07 Канонический вид кривых и поверхностей второго порядка (1334099)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12aii x2i+2aij xi xj + 216i<j6nnXbk xk + c = 0,(7.1)k=1где aij , bk , c — действительные коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов aij ,1 6 i 6 j 6 n, отличен от нуля.Замечание 7.1. Поверхность второго порядка в Rn при n = 3 представляет собой обычнуюповерхность в пространстве, а при n = 2 — кривую на плоскости.ÔÍ-1276ÔÍ-12i=1XÌÃÒÓОпределение 7.1. Поверхностью второго порядка в Rn называют множество точектx ∈ Rn , координаты x = (x1 .
. . xn ) которых в данной прямоугольной системе координатудовлетворяют уравнениюÔÍ-12Рассмотрим линейное арифметическое пространство Rn , являющееся евклидовым пространством со стандартным скалярным произведением (x, y) = x1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn ,где x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). Векторы из R3 или R2 можно рассматривать как геометрические векторы в «точечном» трехмерном пространстве или соответственно двумерномпространстве (плоскости). Зафиксировав в трехмерном пространстве точку, мы можем считатьее стандартным началом каждого вектора, а тогда каждая точка пространства определяетсякак конец некоторого геометрического вектора.Эту точку зрения можно обобщить на линейное арифметическое пространство произвольнойразмерности. Векторы в Rn будем трактовать как точки.
Некоторую фиксированную точку O(другими словами, вектор) и ортонормированный базис e в Rn назовем прямоугольной системой координат в Rn , точку O — началом системы координат. Координатамипроизвольной точки M (это тоже вектор из Rn ) в этом пространстве назовем координатывектора M − O относительно базиса e.Приведенное обобщение позволяет с единых позиций анализировать геометрию плоскости итрехмерного пространства.
Оно также позволяет дать геометрическую интерпретацию некоторым объектам арифметического пространства. Например, множество всех решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений с геометрической точки зрения представляет собой линейное подпространство арифметического пространства соответствующей размерности.А чем с геометрической точки зрения является множество решений неоднородной системы? Какпредставить множество решений алгебраического уравнения второй степени, если переменныхв этом уравнении четыре или больше?ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-127.1.
Поверхности второго порядкаÌÃÒÓÌÃÒÓПриведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.Приведение уравнений кривых и поверхностей второго порядка к каноническому виду.ÔÍ-12ÔÍ-12КАНОНИЧЕСКИЙ ВИДКРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙВТОРОГО ПОРЯДКАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 7nXÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓУравнение (7.1) удобно записывать в матричной форме, полагая aij = aji при i > j и сводявсе коэффициенты aij в симметрическую матрицу A = (aij ) порядка n, а слагаемые bk — втстолбец b = (b1 . .
. bn ) :ттx Ax + 2b x + c = 0.(7.2)В левой части уравнения (7.2) слагаемые естественным образом распались на три группы.тПервая группа представляет собой квадратичную форму x Ax от координат точки. Ее называют квадратичной формой поверхности (7.1) (кривой при n = 2) второго порядка.Вторая группа представляет собой линейные слагаемые. Ее можно трактовать как координатную запись удвоенного скалярного произведения вектора b со столбцом координат b на вектор xсо столбцом координат x. Третья группа в левой части (7.2) представлена одним слагаемым c.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ77ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.
КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАПусть даны старая прямоугольная система координат, состоящая из ортонормированногобазиса b = (b1 . . . bn ) и ее начала в точке b0 , и новая система координат, состоящая из ортонормированного базиса c = (c1 . . .
cn ) и начала c0 . Рассмотрим произвольную точку x скоординатами xb и xc соответственно в старой и новой системах координат.Из определения координат точки в Rn имеем соотношенияПриравнивая выражения для x, получаемbxb + b0 = cxc + c0 .(7.3)Пусть U — матрица перехода из ортонормированного базиса b старой системы координатв ортонормированный базис c новой системы координат. Тогда U — ортогональная матрица(см.
теорему 5.9) и c = bU . Подставляя это представление для c в равенство (7.3), находимbxb + b0 = bU xc + c0 , илиb(xb − U xc ) = c0 − b0 .(7.4)Координаты вектора c0 − b0 относительно базиса b представляют собой координаты точкиc0 (начала новой системы координат) относительно старой системы координат, которые мыобозначим через c0,b : c0 − b0 = bc0,b . С учетом этого равенства преобразуем правую часть (7.4):b(xb − U xc ) = bc0,b .
Отсюда следует, чтоСоотношение (7.5) представляет собой формулу преобразования координат при изменениисистемы координат.Если c0,b = 0, т.е. начала старой и новой систем координат совпадают, то преобразованиекоординат принимает видxb = U x c .(7.6)В двумерном случае при дополнительном условии det U = 1 преобразование (7.6) представляет собой поворот системы координат вокруг неподвижного начала системы координат.В трехмерном случае при том же условии det U = 1 это преобразование является поворотомсистемы координат вокруг некоторой оси, проходящей через начало координат. Ось поворотаопределяется собственным вектором матрицы U с собственным значением 1.
Если det U = −1,то преобразование системы координат кроме поворота включает преобразование симметрии относительно некоторой плоскости или сводится к одной симметрии.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(7.5)ÌÃÒÓÌÃÒÓxb = U xc + c0,b .ÔÍ-12ÔÍ-12x − c0 = cxc .ÌÃÒÓÌÃÒÓx − b0 = bxb ,ÔÍ-12ÔÍ-127.2. Изменение системы координатÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12По аналогии с двумерным и трехмерным случаями условно назовем замену (7.6) при произвольном n поворотом системы координат в случае det U = 1 и поворотом системыкоординат с отражением (симметрией) в случае det U = −1.
Введенные терминыусловны потому, что в n-мерном пространстве при n > 3 теряется наглядный смысл понятия«поворот».Если в преобразовании (7.5) матрица U является единичной, т.е. U = E, то старая иновая системы координат имеют один и тот же ортонормированный базис. В этом случаепреобразование координат имеет вид(7.7)xb = xc + c0,b .При n = 2, 3 такое преобразование означает параллельный перенос системы координат, прикотором направления осей координат не изменяются.
В общем случае (при n > 3) преобразование (7.7) мы также будем называть параллельным переносом системы координат.Любое преобразование координат вида (7.5) можно представить как последовательное применение двух преобразований x0 = U xc и xb = x0 + c0,b , которые означают параллельный переносисходной системы координат в точку c и последующий ее поворот (возможно, с отражением),определяемый матрицей U .где y0 — координаты начала новой прямоугольной системы координат относительно старой(см.
(7.5)), а U — ортогональная матрица. При этом преобразовании уравнение (7.2) трансформируется к видуттÌÃÒÓОдин из подходов к анализу поверхности второго порядка в Rn , заданной уравнением (7.2),состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимаетнаиболее простой вид.Изменение системы координат приводит к преобразованию исходных координат x точки кее новым координатам y по формулеx = U y + y0 ,ÔÍ-127.3. Упрощение уравненияповерхности второго порядкаÌÃÒÓÌÃÒÓсостоит в повороте на угол ϕ вокруг третьего вектора исходного базиса и последующей симметрии относительно плоскости, которой параллельны первые два вектора (при повороте этаплоскость перейдет в себя). #ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 7.1. Преобразование системы координат с матрицейcos ϕ − sin ϕ 00 U = sin ϕ cos ϕ00−1ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ78ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 7.
КАНОНИЧЕСКИЙВИД КРИВЫХÌÃÒÓИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГОПОРЯДКАилит тттттy U AU y + 2(b U + y0 AU )y + y0 Ay0 + 2b y0 + c = 0.(7.8)Уравнение (7.8) показывает, что параллельный перенос системы координат (в этом случаеU = E) не изменяет квадратичной формы поверхности второго порядка. Квадратичная формаповерхности преобразуется по общему правилу (6.4) преобразования квадратичных форм призамене базиса.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(U y + y0 ) A(U y + y0 ) + 2b (U y + y0 ) + c = 0,ÌÃÒÓтdj yj + c = 0,тгде (d1 . .
. dn ) = d = U b, а λi , i = 1, n, представляют собой собственные значения матрицыA квадратичной формы поверхности, соответствующие векторам нового ортонормированногобазиса. Дальнейшее определяется возможными значениями λi и di .Для каждого значения индекса i, i = 1, n, возможен один из четырех случаев:1) λi 6= 0, di 6= 0;2) λi 6= 0, di = 0;3) λi = 0, di 6= 0;4) λi = 0, di = 0.Если реализуется случай 4), то соответствующая переменная yi вообще не входит в уравнение и мы имеем случай цилиндрической поверхности в Rn (при n = 3 такая поверхностьдействительно является цилиндрической). В остальных случаях дальнейшее упрощение уравнения (7.9) сводится к упрощению вида линейных слагаемых.Если в уравнении (7.9) для i-й переменной yi реализуется случай 1), то по этой переменнойможно выделить полный квадрат:di 2 d2iλi yi2 + 2di yi = λi yi +− .λiλidi, yj0 = yj , j 6= i, этот случайλirX+2sX(7.10)di zi + h = 0,i=r+1ÔÍ-12где параметр r определяет количество переменных, для которых реализовался случай 2) (возможно, после выделения полного квадрата и соответствующего параллельного переноса).
Дляостальных переменных реализуется случай 3) (после перестановки индексы от r + 1 до s) илислучай 4) (индексы от s + 1 до n).Если s = r, то случай 3) не встречается и в уравнении (7.10) линейные слагаемые будутотсутствовать. При s > r + 1 случай 3) реализуется для нескольких переменных. ТогдаÔÍ-12ÌÃÒÓi=1λi zi2ÌÃÒÓсводится к случаю 2).Реализуем все такие параллельные переносы и, если необходимо, изменим порядок переменных (это равносильно перестановке векторов в базисе).
Тогда уравнение поверхности (7.9) вновых переменных z примет видÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ(7.9)j=1ÌÃÒÓÔÍ-12+2i=1nXÌÃÒÓÌÃÒÓλi yi2ÔÍ-12ÔÍ-12nXÌÃÒÓНаиболее естественный способ упрощения уравнения (7.2) базируется на предварительномпреобразовании квадратичной формы поверхности. Согласно теореме 6.2, существует новый ортонормированный базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид. Этот базиссостоит из собственных векторов матрицы A квадратичной формы, записанных в исходномортонормированном базисе.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
