08 Функции нескольких переменных как отображения (936695)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-128.1. Открытые и замкнутые множества(x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . .
+ xn yn ,и в соответствии с этой нормой расстояниеρ(x, y) = |x − y|,которое совпадает с расстоянием, введенным согласно формуле (8.1).3ÔÍ-12где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). В евклидовом пространстве можно ввести евклидовунормуp|x| = (x, x)ÌÃÒÓВспомним, что Rn — это евклидово арифметическое пространство со скалярным произведениемÔÍ-12Множество упорядоченных наборов (x1 , x2 , . . . , xn ) (кортежей) из n действительных чисел x1 , x2 , .
. . , xn есть n-я декартова степень Rn множества R действительных чисел. Такиенаборы уже использовались как элементы линейного арифметического пространства, котороетакже принято обозначать через Rn . В этой книге упорядоченные наборы действительных чисел будут активно использоваться, но в несколько ином контексте.
В рамках линейной алгебрыэлементы множества Rn часто называют арифметическими векторами и используют влинейных операциях. Мы не только будем рассматривать их как объекты линейных операций,но и оценивать степень их близости, характеризуя ее расстоянием в Rn . В таком контекстеэлементы Rn удобнее называть не векторами, а точками. Это соответствует традиции, согласнокоторой числа, т.е. элементы числовой оси, также называют точками. В этой книге элементылинейного пространства Rn мы в зависимости от ситуации называем или арифметическими векторами, или точками: первый термин связан с операциями линейного пространства, второй —с топологическими аспектами в Rn .
Как и в случае одного переменного, элементы Rn будемобозначать малыми буквами латинского алфавита: x, y, a, b, . . . От этого соглашения мы внекоторых случаях будем отступать и обозначать точки «в стиле аналитической геометрии»как P , Q, . . . , отражая тем самым связь с точками пространства или плоскости.Для элемента x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn числа x1 , x2 , . . . , xn будем называть координатами точки x в Rn . Это соглашение отражает аналогию с двумерным и трехмерным случаями:элемент (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 можно рассматривать как набор декартовых (аффинных) координатточки в пространстве, если в нем зафиксирована некоторая декартова (аффинная) система координат.
Расстоянием ρ(x, y) между точками x = (x1 , x2 , . . . , xn ) и y = (y1 , y2 , . . . , yn ) назовемчислоp(8.1)ρ(x, y) = (x1 − y1 )2 + . . . + (xn − yn )2 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМетрика и окрестности в Rn . Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества вRn . Граница множества. Понятие области в Rn . Скалярная функция нескольких переменных(ФНП) как отображение F : Ω → R, Ω ∈ Rn . Линии и поверхности уровня. Предел ФНП.Бесконечно малые и бесконечно большие ФНП. Непрерывность ФНП в точке, на множестве.Свойства ФНП, непрерывных на множестве (без док-ва).ÔÍ-12ÔÍ-12ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ КАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 8ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4Обозначим через a произвольную точку из Rn , и пусть ε — положительное число.Определение 8.1. Множество U(a, ε) тех точек из Rn , расстояние от которых до точкиa ∈ Rn меньше ε, ε > 0, т.е.
множествоU(a, ε) = {x ∈ Rn : ρ(x, a) < ε} ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯ—проколотой ε-окрестностью точки a.x3x2ÌÃÒÓÌÃÒÓПроколотая ε-окрестность точки a состоит из всех точек ее ε-окрестности, кроме самойточки a.В случае n = 1 ε-окрестность U(a, ε) точки a ∈ R представляет собой интервал (a − ε, a + ε)с серединой в точке a, имеющий длину 2ε (рис. 8.1, а). Если n = 2, то ε-окрестность U(a, ε) точкиa ∈ R2 состоит из точек плоскости, которые лежат внутри окружности радиуса ε с центромв точке a (рис.
8.1, б). Если же n = 3, то ε-окрестность U(a, ε) точки a состоит из точек,которые расположены внутри сферы радиуса ε с центром в точке a (рис. 8.1, в). В общемслучае множество точек x ∈ Rn+1 , для которых ρ(x, a) = ε, называют n-мерной сферойрадиуса ε с центром в точке a, так что можно сказать так: ε-окрестность точки a ∈ Rn — этооткрытый n-мерный шар радиуса ε с центром в точке a, т.е. множество точек, лежащихвнутри (n − 1)-мерной сферы радиуса ε с центром в точке a.aaaаOx1Oбx2x1ÔÍ-12ÔÍ-12◦U(a, ε) = U(a, ε) \ {a} = {x ∈ Rn : 0 < ρ(x, a) < ε}ÌÃÒÓÌÃÒÓназывают ε-окрестностью точки a, а множествовJ Пусть x — произвольная точка из ε1 -окрестности U(a, ε1 ) точки a. Согласно определению8.1, расстояние между точками x и a удовлетворяет неравенству ρ(x, a) < ε1 .
Так как ε1 66 ε2 , то и ρ(x, a) < ε2 . Значит, согласно определению ε2 -окрестности, точка x принадлежитε2 -окрестности U(a, ε2 ) точки a. Итак, доказано, что при ε1 6 ε2 любая точка ε1 -окрестноститочки a принадлежит ε2 -окрестности точки a: U(a, ε1 ) ⊂ U(a, ε2 ). IОпределение 8.2. Точку a множества A ⊂ Rn называют внутренней точкой этого множества, если существует ε-окрестность U(a, ε) точки a, целиком содержащаяся в A:U(a, ε) ⊂ A.
Множество всех внутренних точек A называют внутренностью множестваA и обозначают Int A. Если каждая точка множества A является его внутренней точкой, тосамо множество A называют открытым множеством.На рис. 8.2 множество A на плоскости ограничено сплошной и штриховой линиями. Подразумевается, что точки сплошной линии принадлежат множеству A, а штриховой — нет.
ТочкаP является внутренней точкой множества A, а точки лежащие на сплошной линии, напримерточка C, — нет. Это значит, что множество A не является открытым, так как содержит точки,не являющиеся для A внутренними.ÔÍ-12Замечание 8.1. Пустое множество по определению считают открытым.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 8.1. Для любой точки a ∈ Rn при ε1 6 ε2 ее ε1 -окрестность содержится в ееε2 -окрестности.ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим свойство вложенности ε-окрестностей одной и той же точки.ÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 8.1ÌÃÒÓAPCРис.
8.2Пример 8.1. Простейшими открытыми множествами в Rn являются ε-окрестности точек. Действительно, рассмотрим произвольную точку a ∈ Rn и ее ε-окрестность U(a, ε).Если x ∈ U(a, ε), то по определению 8.1 имеем ρ(x, a) < ε. Выберем положительное числоε1 = ε − ρ(x, a). Если точка y принадлежит ε1 -окрестности U(x, ε1 )точки x, то ρ(y, x) < ε1 .
Согласно неравенству треугольника,x1yρ(y, a) 6 ρ(y, x) + ρ(x, a) < ε1 + ρ(x, a) = ε.Значит, точка y принадлежит ε-окрестности U(a, ε) точки a. Поскольку точка y ∈ U(x, ε1 ) может быть выбрана произвольно, заключаем,что U(x, ε1 ) ⊂ U(a, ε).Итак, любая точка x ∈ U(a, ε) имеет ε1 -окрестность U(x, ε1 ), целиком попадающую в U(a, ε). Это означает, что точка x внутренняя дляРис.
8.3множества U(a, ε), которое, следовательно, является открытым (именно поэтому ε-окрестности точек в Rn называют открытыми n-мерными шарами). На рис. 8.3 приведена геометрическая иллюстрация доказательства при n = 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ5ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓÔÍ-12n\Ui .i=1i∈Iгде множества Vi ⊂ Rn , i ∈ I, открытые, а I — некоторое множество индексов. В случае пустого множества V утверждение очевидно, и мы будем считать, что V не пусто. Если точка aÔÍ-12Если множество U пустое, то оно открыто по определению. Для непустого множества Uрассмотрим произвольную точку a ∈ U . Согласно определению пересечения множеств, онапринадлежит каждому из множеств Ui , i = 1, n. Так как эти множества открыты, то по определению 8.2 для каждого множества Ui существует такое число εi > 0, что εi -окрестностьточки a содержится в Ui .
Положим ε = min{ε1 , . . . , εn }. Тогда при всех i = 1, n выполненынеравенства ε 6 εi . Согласно свойству вложенности ε-окрестностей (см. теорему 8.1), имеемU(a, ε) ⊂ U(a, εi ) ⊂ Ui , i = 1, n. Поэтому ε-окрестность U(a, ε) содержится и в пересечении всехмножеств Ui , т.е. в множестве U , а это по определению 8.2 означает, что a — внутренняя точкадля множества U .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
