 1 1 1 !х — 1 (ч / — — / †) = — !и )х — 1~ — — 1и )в + 2( + С = †, 1в ~ — + С.
Н хз + х — 2 3 (ч/ х — 1 / х + 2 ) 3 3 З (х+2 28 х гх хв+ Зхз+2' < Поскольку х 4х = —, ~!(х ) н 2+„) ( 2+!) хо «- Зхз + г (хо + !)(хз «- 2) (хз «. 1)(хз «- 2) хз -1-1 хз + 2 ' то -../ ' хвгх ! ! зг(х ) хв+Зхз+2 гу хо+1 20.
/ вгв хлх. 1 з!(х') 1 х2+ 1 = — 1и — +С. в 2 хо+2 2 хо+2 Гл. 2. Неопределенный интеграл 214 ж чв Полагая 1 + созз х = Г, получим зш х сов х»1х = — †. Тогда Г сов 22 = здп 1 [ — — 1п [зя 2[) + С. Иэ равенства йп 21 = — = — 'з — ', учитывая, что ~збз[ < 1 при Щ < —, находим 1+зззз' ф /2 ) —.„-т=, зк1 = 2 ~ — 2 2 если х > з/2, если х < — з/2. Таким образом ( х2 1 = вяп х —, ~/ 1 — — + вдп г 1И [х + т/хз — 2 [ + С = — т/ха — 2 + 1п ~ х + 1/хз — 2 ~ + С. > 2О хз !/ 2 40. / т/аз — хз »1х.
ч1 Полагая х = ав1п й получаем и г з/Газ — хз Ых = а з[ соз 1сй = — ) [1+ сов 22) сй = 2) = — [Г+ — в[п21) +С'= — агсв1п — + — тза~ — ха+С, ~х~ < а. ~ 2 2 ) 2 а 2 4Х. »('з ч' М Положив х = и гд1, имеем при а ф О йх 1 / 1 ., х — сов гай = — вшг+ С = + С. В» и1'*+ Рг 42. '+х йх. /в!Вхсов х 1)1 — 1 1 1 „1 2 1 2 21п х созз х »1х = — — сй = — 1п [1) — -1+ С = -1п[1 + сова х) — — сова х + С.
И 2 37. т/Г+ е ' ° ПОлОжиВ З = г 2, находим ззх ) аг = — 2 = — 2 1п [1 + 1/Рз + 1) + С' = х — 2 1п (1 + ./е + 1) + С. И ,/1+ е.,/,Гтз+ 1 »Гх [1 хз)з/2 ' ч Если положить х = вш й то йх = сов йй и при ~х~ < 1 ю — = ЗО1+С = Зя[агсапх) + С = + С. И Е,Г совз 1 (1- хз)2 39. зззх2 — 2 ч Положим х =,—,, Если х Е ) — оо, — з/2[, то 1 Е ~ — —,, О~, если же х Е);/2, +Ос[, то З Е [О, » [. Заметив, что для этих значений х и 1 здпсгб 21 = вдп1 = вдпх, будем иметь Г ха ах З сй ВОП1 1 в1п~ в+сов 1) О б з з з з/ху — 2 ып 21 2 в[в 1сов З 215 1 1.
Простейшие неопределенные интегралы <4 Пусть х = асов 2С Тогда ~~' = сгдт, дх = — 2а61в 21)11 и 4/ — )Ьх = — 46 / соа 1)й = — 4а )т †.1- — яв 21) + С = аысяп — — те а — х + С, Й вЂ” = /' '1/а — х / ),2 4 ) а — а ( х < а. р 46.) Д <4 Полагая х = 2аашг т, получаем )см. пример 29) х — )Ьх = 86 яп 1)12 = а Зт — 2яп21+ — 6!в41) + С = ) Г ).
) à —. 1 1/2а — х / 4 г ° /х За+х = За атса)п ~/ — — — х)2а — х)+ С, О ( х < 2а, р ')) 26 2 44. »') — )Р- ) <4 Поло кив х — а = 1Ь вЂ” а) 61в~1, поЪле простых преобразований получим )тх ) х — а = 2 / 41 = 22+ С»» 2 атсяп)1 — + С, а < х ( Ь. р 46. / ~с»+,'4*. «и, *=.гт,„,т =,4 4. Е,, 2 4 -„РЕ»,46)=. 4 и г 2 )/62+ хг)1х = а сй 1411 = — зл21+ — +С. а т 4 2 »г„/ 2+ 2 4 Из равенства 6Ы = ' = — находим, что е = — » — —. Поскольку е ) О, то 1 = 1п)х+ г 4/аг+ хг! — 1ла. Очевидно, ай 22 = 26Ь1с1)1 = 26Ы»/Г+61)гг = 2-*ф+ — *, = — *~/а~+ хг, поэтому окончательно получаем ~/аг + хг)1х = — ~/аг -1- хг + — 1в )х + т/саг+ хг) + С. Р 2 2 46. )1) — 4 .
я Подьппегральная функция определена при х < — а и при х ) а. Пусть х ) а. Тогда, полагая х — а = 2азй т,получаем 2 — йх = 46 / ай г М = а вй 21 — 2а1+ С. )) х+и Учитывая, что а 61) 21 = 4/хг — аг, 6Ы = ~»" = ' ', т = 1в1~/х + а+;/х — а) — 1в 4/2а, окончательно получаем — )Ьх = ~/хг — аг — 261в14/х+а + 4/х — а) + С.
х+а Если х < — а, то, полагая х+ а = — 2а61) 1, имеем г — )Ьх = — 4а 61) г)И = — 661)21+2а1+С»» )у х — а 2 Чх+. = — 4/хг+ аг -1-2а1п(2/-х — а+ 4/-в+ а) + С. р 217 3 1. Простейшие неопределенные интегралы < Методом интегрирования по частям находим х ах агсзя т/х Ия = х агссц»/х — ~ / 2ь/х(1+ я) ) 1,2»гя 2тгх(1+я)/ = хагсзяих — — —,, зЬ ж»„ = х агсгд»/х — т/х+ / — = х агсгд»/х — »/я + агсгд»/х+ с, я ) О, зг г Ы~/х / +*- 51.
/ агсгйп х»1х. < Имеем агсзш хая = Яагсгйп х — 1 агсзгвхЫх = х агсвзп я+2 агсвт х г(»г 1 — Я ) = ас их х — .. — 1 = х агсзгп~ я + 2»/1 — яг агсзпг з — 2я + С, (х(<1, р: 52. / яагсз1»з~х~1х. < Интегрируя по частям и используя предыдущий пример, находим х агсз1гг хая = з /агсзш х йх — /агсяиг хая = (х — 1) /агсгйп хая = = (г — 1) (х ыойпгг+ 2~/1 — зз агсзш з — 2я) + С, (х( м 1. М 53.
(аг + хг)з ' М После очевзидных преобразований, интегрируя по частям, получаем 4х 1 ) (а + яз) — хз 1 я 1 / х (г 1 — ~1г, = — агсгд — + — — И ( ) = (аг + хг)г аз Г (аз + аз)г аз а аз у 2»аг.1-хгг = — агсзд — + а» а 2аг(аз ~- хз) 2аз ( аг + яз 2аг(аз + яз) 2аз а Решая зто равенство относительно ( т/аг — хз ах, получаем х л а .
х з ,Гаг зз,1х = —,/аг яг+ — агсз!и — -1-С, а ф О. М 2 2 а 55. / я»„/аз+хзг1х. м Имеем (.*... 1,~' * *-) * * *- /г* з 1/а +хз г1г = хй — (а + х )з = — (а + хг)г — — (а +хг)т/а~+ язях+С = 3 3/ з з .1 = — (а +х )г — — 1» аз+язон+С. 54. / г/газ — 'й*, ~ ~ ( < Интегрируя по частям, находим '- '! х »/гаг хг 3я з /аг хз+ г 1 т/аз аз — 1 (х — а )+а г1я х»/а2 хг + Ця м ) Яг .г г ° х =я»/аз — хг — /цап — азг1я+а шсзщ — +С, а Гл.
3. Неопределенный интеграл 218 Вычисляем последний интеграл: т/аг + хг йх = х Ъ/аг ь»г -- с~х = х ° ~ аг 1- хг Дх = = хъ/аг +ха — / т/аг + хг Нх+ а 1п (х + ъ/аг + хг~ + С; г Ъ/аг + хг Нх = — Ъ/аг + хг + — 1и )х + Ъ/аг + »г ~ + С. 2 2 Окончательно получаем \з» (1 + хг)з1г ° Интегрируя по частям, имеем / з "х = / 6(е"""*) (1 + хг) г мззг Ых = /1+ха 1 Ъ/К+ г)з зз» огг мз е "' хе ' (1+ хг)г хе '" * гз ;!Г+ *' ъ/Г+х',/Г+ *' 1+х 2,/1+ гг 58.
1г = / е"' сов 6х с~», 1г = ) е"з япЬх М Очевидно, Ь 1, 1 Ь + — ( е яп 6»Н» = -е сох бх + — 1г; ау а а Ь 1 — е ' соз бх Нх = — е яп 6х — -1О а а а е' (а згл Ьх — 6 соз Ьх) Ьг а + + 1г = — 1 созЬхд(е ) = -е созЬх 1 Г 1 а / а 1 1 1г = — / зпг6»Ы(е ') = — е яп6» а а е *(а соз Ьх + 6 згл 6») 1,= '*,, +С; а -1-Ь 59. / ег» япг х Их. х(2 г -'; аг) 4 хгуиг 1-хг Ых = „/аг + хг — — 1п(х-6 Ъ/аг -Ь хг(+ С. Н 8 56 хз1п,/х 6 . < Замечая, что х Нх = 2(ъ/х) з1(ъ/х), и интегрируя по частям, получаем х збп з/х Нх = 2 / ( /х)з збл х ю1( /х) = — 2 / (ъ/х)з Н(соз ъ/х) = = -Зъ хе сов /х+ 6/х соль/» Ь(з/х) = — 2ъ хз соз ъ х+ 6/х Н(яп з/х) = = — 2ъ'ха соль/х+ бхяпь/х — 12 / з/хз1пь/»с6( /х) = = — 2ъГх~ соя ъ/х + бхяп ъ/х + 12 / Гхй(соя ъ/х) = = — 2 ~ ха соЫ/» + бх яп ъ/х + 12 ъ/х с аз ъ/х — 12 яп з/х + С' = = 2ъ/х(6 — х)соз /»+ 6(х — 2)з!и ъ/»+ С, х ) О.
И 1 1. Простейшие неопределенные интегралы 219 М Используя предыдущий пример, получаем 2 1 2 1 2» 1 2 1 2» е сйл Х1!х = — е 'гсх — — е соагх112 = — е — — е 121в2Х+сов2х)+С, !В г/ 2/ 4 8 Нахождение следующнх интегралов основано на приведении квадратного трехчлеиа к канониче- скому виду п применении формул: !. ) -г-.т=сагсск»+С, аФО. П. П1 )' « ~11п)„2 ~ .2~4 С Ч. !' — г*== = 1н ~х -~- х/ХУХ а~)+ С, а > О.
Ч1. 2 ЧП )' /ат — хз 1!х = — /22 22 4 — агсагп» 4 С, а 2 2 „2 ЧП1, ) /хл А 2~42 = —,;/хз х аз х —" 1п)х+ с/х» х 22! = .1 ~.*+„~+С. а* .1/ 2 2 = ассе!в — + С. ж Ыау ~ ху+ С. Ч 2» 2 > О. 1Ч + С. Найти интегралы 6Ц З. — гх — 1' ч Имеем 1 )' 1(х-И Зх» — 2» — 1 3 ) ( 1/ 2 ж-'1л~ —,* ' ~+С, 1 х ус — — х ~ 1. и 3' х йх х» — 2хз — 1 ес Очевидно, х 11х 1 ! 11(х — 1) 1 х — 1 — Ч'2 +С, ~~Ч1+ /2. р 62.
' 4Х. ! х»+у+1 М Пользуясь свойством г), п. 1.2, получаем 11 1 1 2Х+1 гЬ вЂ” г! х+ — = — 1л(х + х+ 1) + — асс!8 + С. ж /з /з 66. 1= Бги х + 2 соБ х + 3 м Имеем нх л (ск») ск» + 1 !()= =2 жагстц +Са, 2сйв — соз — +1+4созз 2 ! (18*в .1-1) ф4 2 — т<х<т+г Из непрерывности первообразной следует то н=~ — 1. Х+2 н« вЂ” и+1, 2т Таким образом, Ск 2 +1 !х+ т! !(Х) = агстз 2, + х.
~ — ~ +С, х ~ 1г+ гпт, 1'(т+ 2нт) = йпг»'(х), и Е Х. ж 2 1 » к+ 2 ах 1г, т !!т+ 2нх — О) = 1!т+ гнт+ О), н Е К, — + С„= — -+ С„+, С„+ = 1г+ С„. 2 2 Отсюда находим Са = их+ С, где С = Се — пронзвольнал постоянная. Поскольку 2пт — 1г < х < 2 + 2нт, т. е. Гл, 3. Неопределенный интеграл 222 где нули квадратных трехчленов а«х + Ьух + ((« комплексные, допускает разложение г (:)(х) с-~ ) (х — х,)" (х — х«)" ' ' х — х, у( 1 ." . ".!~ ~(а«хг+Ь,х+с ) ' (а,хг+Ь«х+с,)м« ' ' а хг+Ь я+ с«/ ' Постоянные А(„'), В(г) и Сл(') находятся методом неопределенных козффициентов.
В некоторых случаях постоянные А«о А„«, ..., А«в разложении г(з«Р( ) л л «Аг + н(з) О(г) ( — «) ( ) (з- «)" ( -з«)" ' ''' з- «(г) ' (2) соответствующие множителю (х — х«)", удобно находить следующим образом, Умножив равенство (2) на (х — х«)", получим Р(х) з-« „Рь (х) — = А„+ (х — х«)А„«+ ...
+ (х — х«)" А«+ (х — х«)" —. () г(х) (3) Заметив, что все слагаемые правой части равенства (3) при х = х«равны нулю, находим (4) Далее, продифференцировав равенство (3), получим — ) = А„«+ 2(х — х«)А„г + ... + (и — 1)(х — х«)" А«+ (х — х«) + (х — х«) Р(х) ' — г з « Р«(х) (*) ) = " г«(х) ' откуда находим А Продолжая описанный процесс, получим формулу (6) 1=0,н — 1, х« + 1 5хг — бх + 1 + г хг — 5хг + бх хг — 5хг + бх а затем разложив знаменатель правильной дроби на множители, получим 5хг бх+1 5хг бх+1 А В С вЂ” + + хг — 5хг + бх х(х — 2)(х — 3) х х — 2 х — 3 ' Согласно формуле (4), имеем 5х — бх + 1 ~ 1 5хг — бх + 1~ 9 (х — 2)(х — 3) ~ б' х(х — 3) ~ 2' 5хг — бх+ 1 х(х — 2) 28 испоаьзуемую для определения постоянных А„, А„«,..., А«, соответствующих множителю (х — х«)". Аналогично вычисляются постоянные разложения (1), соответствующие другим действительным нулям многочлена х «С(х).
Применяя метод разложения рациональной дроби на простейшие множители, вычислить следующие интегралы: 69. хг — 5хг+ бх м Выделив целую часть 4 2. Интегрирование рациональных функций Интегрируя тождество кз + 1 1 1 9 1 28 1 =1+ — ° — — — ° — + — ° —, кз — Зкг+бх 6 к 2 х — 2 3 х — 3' окончательно получаем +1 1 9 28 яз — бкг + бк 6 Мз = з+ — 1и !к! — —,1в !к — 2!+ — 1п!з — 3!+ С, х ф 0;2; 3. и 2 3 7О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
