Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 51
Текст из файла (страница 51)
м 4 2) г т ггх +С, хф — + —, 4 127. Доказа ,( /(х Авшх+ Всовх, ) г(х +С (' (ив(п./+Ьсовх)" (ившх -~-Ьсовх)" ' 1 (ившх+ Ьсовх)" где А, В, С вЂ” неопределенные козффициенты. х — гг 1(2/гх+ т — О) = 1(2/гт+ я+ 0), — +С = — -1-С„е 2з/5 2т/5 откуда находим С„= —, + С, где С = Со - — произвольная постоянная.
Из неравенств /в 2ит < х+ т < (2//+ 2)х; и « — '" и+ 1 следует, что и = [*,~ ~ . Таким образом, 1 4. Интегрирование тригонометрических функций 245 я Интегрируя по частям, получаем 1„ = ' , = , , — (п + 1) / э!( — а соз х 4 6 ял х) — а соз х + 6 яп х / (асозх — 6яп х) э(х (а яп х + 6 сов х)шы (и яп х + 6 сов х)"еэ 1 (айп х+ 6 сов х)"+2 — асовх+Ьяпх /' (асовх — Ьяпх) +(Ьсозх+аяпх 2 г — (и+Ц 2 э Х (а яп х + 6 сов х)" Е' (азэп х+ 6 сов х)"тт откуда 1 6яп х — асов х 1„ = , (п — 2)1„ 2 4 (и — 1)(от+62) 1 " (азэпх+6совх)" 128.
Найти / ., э Их (яп х + 2 сов х)' и Используя доказанную выше формулу, находим 1 (/ г!х 2 яп х — сов х 10 ! Г яв х+ 2совх (яп х +'?созх)2 ! 1 эг 1 ~ Гх 1,1~ 2япх — совх — — !и ~ гд ( — + х агсгк 21! ! + + С, х ф Ьх — агстд 2.
~ 10 (, 10 ~ (,2 2 ) ! (Иа х+ 2совх) у) 129, Доказать, что ( (а+Ъсовх)'" (а+Ьсовх)ь — ' 1 (а+Ьсовх)'* ' ! (а+Ьсозх)" 2' и определить ко;эффициенты Л, В и С, если п — натуральное число, больше единицы. М Интегрируя по частям, получаем г!х / а+ Ьсозг / э(яп х 1„2 = /, Ых=а1„~+6 / (и+ Ьсовх)" 1 1 (а+6совх)" ' ' 1 (а+6созх)" — э( 6яп х / 6япх г = а1л 1+ — (и — 1) „ эбх, (а + 6 сов х)" (а+ 6 сов х)" откуда, используя тождество 62 япэ х = — (а — Ь ) + 2а(а + 6 сов х) — (а + Ь сов х), находим 6яв х 2 2 1„-2 = а1„-1+, + (а — 6 )(п — 1)1„— 2а(п — 1)1 -1+ (и — 1)1п (л + 6 сов х)" 61йп х (2п — 3)а и — 2 1 + 2 2 1 — 1 2 2 1п — 2 ° (и — 1)(аэ — 62)(а + Ьгоз х)" ' (11 — 1)(ат — 62) " (п — 1)(ав — Ьз) Таким образом, 6 (2п — З)а, и — 2 2 2 (и — 1)(аз — 62) (и — 1)(аэ — ЬЕ) (и — \)(ав — Ь2) г!х 130.
Найти если: а) 0<в<1; б) е>1. 1 1+есовх м положим 1 = вд -*, (2п — 1)эг < х < (2п + 1)гг, и б е.. тогда г(х 2 / г(1 1 ев 1+есовх 1 — е ) 12+ — ' 1-, — 2 чг! "К С а) 1 = агсгд + С„= агсгд + С . ьг ! — е т/1+е чгà — е чг! + е Аналогично решению примера 125 находим 2 чг! — Егд — 22. 1Х „'- эг1 эгг! — Х2 т+ ,г):. ! 2 ! 1((2п+ 1)г) = !пп 1(х), е 12 .~.1) Гл.
3, Неопределенный интеграл 246 + Го /'~Г 1 б) Г= Г / г хф2нх+х. М 131. Найти ~ 4х ,еслиб<е<1. ГГ (1+ есоз х)г ' М Применим формулу, полученную в примере 129. Полагая а = 1, Г(х) = -! 4х 1 ( — емпх / 4х + (1+ есозх) 1 — е 1 1 +есозх Г 1 + хссах/ 1 ( — есйпх 2 е бг + агс1д + 1 — ег 1 1+есозх Гс1 тГГ+ е 6 = е, и = 2, получаем х ~ 2пт+ л, Г(2 + т) = й Г(х). > з го Ез Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от тригонометрических функций: 3 Л г Ееззз »3. Г,, ' .
~м. Г . 1 . à — *'л 'у-~ . 1 1. à — ' 2 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 132. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и, то М Доказательство проводится с помощью метода интегрирования по частям. Имеем Р(х) е *4х = — е *Р(х) — — / с."*Р'(х) 4х = / л л Г 1 1/1... = -е" Р(х) — — ( — е Р (х) л а1а а Г = е ~ ~ — — — ~ + — Г е Р (х) 4х. Г Р(х) Р'(х) 1 1 о лг ог / Применяя метод математической индукции, находим "=-( ' — ' ) Г Р(х) Р (х) аРГ 1(х)1 + (-1)"+ — е *Р ~ ~(х) 4х, й < я.
1+1/ Положив 1 = и и приняв зо внимание, что РГ" ты(х) кв О, получим требуелгую формулу. 133. Доказать, что если Р(х) — многочлен степени и, то ( -" з(п ах Р" (х) РИ~Г(х) Р(х)солях 4х = ~Р(х) — + —... + ог ( лг лз 1 о. Интегрирование трансцендентнык функций 241 ( совах Р" (х) РП~) (х) Р(х) мл ах йх = — Р(х) — — + —... + а а2 а4 ~Л*2 '" '(х) ' С + 1Р'(х) — + —...1 ~+ с. аз ( аз аа и при доказательстве используем пример 132. заменяя там а иа 1а, где 1 = т/-Т, получаем ™ Р(х)с ' а1х=е (ч — 1 — + — +1 — + ...
+С. ,, 1 . Р(х) Р'(х) .Ра(х) а аз аз Пользуясь формулой Эйлера и разделяя действительные и мнимые части, находим требуемое. М ча34. Показать, что интеграл Л(х) е" йх, где Л вЂ” рациональная функция, знамена- тель которой имеет лишь действительные корни, выражается через злементарные функции и трансцендентную функцию — 1(х = й(г™) + С, г)х где й х = / 1вх М Рациональная функция лрелставляется в виде М(х) Ф(х) гле М(х) и У(х) — много пгены. Выделая целую часть (если она имеется) рациональной функции, получаем Д(х) = Р(х)+~), 1,=1 где хак — кратность корня х„А,„— неопределенные коэффициенты. Наконец, интегрируя Я (х), получаем г Л(х) е'"1)х = / Р(х) а" г)х+ ~~~ ~~ А1, / 1 ах.
Ь =1 Первый интеграл вычисляется 1-кратным интегрированием по частям (1 — степень мно' гочлена Р(х)). Вычисляя второй интеграл, накопим х 1 1 Еех ,=~-( + (х —,11)' 1 1 (1 — 1)(х — хь)' 1 (1 — 1)(х — х1)1 а / е" йх 1 а + —. , =е" 1' — 1 / (х — хь)' ' (1 — 1)(х — хь)1 ' (1 — 1)(1 — 2)(х — х1)' -2 а1-г е'* ах + (1 — 1)(1 — 2) ... 1(х — хь) / (1 — 1)(1 — 2) ...
1 / х — хг 1 а а -2 + ''' + + (1 — 1)(х — х1)' 1 (1 — 1)(1 — 2)(х — ха)' 2 (1 — 1)!(х — хь) 1 ~ ~ и ~ ~ ~ ~ ~ Е ~ ~ ~ ~ ~ Е~ | ~ ~ ~ а ~ ~ ~ ~ а ~ ~ ! ~ ~ 2 -2 . 1 «1 -з1) 1 + , а(х — х1) = — е ,+ (1 — 1)! 1 х — х1 1 (1 — 1)(х — Ха)1-' „' — г 1-2 аа1 (1 — 1)(1 — 2)(х — хь)' 2 (1 — 1)!(х — х ) ( (1 — 1)! Итак, 1. Л(х)е" ах = 21(х)+~~ ~~ Аы1;1. 1 =1 Гзз. 3.
Неопределенный интеграл 248 Г11 Г1 1 аз и 135. В каком случае интеграл / Р ( — ) з*зх, где Р ( — ) = ия + — + ... + — и х ~х~ х х" ия, аз, ..., и„— постоянны, представляет собой элементарную функцию? М Используя обозначения примера 134 и интегрируя по частям, получаем / Р Н е Гзх = / (ая + — + ...
+ — ") с*зх = аг аз из из а„ =изе +и,1~(е ) — — е +из1Це ) — — — —,+ — й)» ) — ...— х 2хз 2х 2 1и — 1)х" и„ и а„ + й1е'). (зз — 1)(зз — 2)х" з (зз — 1)! х (и — 1)! Отсюда следует, что если из из а аз+ — + — + ...
+ — =О, 1! 2! Ги — 1)! то данный Интеграл есть элементарная функция. Найти интегралы: 136. ~( --'),'3.. И Используя обозначения примера 134 и интегрируя цо частям, получаем )' =~( )* =: - =( ) (1 — -) ГЯ ГГх = ~ (1 — — + — -) с" Гзх = е — 4й1е') — — е + 4 61е') = е" (1 — -) + С, х Х х~ хфб. ~ Упражнения для самостоятельной работы Найти интегралы от гзндукппих трансцендентных функций: 117. ) Г ., ГГх. 118. ) -' — йх. 119. ) —, *, 120.
),",* . 121. ) сйзх ГГх. 122. ) с1ззхя1ззхйх. 123. ) ' —, их. )) 6. Разные примеры на интегрирование функций Найти интегралы: 137. 1,Я' М Представляя знаменатель в виде 1+хя+х = 1х'+1)з — х' = 1х'-~-ха+1)1х~ — хз+1), разложим подынтегральную функцию на простые дроби: 1 1( а+1 1 + хз + х' 2 ) х' -~- хг + 1 хз хз + 1 + Интегрируя последнее выражение почлеппо, получаем х -~-1 " Г11х з) игагс13 — + -у*язззх, если х ф О, з г,1Г» '1 Г х+х+1 —./(, )з+3-1 О, „..х=О, 1 — х / и)х+ „) 1 х +хзГЗ+1 '+хз-р1,/ )'х+ ')' З зчГЗ ' — хчГЗ+1 Итак, искомый интеграл равен ( з — (агсзд — ' + — 1в —: — — - — + — ' здв х) + С, если х ф О, / '-'- ~*я+.
Гзт ~ з,/3 1 .,Гз з ~-,2-:.,Гзез ~ з- С, если х=б.~ 138. Т= 12+ ' х)' 3 б. Разные примеры иа интегрирование функций 249 М Пользуясь результатом примера 131, находим «» ( '1(» х) 1 соэх 2 ( «х (о+ли! х),/ (2.(-сов(- — х)) 3 2+гйлх 3 / 2+эшх' » последний интеграл вычислим с помощью универсальной подстановки 1 = 13 —, 2пх — х < х < з ' х+ 2агг, и Е Уо, «х 2 213$ — 1 1(х) = ! = — агс13 + С„. / 2+э' х ./3 »Г3 Иэ условия !(х+ 2лх — 0) = 1(х+ 2нх+ 0), аналогично тому как мы поступали при решении примера 125, находим '!я С = — о+С, С = Со, 2пгг — гг < х < я+2пт. ,Гз Таким образом, 1 сов* 4 -' б з + 4 х+ я1 + агс13 ! + — — ~+С, 3 2+,'! - 3,IЗ '3 3,/З1 2Я ! !(2лт -!- х) = 1го! 1(х).
м -! ° т . 1(х)— (2+ згл х)! х ~ 2вгг + з", х«х= — ', +С,; ! аналогично прп х < 0 — / х «х = — — '+ Сг. В точке »: = О, согласно определению первообразной, должно С! = С» = С, где С— произвольная постоянная. Поэтому при всех х имеем ~~)~1»=, лбах+С= +С. х, х(»г! 2 140. «(! эо(х) г1», гле 1о(х) — расстояние числа х до ближайшего целого числа. М Из условия задачи эо(х) = )х — п(, в — — < х < п+ —, л Е 'ьо, поэтому ! ! 1 1 1 1(х) = / Ьо(х) «х = -(г — в)(х — и) + С„, в — — < х < и+ —. '! ! '! Из непрерывности первообраэной получаем 1 (гг+ — — 0) = 1 (в+;), т.
е. — + С„= — — + С„ег, ! постоянная. Поскольку и < х + — < 1(х) = —, 1 141. (х]).ыйн огх) 1». 139„~ (х(«х. М При»: ) 0 нлгеем ! С *.л! = С» -~ —, откуда С„= -" + С, где С = Со — произвольная п + 1, то и = (х + с) . Окончательно находим г! !)' (-(х 61 -1"И'~~'И '. Гл. 3. Неопределенный интеграл 250 ° а По определению целоК части имеем [х]] вгл хх] = ( — 1)" и вьп хх, и < х < а + 1, а б Ез.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
