09 Дифференцируемые функции нескольких переменных (1334101)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-129.1.
Частные производныеПример 9.1. Функция двух переменных f (x, y) = x2 + 6xy − y 3 имеет две частные производные: fx0 (x, y) = 2x + 6y, fy0 (x, y) = 6x − 3y 2 . Аналогично для функции g(x, y) = xy , x > 0,находим gx0 (x, y) = yxy−1 , gy0 (x, y) = xy ln x. #∆i f (a, ∆xi ) = f (a1 , . . . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ).20ÔÍ-12Эту разность называют частным приращением функции нескольких переменных f вточке a по независимому переменному xi . Частное приращение обозначают также через ∆i f (a)или ∆xi f (a).В соответствии с определением частная производная функции f в точке a по переменномуxi есть предел∆i f (a)lim(9.1)∆xi →0 ∆xiотношения частного приращения функции по переменному xi к приращению ∆xi этого жепеременного при ∆xi → 0.
Существование этого предела означает существование частнойпроизводной, т.е. он приводит ко второй формулировке определения частной производной.ÌÃÒÓПусть функция f : Rn → R определена в δ-окрестности U(a, δ) точки a ∈ Rn . Обозначим через ∆xi такое приращение независимого переменного xi в точке a, при котором точкаa = (a1 , . . . , ai−1 , ai +∆xi , ai+1 , . . . , an ) принадлежит U(a, δ). Для этого достаточно, чтобывыполнялось неравенство |∆xi | < δ. Тогда определена разность значений функции f , соответствующая приращению ∆xi :ÔÍ-12Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой окрестноститочки a = (a1 , . . .
, an ) ∈ Rn . Тогда в некоторой окрестности точки a1 ∈ R определена функцияодного переменного ϕ1 (x1 ) = f (x1 , a2 , . . . , an ), которая получается из функции f (x) при фиксированных значениях всех аргументов, кроме первого. Производную ϕ0 (a1 ) функции ϕ(x1 ) вточке a1 ∈ R называют частной производной функции нескольких переменных f вточке a по переменному x1 .
Аналогично можно определить частные производные функции fи по другим переменным.Частную производную функции f в точке a по переменному xi обозначают следующим образом:∂f (a)илиfx0 i (a).∂xiВычисление частных производных функции нескольких переменных сводится к дифференцированию функции одного действительного переменного, когда все переменные функции, кромеодного, «замораживаются».ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЧастные производные ФНП, геометрическая интерпретация для n = 2. Частные производныевысших порядков.
Теорема о независимости смешанных частных производных от порядкадифференцирования. Матрица Гессе. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия идостаточное условие дифференцируемости.ÔÍ-12ÔÍ-12ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 9ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓzPQa1LxaРис. 9.1Докажем, что касательная к кривой γ в точке P существует, если функция f имеет в точке(a1 , a2 ) частную производную по переменному x, причем угол α между касательной и положительным направлением оси Ox определяется формулойÔÍ-12Oa2ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ21Пусть функция двух переменных f (x, y) определена в некоторой окрестности точки a == (a1 , a2 ) ∈ R2 .
Графиком этой функции в пространстве является поверхность, которая впрямоугольной системе координат Oxyz описывается уравнением z = f (x, y). Обозначим линию пересечения этой поверхности с плоскостью y = a2 через γ. Выберем на этой кривойточки P (a1 , a2 , f (a1 , a2 )) и Q(a1 + ∆x, a2 , f (a1 + ∆x, a2 )), а затем через эти точки проведемпрямую L.Пусть при стремлении точки Q по кривой γ к точке P прямая займет некоторое предельноеположение.
Соответствующую этому положению прямую называют касательной к кривой γ вточке P (рис. 9.1).yÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ∆x f (a1 , a2 ).∆xЕсли существует частная производная функции f в точке (a1 , a2 ) по переменному x, тосуществует предел∆x f (a1 , a2 )∂f (a1 , a2 )lim tg ϕ = lim=.∆x→0∆x→0∆x∂xПоскольку функция arctg x непрерывна в области определения, то существует и пределα = lim ϕ = lim arctg(tg ϕ) = arctg lim tg ϕ .tg ϕ =∆x→0∆x→0∆x→0ÌÃÒÓЗамечание 9.1.
Можно также показать, что если определена касательная к кривой γ вточке P , причем α 6= ±π/2, то в точке (a1 , a2 ) существует частная производная функции f попеременному x. Если же α = ±π/2, т.е. касательная занимает вертикальное положение, то величина tg ϕ стремится к ±∞ при ∆x → 0, а функция одного переменного ϕ1 (x) = f (x, a2 ) имеетв точке x = a1 беасконечную производную. В этом случае говорят о бесконечной частной производной, расширяя понятие частной производной, и пишут fx0 (a1 , a2 ) = ±∞.
Еслинеобходимо исключить это расширение, то говорят о конечной частной производной.ÌÃÒÓÔÍ-12Следовательно, прямая L имеет предельное положение при ∆x → 0, причем тангенс соответствующего угла α равен частной производной fx0 (a1 , a2 ).ÔÍ-12ÔÍ-12Действительно, угол ϕ, который прямая L, проходящая через точки P и Q, образует с положительным направлением оси Ox, вычисляется по формулеÌÃÒÓÌÃÒÓtg α = fx0 (a1 , a2 ).Аналогично, если существует частная производная fy0 (a1 , a2 ), то в точке P существует касательная к линии пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостью x = a1 , причем значениечастной производной fy0 (a1 , a2 ) равно тангенсу угла, который эта касательная образует с положительным направлением оси Oy.Приведенная геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных аналогична соответствующей интерпретации производной действительной функции одногодействительного переменного.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-129.2.
Дифференцируемостьфункций нескольких переменныхПусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой окрестноститточки x ∈ Rn и ∆x = (∆x1 . . . ∆xn ) — такой вектор приращений независимых переменных,что точка x + ∆x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случае определено полноеприращение функции f∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x),соответствующее приращению ∆x переменных в точке x. Напомним, чтоp|∆x| = (∆x1 )2 + . . . + (∆xn )2 .Определение 9.1. Функцию f : Rn → R, определенную в некоторой окрестности точки x,называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этойточки можно представить в виде∆f (x) = a1 ∆x1 + a2 ∆x2 + . .
. + an ∆xn + α(∆x)|∆x|,(9.2)где коэффициенты a1 , a2 , . . . , an не зависят от приращений ∆x, а функция α(∆x) являетсябесконечно малой при ∆x → 0.Функцию f называют дифференцируемой в области X ⊂ Rn , если она дифференцируема в каждой точке этой области.ai = fx0 i (x),i = 1, n.т∆x = (0 . . .
0 ∆xi 0 . . . 0) ,∆xi 6= 0,где номер i выбран произвольным образом и зафиксирован. В этом случае |∆x| = |∆xi |, соответствующее полное приращение ∆f (x) функции f (x) сводится к ее i-му частному приращению∆i f (x), а равенство (9.2) принимает видÔÍ-12J Для дифференцируемой в точке x функции f представление (9.2) верно для любого приращения ∆x. В частности, это представление верно, если приращение ∆x имеет видÌÃÒÓТеорема 9.1 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных f : Rn → R дифференцируема в точке x, то у этой функции в точке x существуют все (конечные) частные производные fx0 i (x), i = 1, n, причем коэффициенты ai впредставлении (9.2) равны значениям соответствующих частных производных в точке x:ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ22ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕпоскольку функция α(∆x) бесконечно малая при ∆xi → 0, а отношение|∆xi |= ±1 ограниче∆xiно, так что последний предел равен нулю (см. 8.3, свойство 9 предела функции несколькихпеременных). Следовательно, производная fx0 i (x) в точке x существует и равна ai . IСледствие 9.1. Если функция нескольких переменных f : Rn → R дифференцируема вточке x, то в этой точке ее полное приращение ∆f (x) можно представить в видегде α(∆x) → 0 при ∆x → 0.(9.3)ÌÃÒÓ∆f (x) = fx0 1 (x)∆x1 + . . . + fx0 n (x)∆xn + α(∆x)|∆x|,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Разделив последнее равенство на ∆xi и перейдя к пределу при ∆xi → 0, получим∆i f (x)|∆xi |lim= ai + lim α(∆x)= ai ,∆xi →0 ∆xi∆xi →0∆xiÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = ∆i f (x) = ai ∆xi + α(∆x)|∆xi |.ÌÃÒÓJ Пусть функция f (x) дифференцируема в точке a. Тогда ее полное приращение в точке aможно записать в видеnX∂f (a)∆f (a) =∆xk + α(∆x)|∆x|,∂xkk=1где α(∆x) → 0 при ∆x → 0. Из этого представления следует, что существует предел∂xk∆x→0означающий, что функция f (x) непрерывны в точке a.
Действительно, полагая ∆x = x − a,заключаем, что f (x) = f (a) + ∆f (a). При x → a имеем ∆x → 0 и, следовательно, ∆f (a) → 0.По теореме 8.4 имеем f (x) → f (a) при x → a, что и означает непрерывность функции fi (x) вточке a. IСледствие 9.2. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой области, то она непрерывна в этой области.Пример 9.2. Функция двух переменных( xyx2 + y 20,, x2 + y 2 6= 0;ÌÃÒÓСледующие два примера показывают, что необходимые условия дифференцируемости, окоторых говорится в теоремах 9.1 и 9.2, не являются достаточными условиями дифференцируемости, т.е. обращения соответствующих теорем неверны.f (x, y) =x = y = 0,в начале координат имеет частные производные.
При этом fx0 (0, 0) = 0, fy0 (0, 0) = 0, так какf (x, 0) ≡ 0 и f (0, y) ≡ 0. Если бы эта функция была дифференцируемой в точке (0, 0), топо теореме 9.2 она была бы непрерывной в этой точке (0, 0). Однако это не так (см. пример8.17). Следовательно, функция f (x, y) не дифференцируема в точке (0, 0), хотя и имеет частныепроизводные в этой точке.Одновременное выполнение обоих необходимых условий (непрерывности в точке и существования частных производных) также не гарантируют дифференцируемость функции в точке.непрерывна при x2 + y 2 6= 0 как отношение двух непрерывных функций.
Эта функция непрерывна и в точке (0, 0), поскольку из двойного неравенства 2 xy = |x| |y| |x| 6 1 |x|0 6 2x + y 2 |x|2 + |y|22ÔÍ-12Пример 9.4. Функция двух переменных 2 x y , x2 + y 2 6= 0;f (x, y) = x2 + y 2 0,x = y = 0,ÌÃÒÓПример 9.3. Функция двух переменных f (x, y) = |x| + |y| непрерывна в точке (0, 0), но вэтой точке не существуют ее частные производные fx0 (0, 0) и fy0 (0, 0). Поэтому данная функцияне может быть дифференцируемой в точке (0, 0). #ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∆x→0ÌÃÒÓÔÍ-12k=1lim ∆xk + lim α(∆x)|∆x| = 0,ÔÍ-12ÌÃÒÓnX∂f (a)ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 9.2. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке,то она непрерывна в этой точке.∆x→0ÌÃÒÓÌÃÒÓ23Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть ещеодно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное сее непрерывностью.lim ∆f (a) =ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
