Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1, 1 1 2 О' ' 3' ' О' 3 Таким образом, рациональная часть равна выражению хз+2х 6(х4+ х2+ 1) ' . 24 4х' — 1 (х'+ х+1)2 М Разложение ищем в виде решая систему уравнений 4 з 2 хо 3 .7 о 5 О = ЗА — ЗЕ+С+ Г, 0=4А+2В+С+Н, 0= ЗВ+С+ К+Н, 0 и 2С+ А+К, — 1= — Е+1, Г, — А+С, — 2В+ Н, — ЗС+ 11, — 4В+ Ь+ Г, 0= О= 0= 0= 4= х хо находим А = В = С = Е = Г = С = Н = К = Ь = О, 0 = — 1. Таким образом, интеграл сводится к своей рац!юнальнои !асти: хз+х+1 Применяя различные методы, найти следующие интегралы: м Имеем 4хз 1 Ах!+ Вяз+ Схг+ Ох+ Е 1 Гх4 + Схз + Нхг+ Кх+1 41х = + 3~ !(х, (х'+ х+1)' х'+х+1 / хо+ х+1 отсюда получаем тождество 4х — 1 гл (хз + х+ 1)(4Ахз + ЗВхг + 2Сх + В)— — (Зх4 + 1)(Ах + Вх' + Сх + Вх + Е) + + (хо + х+ 1)(Гх4 + Схз -1-Нхг -1-1 х.
+ В); з 2. Интегрирование рациональных функций Используя пример 73, окончательно имеем Г хз+; 1 1 2хз — 1 1 (ха+ 1)2 — !Гх = — а!сод х + — агстб — + — !и +С'. Ь хо+1 3 21/3 ч23 12 х — х +1 88. Зх. х(хв + Зх! + 2) м Полагая х! = г,находим ,' — 3 1 ~ (! — 3)зг !гх =— х(хв + Зхв + 2) 4 / !(!+ 1)(Г+ 2)' Разложение Функции на простые дроби ищем в виде ! — 3 А В С г(1 + 1)(! + г) ! 1 + 1 г + г ' откуда à — 3 = А(Г+ Ц(!+ 2) + ВГ(1+ 2) + Сф+ 1). Полагая последовательно г = О, -1, — 2,находим 3 5 А= — —, В=4, С= — —. 2' ' 2 2о-1 8Я.
/ — *лх. з+1 ° Имеем 1 '" ' „, 1 " хо+1 * и / х" +1 и / х" +1 =-' ~(1- „' )З(х")=-'(х"-!п)х-+1))+С, где — оо ч х ( +со при четном п и х Ф вЂ” 1 при нечетном и ~ О. ЯО. 10 +1Р М умножая числитель и знаменатель на хв, получаем !гх 1 1 !2(х ) 1 / (х +1) х !( в х(х!О 1, 1)2 5 17 хв(210 .! 1)2 5 / хв(х10 + 1)2 1 1 х х в 1 в 1 1О 1 — — !1(~ ) = — !п)х ~ — — !п(х +1)+ ( хв 210 ! 1 (х10+ 1)2) 5 ' 10 10 (хво + 1) +С= Г 1О 1 — !и — + — +С, хт О. в 10 х +1 х +1 7 х(1+ хг) < Полагая х = г, получаем / х(1+хг) 7/ 1(1+!) 7 ( Г(1+!) 7/ 1 1 = -(!п)Г) — 2!п)1+ Г)) т С = — !и 7 7 — —,) !1= ,, +С, хФО; — 1.
И (1+ хг)2 Таким образом, хв — 3 3 5 х(хв + Зхв + ') 8 Зх = --!в)!)+!и)!+ П вЂ” -!и|1+ г)+С = 8 8 = — — !их!+1п(хо+ 1) — — !п(х + 2)+ С, х Ф О. и 8 232 Гл. 3. Неопределенный интеграл ха+за+1 М Имеем при х ва О Л'.
=Л, " 1 г г — 1 ~ Сы если г >О, 1 Вследствие непрерывности первообразной имеем Ф(-О) = ' + С, = - — '+ С, = Ф(+О), 2г/3 2т/3 где Ф(х) — первообразная подынтегральной функции. Таким образом, -(.' ха+1 ( 1 агсвк:~ ~ — "' вбит+С, г -6 О, Дк — /3 /в г в аз+ха+1 ( С к=О. г 93. кв + ха + кг + х -~- 1 < После очевидных преобразований имеем г Г 1 — — а(к+ — ) й =1 "',,йк=) кв+кв+аз+ к+ 1 ./ ха+к+ 1+ — + —, у (к+ -') + (к+ — ) — 1 ы1 (х + — + —,, ) 1 2к' + (1 — т/5)к + 2 = — 1в -~-С, й (к т — '+ 1) — в г/5 2х'+ (1+ т/5)к+ 2 94. 1 к ' як.
в 11 М Аналогично предыдущему примеру имеем =' /'',-' в 1 к +1 2/ к +1 2/ 3 (кг + — ') 1 к' — кгт/2+ 1 — — 1и +С. и 2 у' ( г Ф вЂ” ',) — 2 4чг2 кв+ кгт/2+1 Г в+1 М Производя надлежащие преобразования, получаем х'+1 /' (х' — х'+1)+к' / дг /' х'3х кв -~-1 / (кг -~-1)(к' — кг Ф 1) ) кг+ 1 1 ха Ф 1 + — / = агстд к + — агстд (к ) -1- С. й Ык 1 Й(к~) 1 г = / .г+1:1 / кв+1 = 3 ак 96. Вывести рекуррентную формулу для вычисления интеграла 1„= у (ак + к+с)'* лк а ф О. Пользуясь втой формулой, вычислить /г = / ( м Используя тождество ах + 6к+ с = — ((2ак+ 6) + (4ас — 6 )) г 1 г г 4а и производя замену 2ах+ 6 = В, получаем 1„= — / (4а)" 1 <й где,Ь = 4ас — 6 .
г (гг + 26) ' 3 3. Интегрирование иррациональных функций Упражнения для самостонтельной работы Методом неопредоленных коэффициентов найти интегралы: Св+зг12О4 21 ' г з вгв+взз в .. з зэ вч ззгг+г+г Найти рациональиунз часть в следующих интегралах: з+ +Вг х 1 Сг+2121 гг +СИ. г С„вэгР 96 ,С Сга„вв ') 3.
Интегрирование иррациональных функций С помозцью приведения подынтегральных выражений к рациональным функциям найти следую!цие интегсзалы: 97. / ~сх, х зс — 1. 1 х /2+х / х+ т~/сг+ х М Полагая х + 2 = Сз, имеем хтз'2+ х ~ С вЂ” 2С х+ гг+* ) сз+с-г с2 Сс — 1Ис'+ 1+ 2) 1 Зв 32 / Зсг — бс 4 2 + / (С-СИсз+С;2)"' К последнему интегралу применим метод неопределенных коэффициентов: ЗСг — 61 А ВС+ С (С вЂ” 1Исг+С+ 2) С вЂ” 1 С + 1+2' Отсюда находим 15, 3 В= —, С= —— 2 3 А= — —, 4' и вЫчисляем интеграл 3 ЗС 16 С— г аС вЂ” С ' ° зз ЗС вЂ” бс 1)~сг + С + з) Зс— 3 2 27 2С+ 1 = — — 1и )С вЂ” Ц + — 1в )С + С + 2) — — агссб — + С.
4 8 4,/7 ',С7 Интегрируя по частям 1„,, получаем лс 2и ' (Сг+ 23)з — ' ' ' / (Сг+ Ст)" 1 га(Сг+ ьз)" ' а / (12+ 23)" ' а / (Сг+ С1з)» Решая это равенство относительно 1„, находим (4а) з ' С (3 — 2п) 2а за(1 — зз)112+ гз)з ' (1 — зз)вз Подсгавляя вместо С его значение, окончательно имеем 2ах + Ь 2я — 3 2а 1 + 1 з. (зз — 1)ггсихг + Сх + с)" — ' — 1 СГ В предложенном примере а = 6 = с = 1, и = 3, Ст = 4. Таким образом, 2х + 1 / Лх 'эх+ 1 эх+1 г ~ йх 12= + 6(хг+г:+1)2 / (хг+х+1)2 бсхг+х+1)г 3(хг+х+1) 3 / хг+х+1 + г +— 2х+ 1 г +1 4 г +1 +. + агссб — + С. ° .
6(хг + х + 1)2 3(хг+ х+ 1) Зс23 зУЗ Гл. 3. Неопределенный интеграл 234 Окончательно имеем х/2+х 3 2 3 г 3 2 27 21+ 1 (!х = -à — -1 — — !л(1 — 1!+ — !п(1 -1-1+ 2) — — агсгб +С. 1» х+~~(2+х 4 2 4 8 4х()7 ч(7 ' "(а — ') ч Заметим,что Таким образом, окончательно получим а1 а Гз+Ьч(2+1 а 1 — 1 !=— + — 1и + — агс13 + С, м 1+ Г' 42)2 р — 1хгг+1 2~2 1Я 99. м Заметим, что (а — натуральное число).
(!х Положим — ' = !", Тогда, = — г" гй и -2 Ь вЂ” а/Г" '6 — а(6 — аЬ вЂ” аух — а Применяя формулу "' ° 3 =О„,( )у+Л/ —, У У ХЬ 2" аа() — * »,а.-(*)— Л вЂ” число, найти следующие интегралы: з 1ОО. Л2» — * м Имеем Р2 = (2 ь +г ь + 2) (Г( ~ »- Р 2 2 2 — ( — ) =/') — **,, 2 Подстановка — = 1 приводит к интегралу рациональной функции 1=4а, =а 1(( „, Ос:ге+ос. Интегрируя по частям, находим аг~ (Й (21 Е сй у=а — а / (Й = — а!+ а / +а/ 1+12 / 1 ! 12 1+14 / 1+Г' 1+И / 1+Г'' Последний интеграл вычислим путем преобразования подынтегрального выражения: гй 1 7' (1 + 12) + (! — Га) 1 У 1 + $2 1 Г Гз — 1 — ,Й = /' гй /' — ,Й = 1+И 2 / 1+12 2/ 1+И 2/ 1+12 С' — 1 1 1+!Я+! = — асс!3 + — !а 2х)(2 1ч)2 4»)2 Гз — Гъ'2 + 1 Гл.
3. Неопределенный интеграл 236 Таким образом, з! С 4)х+Цз'8!*+Ц '-< +1)2-8"'ы~~х+Ц' Зхг+Сх+5 3 . 1 2/»2+2» — — агса!л +С, х< — 2, х >О, р 8(х -1- 1)2 8 (х + ц 1 ОЗ, ( " ' + 2 3*. хг+1 м Имеем 1 = !в<х+ 1/хг+ 2). хг + 1 <хг + 1) )/хг + 2 з/»2 + 2 (хг + 1) ~~Р + 2,/ з/хг + 2 » Для вычисления интеграла ) применим подстановку = г. Тогда г+11 /ыгз.г з/ '+г 3» 1 31 х = агс131 = агсгб (»2+1) г»2+2 / 22+1 /»2+2' Следовательно, /22+2 2 Х 21х = !в(х+ Х/ха+2) + агс18 +С р хг+1 Приводя квадратные трехчлеиы к каноническому виду, вычислить следующие интегралы: 104.
х )1х 12 — 2*2 ') '2222:2 м Имеем 1 гх 23 ( )!х ( (2» — 4) )!х + )2 — ' *2* ) ртг* — * 1 '2тгг — * 1 )2 2*'; ) гчгт-Л Первый из этих интегралов вычисляется непосредственно: )1х )' )1х . х — 1 а)гп:Р .) „%:),-т)' '2 ' Ко второму интегралу применим подстановку х — 1 = ». Тогда ои преобразуется к интегралу 2» — 2 2!», <3 + 2),/3- который раскладывается иа два интеграла 2» 3» / )!» 11+ 2= <3+» ),/3 хг 2 <)1+гг),/3 —,2' Первый из иих вычисляется с помощью подстановки з/3 — »2 = и )!г 1 х/6+ г ~ 1) = — 2/1 — = — — !в „1 С вЂ” П 2/6 2/6 — 1 ~ Возвращаясь к перемеииой х, получаем г '2 2-* 11 = — — !л Л Ч вЂ” 2222'-Р' Для вычисления интеграла 11 = — 2) полагаем = г; тогда Ы» 2 )з+»21 з-»2 з-22 Л 2 '2 '2) — ) 1 = — 1 = — э 2 '1 ~»а 2.-ъ — ' 1 3.
Интегрирование иррациональных функций 237 Таким образом, окончательно имеем — Л-с/сгс:з /с гт) — ) / = агсша — ' — — 1п — — агс18 +С. а сс + /Зт 105. С помосцью дробно-линейной подстановки х = вычислить интеграл 1+1 с(х с.* — * + ) '** + ы с ~' М Применяя предложенную подстановку, получаем г + ('" + )Зг) — (1 + !Но + )31) + (1 + 1) (1 ! 1)г ( +/31)'+(1+1Н +31)+(1+1)' (1+ 1)г но, го/3 — а — 3+2 = О, гоФ+ о+3+ 2 = О. Решая систему, находим о = 1, // = — 1. Тогда — — гзг г 31'+1 х= —, с!х=, х — »+1= (1+1)г' (1 ! 1)г) с1=',,' с '," с с* — * -)) ,/о+з Таким образом, 131 1 31 ! 1) //»+3 / (31г ! 1)~/~5+3' пРименим подстановкУ з/ст + 3 = и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
