13 Экстремум функции нескольких переменных (1334105)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 13ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЭкстремум ФНП.
Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе, без док-ва).Если неравенства в определении 13.1 являются строгими, то говорят о строгом экстремуме функции.Теорема 13.1 (необходимое условие экстремума функции). Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R имеет в точке a ∈ Rn экстремум. Если функция f (x) (x == (x1 , . . . , xn )) имеет в точке a частную производную первого порядка по переменному xi ,1 6 i 6 n, то эта частная производная равна нулю: fx0 i (a) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 13.1. Говорят, что функция нескольких переменных f : Rn → R, определеннаяв некоторой окрестности точки a ∈ Rn , имеет в этой точке локальный максимум (мини◦мум), если существует такая проколотая окрестность U(a, ε) точки a, что для любой точки◦x ∈ U(a, ε) выполнено неравенство f (x) 6 f (a), (f (x) > f (a)).
Понятия локального минимумаи локального максимума функции объединяют под общим названием экстремум функции.ÔÍ-12ÔÍ-1213.1. Необходимое условие экстремумаJ Утверждения следствия сводятся к следующему: если в точке a экстремума функция f (x)имеет все частные производные, то эти частные производные равны нулю. Действительно, градиент — это вектор, координатами которого являются значения частных производных функцииÔÍ-1257ÔÍ-12Следствие 13.1.
Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R имеет в точке a ∈ Rnэкстремум. Тогда:– если в точке a определен градиент функции f (x), то он равен нулю: grad f (a) = 0;– если функция дифференцируема в точке a, то df (a) = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓодного действительного переменного t, которая получается, если у функции f (x) зафиксированывсе переменные, кроме i-го, равного t. Функция g(t) в точке t = ai имеет локальный экстремум.В самом деле, пусть, например, f (x) имеет в точке a локальный максимум.
Тогда существует◦такая проколотая окрестность U(a, ε) = {x ∈ Rn : 0 < |x − a| < ε} точки a, что f (x) 6 f (a) при◦x ∈ U(a, ε). Но в таком случае g(t) 6 g(ai ) при 0 < |t − ai | < ε, что соответствует определениюлокального максимума функции одного переменного.Функция g(t) дифференцируема в точке t = ai , так как функция f (x) имеет в точке aчастную производную по переменному xi . При этом g 0 (ai ) = fx0 i (a). Согласно необходимомуусловию локального экстремума для функции действительного переменного, выполнено равенство g 0 (ai ) = 0.
Следовательно, fx0 i (a) = 0. IÌÃÒÓÔÍ-12g(t) = f (a1 , . . . , ai−1 , t, ai+1 , . . . , an )ÔÍ-12ÔÍ-12J Пусть a = (a1 , . . . , an ). Рассмотрим действительную функциюÌÃÒÓfy0 = 2(y + 2) = 0.Мы получили систему двух уравнений относительно неизвестных x и y. Единственнымрешением этой системы уравнений является x = 0, y = −2. Поэтому функция f (x, y) можетиметь экстремум только в точке (0, −2).Необходимое условие экстремума функции не позволяет определить, действительно ли вточке (0, −2) функция f (x, y) имеет экстремум. Оно лишь выделяет относительно небольшоеколичество точек, в которых экстремум может быть.
Дальнейшее исследование на экстремумпредполагает анализ каждой критической точки. В данном случае нетрудно увидеть, что в точ2ке (0, −2) функция f (x, y) имеет локальный минимум, так как слагаемое ex имеет наименьшеезначение при x = 0, а слагаемое (y + 2)2 — при y = −2.gx0 = 2x = 0,gy0 = −2y = 0.ÔÍ-12Пример 13.3. Функция двух переменных h(x, y) = |x|+y 2 дифференцируема во всех точкахплоскости xOy, кроме точек оси Oy. При этом h0x (x, y) = 1 при x > 0 и h0x (x, y) = −1 при x < 0.Значит, точки экстремума могут располагаться только на оси Oy, в точках которой не существует частная производная h0x .
Обратим внимание, что частная производная функции h(x, y)по переменному y существует во всех критических точках, но обращается в нуль только приy = 0, т.е. в начале координат. Поэтому единственная точка, в которой может быть экстремумфункции, — это точка (0, 0). Дальнейшее исследование поведения функции в окрестности этойточки можно проводить так же, как и в примере 13.1. Слагаемое |x| имеет строгий локальныйминимум при x = 0, а слагаемое y 2 — при y = 0. Следовательно, в точке (0, 0) функция h(x, y)имеет строгий локальный минимум.ÌÃÒÓЭта система имеет единственное решение x = 0, y = 0. Значит, функция g(x, y) может иметьэкстремум лишь в точке (0, 0). Однако при y = 0 функция одного переменного g(x, 0) = x2 вточке x = 0 имеет строгий локальный минимум, так как g(x, 0) = x2 > 0 = g(0, 0), x 6= 0, а приx = 0 функция одного переменного g(0, y) при y = 0 имеет строгий локальный максимум, таккак g(0, y) = −y 2 < 0 = g(0, 0), y 6= 0.
Поэтому точка (0, 0) не может быть точкой экстремумафункции g(x, y). #ÔÍ-12Пример 13.2. Покажем, что у функции g(x, y) = x2 − y 2 нет экстремумов (в этом, кстати,можно убедиться, изобразив в прямоугольной системе координат в пространстве график этойфункции).Функция g(x, y) дифференцируема на всей плоскости. Поэтому ее точки экстремума могутбыть лишь среди стационарных точек.
Вычислим частные производные функции и запишемсистему уравнений, приравняв частные производные нулю:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-122fx0 = 2xex = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓ2Пример 13.1. Функция двух переменных f (x, y) = ex + (y + 2)2 − 1 дифференцируемана всей плоскости. Значит, в соответствии с необходимым условием экстремума (см. такжеследствие 13.1) точки экстремума этой функции надо искать среди ее стационарных точек.Найдем частные производные функции и приравняем их нулю:ÌÃÒÓÔÍ-12Из следствия 13.1 вытекает, что точки экстремума функции нескольких переменных f (x)надо искать либо среди точек, в которых grad f (x) = 0 (т.е.
среди стационарных точекфункции), либо среди точек, в которых градиент не определен (не существует одна или несколько частных производных). Все точки, в которых градиент функции равен нулю или неопределен, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками функции.Впрочем, согласно теореме 13.1, при исследовании функции на экстремум можно не рассматривать те критические точки, в которых хотя и не все частные производные существуют, носуществует по крайней мере одна частная производная, не равная нулю.ÔÍ-12ÌÃÒÓпервого порядка в данной точке, а коэффициентами дифференциала первого порядка являютсяте же значения частных производных.
IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ58ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 13. ЭКСТРЕМУМФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХÔÍ-12ÌÃÒÓ∂2f= 2,∂x2∂2f= 0,∂x∂y∂2f= 12y 2∂y 2fx0 (a, b) = fy0 (a, b) = 0.Для частных производных в фиксированной точке часто используют обозначения:00B = fxy(a, b),ÌÃÒÓA = fx002 (a, b),C = fy002 (a, b).ÔÍ-12В точке P матрица Гессе f 00 (a, b) функции f (x, y), представляющая собой матрицу квадратичной формы d2 f (a, b), имеет вид!0000f(a,b)f(a,b)2xyxf 00 (a, b) =.00fxy (a, b) fy002 (a, b)ÌÃÒÓНапомним, что тип квадратичной формы d2 f (a) можно определить с помощью критерияСильвестра или приведением ее к каноническому виду. В случае функции двух переменныхдостаточное условие экстремума функции в сочетании с критерием Сильвестра приводит кпростым правилам проверки.Предположим, что функция f (x, y) дважды дифференцируема в окрестности точки P (a, b)и в этой точке выполнено необходимое условие экстремума функции, т.е.ÔÍ-12второй дифференциал функции f (x, y) в точке (0, 0) имеет вид d2 f (0, 0) = 2 dx2 .
Это вырожденная квадратичная форма, сохраняющая знак. Значит, теорема 13.2 в данном случае ничего недает. Однако нетрудно заметить, что в точке (0, 0) функция f (x, y) имеет локальный минимум.Функция двух переменных g(x, y) = x2 − y 4 также имеет единственную стационарную точку(0, 0), причем второй дифференциал этой функции в точке (0, 0) совпадает с d2 f (0, 0) = 2dx2 .Но при этом функция g(x, y) не имеет в точке (0, 0) экстремума, так как она в этой точкедостигает максимума при фиксированном x = 0 и минимума при фиксированном y = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 13.4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
