01 Линейные пространства (1334093)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 1ÔÍ-123ÔÍ-12Элементы линейного пространства принято называть векторами. Элемент 0, существование которого постулируется аксиомой в), называют нулевым вектором, а элемент (−x) —вектором, противоположным к вектору x.В понятии «линейное пространство» важно не только рассматриваемое множество L, но изаданные операции сложения элементов и умножения на число.

Одно и то же множество Lпри одних операциях может быть линейным пространством, а при других — нет. Фактически линейным пространством является совокупность (L, +, ·) из множества элементов и двухопераций, которая удовлетворяет условиям определения 1.1. В этой тройке объектов базовымвсе-таки является множество L, так как операции вводятся именно на этом множестве.

Поэтому понятие линейного пространства обычно ассоциируют с множеством элементов L и говорят,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Определение 1.1. Множество L элементов x, y, z, . . . любой природы называют линейным пространством, если выполнены три условия:1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам x, y ∈ Lставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y;2) задано умножение элемента на число, т.е.

закон, по которому любому элементуx ∈ L и любому числу λ ∈ R ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый произведением элемента x на (действительное) число и обозначаемый z = λx;3) указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линейного пространства:а) сложение коммутативно: x + y = y + x;б) сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z);в) существует такой элемент 0 ∈ L, что x + 0 = x для любого x ∈ L;г) для каждого элемента x множества L существует такой элемент (−x) ∈ L, что x ++ (−x) = 0;д) произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу: 1·x = x;е) умножение на число ассоциативно: λ(µx) = (λµ)x;ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: (λ+µ)x == λx + µx;з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам:λ(x + y) = λx + λy.ÌÃÒÓÌÃÒÓЦентральное место в линейной алгебре занимает следующее понятие.ÔÍ-12ÔÍ-121.1.

Определение линейного пространстваÌÃÒÓÌÃÒÓАксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерностилинейного пространства. Теоремы о базисе и размерности (без док-ва).

Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами вбазисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходек новому базису.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓλx = (λx1 , . .

. , λxn ),ÔÍ-12Пример 1.2. На множестве Rn = {x: x = (x1 , . . . , xn )}, элементами которого являютсяупорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел, введем операцииλ ∈ R.ÔÍ-12Тогда получим линейное пространство, так как все аксиомы линейного пространства для данных операций выполняются. Это линейное пространство, по сути, есть линейное пространствоматриц-строк. Отличие лишь формальное, так как первое определено как множество упорядоченных наборов чисел, а второе как множество матриц. Но элементы матрицы всегдазаписывают в определенном порядке. Линейное пространство Rn называют линейным арифметическим пространством.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ1) множество V3 (V2 ) всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейнымиоперациями над векторами — линейное пространство, так как верны все аксиомы линейногопространства;2) множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке ипараллельных данной плоскости (рис.

1.1) с линейными операциями над векторами являетсялинейным пространством;3) множество Mmn (R) матриц типа m×n, элементами котоOрых являются действительные числа, с линейными операцияминад матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейногоРис. 1.1пространства;4) множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины (высоты) n является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частныйслучай предыдущего примера);5) множество Kn [x] многочленов переменного x степени, не превышающей n, которые какфункции можно складывать и умножать на действительные числа;6) множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножатьна числа по законам матричных операций.

Столбец, получаемый в результате сложения решений или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определеныоперации, о которых говорится в определении 1.1, подчиняющиеся аксиомам линейного пространства;7) множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функцийи умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывнуюфункцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию. Поэтому сложение функций и умножение функции на число, не выводящие за пределымножества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейногопространства. Легко убедиться, что для этих операций верны все аксиомы линейного пространства.ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 1.1.

Приведем примеры линейных пространств:ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4что L — линейное пространство. При этом, как правило, очевидно, что понимается под операциями линейного пространства. Если же требуется явно указать используемые операции, тоговорят: множество L — линейное пространство относительно таких-то операций.Согласно определению 1.1 линейного пространства L сумма определена для любых элементов из L и всегда является элементом множества L.

Подчеркивая последнее, говорят, чтомножество L замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласнотому же определению, множество L замкнуто относительно операции умножения его элементовна действительные числа.x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ1.2. Свойства линейного пространстваНепосредственно из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейшихсвойств.Свойство 1.1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор.J В аксиоме в) линейного пространства не утверждается, что нулевой вектор должен бытьединственным. Но из аксиом а) и в) в совокупности это вытекает.

Пусть существуют два нулевых вектора 0 и 00 . Тогда0 = аксиома в) = 0 + 00 = аксиома а) = 00 + 0 = аксиома в) = 00 .Здесь в роли нулевого элемента сначала выступает вектор 00 , а затем 0. Видим, что векторы0 и 00 совпадают. IСвойство 1.2. Каждый вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор.= аксиома а) = (−x)0 + 0 = аксиома в) = (−x)0 .IÌÃÒÓJ Пусть для вектора x существуют два противоположных вектора (−x) и (−x)0 . Согласноаксиоме г) линейного пространства это означает, что x+(−x) = 0 и x+(−x)0 = 0. Рассмотримдвойную сумму (−x) + x + (−x)0 элементов линейного пространства.

Согласно аксиоме б) этасумма не зависит от порядка выполнения двух операций сложения. Меняя порядок сложения,получаем:(−x) + x + (−x)0 = (−x) + x + (−x)0 = (−x) + 0 = аксиома в) = (−x),(−x) + x + (−x)0 = (−x) + x + (−x)0 = аксиома а) = x + (−x) + (−x)0 = 0 + (−x)0 =ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÔÍ-12x + (−x) = 0,(−x) + x = 0.Справа стоят эквивалентные равенства (в силу аксиомы а) ). Значит, и утверждения слеваравносильны.

IJ С у щ е с т в о в а н и е. Решением уравнения a + x = b является вектор (−a) + b, так какa + (−a) + b = a + (−a) + b = 0 + b = b.Е д и н с т в е н н о с т ь. Пусть x — какое-либо решение указанного уравнения, т.е. выполненоравенство a + x = b. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (−a), получим (−a) +a+x = (−a)+b, откуда x = (−a)+b. Видим, что вектор x совпал с указанным выше решением(−a) + b. Значит, других решений нет. IПоследнее свойство позволяет ввести еще одну операцию в линейном пространстве, котораяявляется противоположной сложению.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций