Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Тогда 2»)2+»/За 1 гз/2+ с//3(1»+3) ~ 2 /2 — »/Зи губ гз/2 — З//З(гг -1-,3) ~ (1+1) 31 (Згг + 1)»/гг + З ,/ (11 Для вычисления пераого из »тих инТегралов 1 с/1 с!и — 2 =2 = — 1а (81»+1),/Гг+ З,/ 8 — зз' 2Л Возвращаясь к переменной х, получаем — 2 » С *)/)-с гЖ'+*+ » = — !а (31»+ 1)~Р+ З,/8 эс -тст Второй интеграл аычисляется с помощг кг подстаноаки с з/ыг»-з ,/г (1 — ) = — — агстб 'с — 2 с!1 ~ с!» 1 2;/2» = — 2 = — — сыс13— (Згг ! 1)»//г + 1 ) 8»г -1- 1»/г 1 Окончательно имеем +/»**+*с )~ 1 = — !л »/б ггг-т з з/г (1 — ) Применяя подстановки Эйлера: ) )/ +) с:=+ г*+г,-- ° с)/ с).+ ° =*.+ "'.--.. » »:**+ + =-/ч*- )о-*)= с — ),-'- следующие интегралы: 106. 1 = Числа и и б определяем так, чтобы коэффициенты при 1 были равны нулю. Следователь- Гл. 3. Неопределенный иитеграл 238 М Здесь а = 1 > О, поэтому гримеиим первую цодсгановку 2 — 1 2=2.(-2 +2 Отсюда х = —, (Сх = " (Сх.
Подставив эти значения в интеграл, получим )чгз' (1+2*)2 С 222 + 22+ 2 „ / (1+2 ) Разложение подыитегральной функции ищем в виде 222+22+2 А В С 2(1+2 )' (1+2 )г 1+2 + Для определения неизвестных А, В и С получаем систему 2 = 2В+4С; 2 = А+В+4С; 2 = С,откуда Л=-3; В=-З, С=2. Таким образом, 1= — 3 /' (Сг /' (Сх /' (Ь 3 1 — 3 +2 — =, +-1и з+С, (1+ 22)г / 1+ 22 / 2 2(1+')2) 2 (1+ 22)з ~о'т. М Поскольку С = 1 > О, то, применяя вторую подстановку Эйлера (Сх С' — Сг + 21+ 1 + 2):2 * .) (' - )( * -:- ~) Разлагаем подынтегральную функцию на простейшие дроби: — 22+21+1 А В СС+Р С(С Ц(Сг + Ц С + С 1 + Сг + 1 Приводим цоследнее равенство к общему знаменателю — С + 2С+1 = А(Сз — Сг+ С вЂ” ц+ В(12+ С) +(СС+ Р)(С вЂ” С) и приравниваем коэффициенты при одинаковых степеиях С: Сз 12 Со О=А+В+С, — 1= — А — С+Р, 2=А+ — Р, 1 = — А.
Отсюдаиаходим А= — 1, В =1, С=О и Р=2. Следовательно, )' ЗС 1 ЗС / ЗС 1= — — + — 2 =1и ) — ( — 2агсСОС+С, / С /С 1 "/Сг+1 Г:и-"э. ° 1ОО. С' 'Озгггтсг ' 1 + зитлтт 3 ' ' " + 1 е + = ( * у ~ ) ( + Е , "*' . " ' "'"' " : З(Х22222 = ~ ( у ~ ) (третья подстановка Эйлера). Имеем — С*- эзгггз Э вЂ” ' (" — ')*' .( *+ * г СГЗЗ .) (' — 2)(' — ')('+')' Разложеиие подынтегральной фунхции ищем в виде — 21 — 42 Л В С Р Е (С вЂ” 2](С вЂ” 1НС+ Ц (С+ Цз (С+ Ц2 1+ 1 С вЂ” 1 С вЂ” 2' 3+ + + + откуда — 21' — 41 = — А(С вЂ” С)(С вЂ” ц+ В(С вЂ” С)(С' — ц+ С(12 — ЗС+2)(12+21+ ц+ + Р(С вЂ” 2)(С + ЗС + 31+ Ц+ Е(С вЂ” Ц(С + ЗС + ЗС+ Ц. 1 3.
Интегрирование иррациональных функций з 12 Полагая последовательно 1 = — 1, 1, 2, находим А = з, В = — и Е = — —. Далее, приравнивая в тождестве коэФфициенты прн 1 н т, получаем систему О = С+ В+ Е; О ю з 3  — С+ В+ 2Е, откуда находим остальные неизвестные: 17 5 С= — —, В= —. 108 ' 18 Таким образом, 1 5 17 3 16 ! = —, о(1+ Цг 18(1+ Ц 1О8 — — 1л!г+ Ц+ — 1а )1 — Ц вЂ” — 1ц)1 — 2/+ С, > 4 27 Интеграл от дифференциального бинома х"'(а + Ьх")»3х, где щ, » и р — рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях: 1.
Пусть р — целое. Полагаем х = Р, где Гà — общий знаменатель дробей 1» и ц. 1»+ 1 » 11 2. Пусть — — целое. Полагаем а+ Ьх» = З, где ЬЬ вЂ” знаменатель дроби р. ц »1+ 1 -» М 3. Пусть + р — целое. Применим подстановку»х + Ь = 1, где ЬЬ вЂ” знаменатель дроби » р. если» = 1, то зти случаи зквввалелтны следующим: Ц р — целое; 2) 1» — целое; 3) щ+ р— целое.
Найти следунэщне интегралы: 102. Г /*'~*'2. М Имеем прн х > О, а также при х < -1 1 ь = Г',72 р " 1* = Г" .* з-':; з ь 2*. Здесь и = — 1, т = 2 н — ' — целое. Поэтому, полагая х + 1 = 1, получим Г е! г = -2Гз — 271, гДе Г» = / г ' „, и = 3, 4. .1 112-1Р » — 1ы Для вычисления последнего интеграла найдем рекуррентную формулу. Пусть оФО. 41 (12 к2)» ' Интегрируя по частям Г» 1, имеем 172 Г 1= = — 2(п — ц (12 ег) — 1 (12 аг) (гг — аг)~ -1 з ',( (П вЂ” аг)" (12 зг) — — 2(п — ЦГ» 1 + 2(п — Це Г», г (12 „2) -1 откуда 2» — 3 Г» = 2(к — Цаг(12 — иг)» ' 2(ц — Цаг Последовательно применяя эту формулу (прн а = Ц, получаем 1 Г= гГз — г ( —,, — -'Гз| 6(12 — Цз 6 ) 1 ( 3(12 Цз 3 (х4(гг Цг 1 1 — — Гз = 3(Р— Цз 3 ' 4 / 3(22 Цз 12(П Цг+4 22(12 Ц 2 1 ~1 — 1~ — + — — — 1п ~ — ~+С. 3(1' — Цз 1г(Р— Цг 8(г — Ц И ~1+1~ 240 Гл.
3. Неопределенный интеграл Возвращаясь к переменной х, окончательно имеем з — 8хг+2х — 3 1 Я+х »+1 24 8 /7,) .С (1 + :/х)2 м Здесь р = — 2, Применял первую подстановку х = с, получаем б 4»г+ 3 (1 ! »2)2 ) / 4» / »2 4» — 4» +18» — 18 / — 6 / / ! ! »2 / (!+»2)2' — зх = 6/ = 6 / ~С вЂ” 2» + 3 (!+ тз/ — )г / (1+»2)г / ( Поскольку =-!/ ( »4» 1 / / ! ! С + — агс»8 с, (!+Сг)2 г С !1+С / г(1+»2) г то окончательно имеем зс б 1 = —,Сз — 4»' +18»+ — 21агс»8»+С, » = х . > 3 1+ С2 хЫх / узу 2 1= / ' ' =з (с' — !)'4»=-с' — гс'+зс+с, ',/!+ хг з з где С = з/7~ з/хг. М 112. / (/з -* 3 . М Здесь пз = —, п = ', !з = — и "'~ +р = 1.
Положим Зх г — 1 = Сз. Тогда Поскольку (см. пример 73) ~сс 1 (с+ 1) 1 2» — 1 = — !в + — ыс»8— Сз+ 1 6 С2 — С+ ! Л т/;.! то окончательно имеем зс ! (с + !)' ,/з гс — ! — — 1в — — атс»8 +С, (»' + 1) 4 С' — С + 1 2 т/з згз, з где С = -'С вЂ” '- — '-"-, 0 < х < з/3, х < — х/3. » Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от иррациональных Функций: +2»з С з- +г! г+*+» 106. ) * ' йх.
107. ) "' . 108. 1 ~~~ з»х. 2 М В нашем случае оо = 1, и = -„р= — — и ' = 3. Положим 1+ хз = С . Тогда г г +з — 2 Гл. 3. Неопределенный интеграл 242 118. / созхъ~ягпг х з . а М Полагая г = япх, х ~ —, имеем =/ г(х / гг (яп х) г соа хъгяп х (1 — 8!п х)(Бгп х)г 1)г /З + — агсгб — 4 гг +1+ 1 21 + 1 1 1п ( + ) + — агсгд (1+1) (г +г+Ц ~ГЗ, Л~ +, =,11п(Н вЂ” 1+1)(г 1) + 2 интегралов: и ) 2.
откуда 1 1„= — ((я ("г1(8(ох) япх б) К г ООБ~~ х сОБ 4 х откуда — 1)Х„-г — соахяп" х), гг = 3, 4, .... ;пг — (о+1) г(х =, — (и+ 1)К„+8+ (и+ 1)КО, / СОБ + Х СОБ ~ Х вЂ” К, ггбКО, хф — +йт, 78 62. > (и+1)соз"+'х в+1 2 С помощью формул: 1 1. яв и Бгп гг = -(соа(п — Ф) — соз(п+ (3)); 2 1 П. соап сог(3 = -(соа(п — гу) + соз(п+ гз)); 2 1 П1. Бгп псОБ д = — (Бгп(п — л) + Бгп(п+ гз)) 2 найти интегралы; х, х 120. ~ 81п х Ип — Ип — ох. 2 3 м Имеем з х. х 1 Г7 х 381.
х„ яп х 81п — Бгп — Ох = — ~СОБ — — с — — ОБ — БШ вЂ” ОХ = 2 3 2/ ~ 2 2/ 3 1 / . х . Вх . 7х . 11х1 ( — Ип — + яп — + Бш — — яп — г г(х = 6 6 6 =;~(-6— 3 х 3' 5х 3 7х 3 118 соа соз соа 6 + 32 СОБ 2 6 10 6 14 121. яп' зх соаг Зх 48. м Используя формулу П1, имеем 1 Бшг 2Х сояг Зх г1х = — / (3 яп зх — яп 6 х)(1 В = — / ~ззш2х — — яп4х+ 2 + соабх) г1х = 3 2 — яп Вх — яп бх — — яп 12Х) г(х = 119, Вывести формулы понижения для г(х а) 18 = З~ Бш" х г(х; б) К < Интегрируя по частям, получаем: г-г — г а) 1„= — / Бш" хг((сов х) = — солхзш х+(и — 1) / Ип" хсоз хох = -г г = — сОБ х Бш х+ (и — 1)1, -г — (о — 1)1 г, Применяя формулы: !Ч.
з|п(о — 8) = з|п((х+ о) — (х + 8)); Ъ'. соз(о — 8) = соз((х + о) — (х + |3)), найти интегралы: 122. и!п(х + а) яп(х + 6) я Имеем Г |!х 1 / яп((х+а) — (х+6)) 4х= яп(в+ а)зш(х+ 6) ап(и — 6) ( вш(х+ а)з|п(х+ 6) 1 ~г ~ соз(х+ 6) / соз(х+ и) !) 1 ~яп(х+ 6) 3х— !(х !п +С, в|л(а — Ь) 1 ) яп(х+ 6) ( з!п(х+ а) / в|п(а — 6) ~ яп(х+а) яп(а — Ь) ~ О. х 12З. з|п х в|и а я Из тождества сова = сов(~. — -~ — ) следует / з|л в|8(х + а) !!х. Интегралы вида Й (зш х, сов х) ах, где Й вЂ” рациональная функция, з общем случае приводятся к интегрированию рациональна|я функц|ш с помощью подстановки |8 — = |.
1 а) Если выполнено равенство Й( — 3!в:Г, созх) = — Й(з!пх, созх) олн Й(мпх, — созе) = -Й(зшх, созх), то выгодно применять цодстановку сове = | или соответственно япх = |. б) Если заполнено равенство Й(-в!пх, — сов х) = Й(з!пх, совх), то применяем подстановку |пх = |.
Найти интегралы 125. 1 = 2 ап х — соз х+ 5 124. / |д я Имеем |8 х $8(х + а) ! 4. Интегрирование тригонометрических функций 3 3 3 1 1 = — — сов 2х + — сов 4х — — сов 8х + — сов бх + — соз 12з + С. ~ 16 64 128 48 192 3х )' '(( —,) — (+)) х — япа 2 сова у з|п: соз т~ сова сов ст-" ~ 2 2 з сова фО, япх~апа. Р / ( сов х сов(х+ а) -!-яп хан(х+ а) / '! сов х соз(х + а) соз а соз х 4х — х = — х+с!да!п +С, соз х соз(х + а) сов(х + а)( яп а ф О, соз х ф О, соз(х+ а) ~ О. ° 1 л. 3. Неопределенный интеграл 244 и Нолагая 1 = тд —,, (2п — 1);г < х < (2п + 1)т> и Е в', получаем 41 1 81+1 1 818 — +1 1 = = — агс18 -'г С„= — аштд + С,.
1 812+21 1 1 /5 гб '" Д ь/5 Из непрерывности первообразиой с/и дует 518-", +1 х /х+ т1 /==агсзд ' + — ~ ~+С, хф(2гг+1)т; г/5 2ц+ 1 1 = !пп 1(х) = /г, х = (2п+1)в', и Е У. Н -(гвты 2 /5 1 в(п х сов" х ( вш х+ сова х * м Положим / = гя 2.г, — ",," — „- < /: < — ", + — '*", и е хС.
Тогда 1'41 1+ т/2 )" (1 чл2 — 1 ( 1~ + 81~ + 8 2 / Ьз .1. 4+ 2з/2 т/22 / Ьз + 4 2т/2 ~/4+2 т/' т/4 — 2 т/2 Ъ/2+ т/2 182х ./2 — ч::2 162х агстд — агсзд + С„. 1/4 + 2 т/2 '1 1/4 — 2,/2 Из условия непрерывпогти первообраз/го(г следует /т пт т /х //т 1(-+ — -б) =1( — '+ —,, +б), Ей, 4 2 4 т/2 + т/2 г г/2 + т/2 т, т/1 + /2 т г/2 — т/2 4 2 4 2 4 2 4 откуда (по аналогии с примером 125) находим С„= — (Ъ/2 + г/2 — т/2 — Л) м+ С, С = Св, 4 ' С„= — (т/г2 + т/2 — Ъ' 2 — т/2) ;+С.„, Следовательно, т//2+ т/2 182х 1(х) = агсзд /4+,/2 т//2 — з/2 18 2х — а/сед + 1//4 — 2 т//2 4 (1/2+ т/2 — 2 — з/22) Г 2+ ] (' ")= — — 1пп 1(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
