14 Условный экстремум (936701)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 14ÔÍ-1262ÔÍ-12Определение 14.1. Говорят, что функция f (x), определенная в окрестности точки a ∈ Rn ,достигает в этой точке условного локального максимума (минимума) при условияхϕ1 (x) = 0, ϕ2 (x) = 0, .
. . , ϕm (x) = 0, где ϕi (x), i = 1, m, — некоторые функции несколькихÌÃÒÓНас интересует решение задачи в области x > 0, y > 0.В данном случае решение задачи легко можно найти, выразив из уравнения связи 2(x + y) =2p одно из переменных и подставив найденное выражение в функцию S(x, y). В результате мыпридем к задаче поиска минимума действительной функции одного действительного переменного. Например, из уравнения связи находим y = p − x. Тогда площадь прямоугольника призаданном ограничении можно представить как функцию только переменного x: S(x) = x(p − x).Исходя из естественных ограничений x > 0, y > 0, находим область изменения переменного x:0 < x < p.
Функция S(x) достигает максимума в интервале (0, p) при x = p/2, что дает решение рассматриваемой задачи: x = y = p/2. Итак, среди всех прямоугольников с заданнымпериметром наибольшую площадь имеет квадрат.Отметим, что функция двух переменных S(x, y) = xy не имеет экстремумов, а у рассмотренной задачи решение существует. Это связано с тем, что для задачи (14.1) не играютроли значения функции S(x, y) в тех точках, которые не удовлетворяют ограничениям. В задачах такого типа все зависит от поведения функции лишь на части ее области определения,а именно на множестве тех точек в области определения, которые подчиняются установленнымограничениям.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПример 14.1.
Рассмотрим задачу определения прямоугольника с заданным периметромнаибольшей площади. Обозначив через x и y длины сторон прямоугольника, через 2p — егопериметр, мы придем к задаче поиска максимума площади прямоугольника S(x, y) = xy придополнительном условии (ограничении) 2(x + y) = 2p, что кратко можно записать следующимобразом:S(x, y) = xy → max, 2(x + y) = 2p.(14.1)ÔÍ-12ÔÍ-1214.1.
Общая постановка задачиÌÃÒÓÌÃÒÓВ приложениях часто встречаются задачи поиска экстремумов функций нескольких переменных при дополнительных ограничениях на возможные изменения переменных. Такиеограничения могут иметь различный характер. Например, значения переменных должны удовлетворять одному или нескольким уравнениям или неравенствам.
Как ограничение можнорассматривать условие попадания точки n-мерного линейного арифметического пространствав заданную область, или, наоборот, точки некоторого множества в Rn не принимаются в расчет. Далее мы остановимся на случае, когда аргументы функции подчиняются ограничениямв виде одного или нескольких уравнений, часто называемых уравнениями связи.ÔÍ-12ÔÍ-12Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при n = 2), функция Лагранжа. Необходимое условие условного экстремума (вывод для n = 2). Достаточные условия(без док-ва). Нахождение наибольшего и наименьшего значений дифференцируемой ФНП назамкнутом ограниченном множестве.ÌÃÒÓÌÃÒÓУСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ63переменных, определенные в окрестности точки a, если существует такая проколотая окрест◦◦ность U(a, δ) точки a, что для всех точек x ∈ U(a, δ), удовлетворяющих условиям ϕi (x) = 0,i = 1, m, верно неравенствоf (x) 6 f (a) (f (x) > f (a)).(14.2)Понятия условного локального максимума и минимума объединяют под общим названиемусловный экстремум функции.
Если в определении 14.1 неравенства строгие, то говорято строгом условном экстремуме функции.Задачу исследования функции f : Rn → R на условный экстремум при ограничениях ϕi (x) =0, i = 1, m, заданных с помощью функций ϕi : Rn → R, часто записывают в видеf (x) → extr,ϕi (x) = 0, i = 1, m,(14.3)(14.4)ÌÃÒÓÌÃÒÓU = {(x, y): |x − a| < δ1 , |y − b| < δ2 }ÔÍ-12J Поскольку grad ϕ(a, b) 6= 0, то одна из частных производных первого порядка функции ϕ(x, y)в точке P отлична от нуля.
Пусть, например, ϕ0y (a, b) 6= 0. По теореме 11.1 о неявной функциив некотором прямоугольникеÌÃÒÓТеорема 14.1 (необходимое условие условного экстремума). Пусть функции двухпеременных f (x, y) и ϕ(x, y) определены и непрерывно дифференцируемы в окрестности точкиP (a; b). Если функция f (x, y) имеет в точке P условный экстремум при условии ϕ(x, y) = 0,причем grad ϕ(a, b) 6= 0, то существует такое число λ, которое вместе с координатами a и bточки P удовлетворяет системе уравнений 0f (x, y) + λϕ0x (x, y) = 0, xfy0 (x, y) + λϕ0y (x, y) = 0,(14.5)ϕ(x, y) = 0.ÔÍ-12Остановимся на простейшем случае функции двух переменных.ÔÍ-1214.2.
Необходимое условие условного экстремумаÌÃÒÓи называют задачей на условный экстремум. При этом функцию f (x) называют целевой функцией. Условия (14.4) в общем случае представляют собой систему нелинейныхуравнений — уравнений связи.Метод решения, использованный в примере 14.1, может применяться лишь в простейшихситуациях. Распространение этого метода на общий случай наталкивается на трудности,связанные с исключением части переменных из аргументов целевой функции при помощи уравнений связи.
Такой подход приводит к необходимости решать систему нелинейных уравнений,а это, как известно, — сложная задача. Отметим, что исключение неизвестных с помощьюуравнений связи приводит затем к задаче поиска локального экстремума функции несколькихпеременных, т.е. к решению еще одной системы нелинейных уравнений, которые получаются приравниванием нулю частных производных. Исключение неизвестных нужно лишь затем,чтобы вычислить эти частные производные, но частные производные можно также вычислитьи с помощью теоремы о неявной функции.
В этом случае исключение неизвестных фактическиуже не нужно, и решение задачи упрощается. Развитию этого подхода на основе теоремы о неявной функции мы и уделим внимание, начав с более простой задачи для условного экстремумафункции двух переменных.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14.
УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ64ÔÍ-12ÔÍ-12с центром в точке (a; b) уравнение ϕ(x, y) = 0 разрешимо относительно переменного y, т.е.задает неявную функцию y = h(x), непрерывно дифференцируемую в окрестности точки a,причемϕ0x 0h (x) = − 0 (14.6).ϕy y=h(x)ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМВ прямоугольнике U точки, удовлетворяющие условию ϕ(x, y) = 0, имеют вид (x; h(x)), гдеx ∈ (a − δ1 , a + δ1 ). Значит, если функция f (x, y) имеет в точке P условный экстремум приусловии ϕ(x, y) = 0, то функция g(x) = f (x, h(x)) одного переменного имеет в точке a локальныйэкстремум. Эта функция, как композиция дифференцируемых функций, является дифференцируемой в точке a.
Следовательно, в силу необходимого условия локального экстремума верносоотношение g 0 (a) = 0. Согласно правилу дифференцирования сложной функции и равенству(14.6), находимÌÃÒÓ+fy0 (a, b)h0 (a)=fx0 (a, b)−ϕ0 (a, b)fy0 (a, b) x0ϕy (a, b)( 0fx (a, b) + λϕ0x (a, b) = 0,fy0 (a, b) + λϕ0y (a, b) = 0,где первое из этих уравнений вытекает из условия g 0 (a) = 0, а второе эквивалентно равенству,определяющему число λ.
Добавив к этим уравнениям равенство ϕ(a, b) = 0, которое должновыполняться в точке условного локального экстремума, получим систему уравнений (14.5).Доказательство теоремы в случае, когда ϕ0x (a, b) 6= 0, проводится аналогично. IСистему уравнений (14.5) можно записать в видеϕ(x, y) = 0аgradj(x) = 0Pбgrad fвРис. 14.1ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Pj(x) =0grad fÌÃÒÓgradc1 c2 c3ÔÍ-12cc1 c2 3ÌÃÒÓи придать ей следующую геометрическую интерпретацию: если в точке условного экстремумавыполняются условия теоремы 14.1, то линия уровня целевой функции касается кривой, заданной уравнением связи.
На рис. 14.1, а показано, почему в этом случае необходимое условие неможет нарушаться в точке P условного экстремума. Представлены линии уровня f (x) = c1 ,f (x) = c2 и f (x) = c3 . В изображенной ситуации c1 < c2 < c3 (это определяется направлениемградиента функции f (x, y), являющимся направлением ее роста) и функция f (x, y) на кривойϕ(x, y) = 0 не может иметь экстремума. На рис. 14.1, б показано поведение функции в окрестности условного максимума P . В соответствии с указанным направлением градиента функцииf (x, y) имеем c1 < c2 < c3 , что и обеспечивает локальный максимум f (x, y) в точке P на кривойϕ(x, y) = 0.
На рис. 14.1, в изображена ситуация, при которой необходимое условие условногоэкстремума выполнено, но экстремума тем не менее нет (в соответствии с направлением grad fв точке P имеем c1 < c2 < c3 ).ÔÍ-12ÔÍ-12fy0 (a, b) 0− 0ϕ (a, b) = 0.ϕy (a, b) xВведем обозначение λ = −fy0 (a, b)/ϕ0y (a, b). Тогдаgrad f (x, y) = −λ grad ϕ(x, y),ÌÃÒÓ=fx0 (a, b)ÌÃÒÓÌÃÒÓg (a) =fx0 (a, b)ÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ65Введем функциюL(x, y, λ) = f (x, y) + λϕ(x, y),(14.7)которую называют функцией Лагранжа, где λ — множитель Лагранжа. Тогда система(14.5) будет иметь видL0x (x, y, λ) = 0,L0y (x, y, λ) = 0,L0λ (x, y, λ) = 0.(14.8)Таким образом, задача на условный экстремумf (x, y) → extr,ϕ(x, y) = 0при выполнении условий теоремы 14.1 сводится к поиску стационарных точек функции Лагранжа (14.7) и их анализу.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14.
УСЛОВНЫЙЭКСТРЕМУМf (x, y) = xy → extr,2(x + y) = 2p,x > 0, y > 0,сформулированной в примере 14.1.Функции f (x, y) = xy и ϕ(x, y) = 2(x+y)−2p удовлетворяют условиям теоремы 14.1, поэтомурешать задачу можно при помощи функции Лагранжа.Составим функцию Лагранжа (14.7):ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 14.2. Найдем точки, подозрительные на условный экстремум, в задачеНеобходимые условия (14.8) условного экстремума приводят к системе уравненийL0x (x, y, λ) = y + λ = 0,L0y (x, y, λ) = x + λ = 0,L0λ (x, y, λ) = x + y − p = 0.Выражая x и y из первых двух уравнений и подставляя эти выражения в третье уравнение,находим −2λ − p = 0, откуда λ = −p/2 и x = y = p/2. Следовательно, условный экстремум врассматриваемой задаче может быть только в точке P (p/2; p/2) (рис.
14.2). #yp2OPp2ÌÃÒÓÌÃÒÓf(x, y) =cp2f(x, y) =4j(x) = 0ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓL(x, y, λ) = xy + λ(x + y − p).xНеобходимое условие для задачи общего вида (14.3), (14.4) может быть получено по той жесхеме, что и в частном случае двух переменных. В задаче (14.3), (14.4) функция Лагранжапо определению имеет видmXL(x, λ) = f (x) +λi ϕi (x).(14.9)При этом числа λi , i = 1, m, называют множителями Лагранжа в этой задаче.ÌÃÒÓi=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Рис. 14.2ÌÃÒÓТеорема 14.3. Пусть функции f : Rn → R, ϕi : Rn → R, i = 1, m, дважды непрерывно∂ϕi (a)= m и координатыдифференцируемы в окрестности точки a ∈ Rn , ϕ(a) = 0, Rg∂xjÌÃÒÓj=1∂xjdxj = 0,ÌÃÒÓdϕi =mX∂ϕi (a)i = 1, m.(14.11)ÔÍ-12Теорема 14.3 утверждает, что для проверки точек, подозрительных на условный экстремум,необходимо проанализировать квадратичную форму d2 L(a), т.е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
