03 Процесс ортогонализации. Линейные операторы и их матрицы (936690)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Теорема о существовании ортонормированного базиса и процесс ортогонализации Грама —Шмидта (без док-ва).
Линейные операторы и их матрицы (определение, примеры). Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису, инвариантность ееопределителя. Подобные матрицы. Действия над линейными операторами и соответствующие действия с их матрицами. Собственные векторы и собственные значения линейногооператора.3.1. Процесс ортогонализацииГрама — ШмидтаВ каждом ли евклидовом пространстве существует ортонормированный базис? Непосредственно из определения ответ на этот вопрос получить нельзя. Впрочем, ответ на поставленныйвопрос утвердительный.Теорема 3.1. В конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
#ÌÃÒÓe1 =g1;kg 1 kg 2 = f 2 − (f 2 , e1 ) e1 ,e2 =g2;kg 2 kg 3 = f 3 − (f 3 , e1 ) e1 − (f 3 , e2 ) e2 ,e3 =g3;kg 3 k. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .en =gn.kg n kГеометрическая иллюстрация этой последовательности вычислений при n = 3 (линейноепространство V3 ) приведена на рис. 3.1.При практических применениях процесс Грама — Шмидта удобно модифицировать так,чтобы ограничиться вычислением векторов g i и не использовать их нормированные варианты ei . В этом случае нужно последовательно вычислить векторы g 1 , . . .
, g n , а затем провести33ÔÍ-12g n = f n − (f n , e1 ) e1 − . . . − (f n , en−1 ) en−1 ,(3.1)ÌÃÒÓg1 = f 1,ÔÍ-12Однако формального ответа на вопрос о существовании ортонормированного базиса недостаточно, нужно уметь находить и строить такие базисы. Построить ортонормированный базисможно, отталкиваясь от некоторого исходного базиса, при помощи алгоритма, который называют процессом ортогонализации Грама — Шмидта. Изложим этот алгоритм.Пусть f = (f 1 . . . f n ) — некоторый базис в n-мерном евклидовом пространстве E. Модифицируя этот базис, мы будем строить новый базис e = (e1 .
. . en ), который будет ортонормированным. Последовательно вычисляем векторы g 1 и e1 , g 2 и e2 и т.д. по формулам:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫÌÃÒÓÔÍ-12Лекция 3ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓf3f3f2Of3f3OÌÃÒÓg2g3f2e1Og3f3Oe2e3e2e1Oe1e3e2Oe1Рис. 3.1ÌÃÒÓÌÃÒÓих нормировку, приводящую к векторам ei . Чтобы модифицировать алгоритм вычислений, влевой колонке (3.1) заменим векторы ei на g i согласно формулам в правой колонке.
Получим:g1 = f 1,g2 = f 2 −(f 2 , g 1 )g1,kg 1 k2. . . . . . . .f n , g n−1 g .g n−1 2 n−1Пример 3.1. В линейном пространстве V2 рассмотрим векторы a1 и a2 с длинами |a1 | = 2,|a2 | = 6 и углом между ними ϕ = π/3. Так как векторы ненулевые, а угол между ними не равен0 или π, они неколлинеарны, а потому образуют базис в V2 . Построим при помощи процессаГрама — Шмидта ортонормированный базис.
Согласно описанному выше алгоритму находим:ÌÃÒÓg 1 = a1 ,ÔÍ-12(f 3 , g 1 )(f 3 , g 2 )g2,2 g1 −kg 1 kkg 2 k2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(f , g )(f , g )g n = f n − n 21 g 1 − n 22 g 2 − . . . −kg 1 kkg 2 kg3 = f 3 −16·2·(a2 , a1 )2 a = a − 3a .g 2 = a2 −a=a−121212|a1 |42Затем полученные векторы g 1 и g 2 нормируем:Векторы a1 , a2 и построенный по ним ортонормированный базис e1 , e2 представлены на рис. 3.2.ÔÍ-12g1|g 1 | = |a1 | = 2, e1 = 1 = a1 ,|g 1 |2293 33 |g 2 |2 = a2 − a1 = a2 − a1 , a2 − a1 = |a2 |2 − 3 (a2 , a1 ) + |a1 |2 =222419g11= 62 − 3 · 6 · 2 · + · 22 = 27, e2 = 2 = √ a2 − √ a1 .2 4|g 2 |3 32 3ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12g2e1ÔÍ-12ÔÍ-12e1 f1OÌÃÒÓÌÃÒÓf2f1e2ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ34ÌÃÒÓg2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 3. ПРОЦЕССОРТОГОНАЛИЗАЦИИ.ÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫИ ИХ МАТРИЦЫ35a2e2ÌÃÒÓЛинейная алгебра большое внимание уделяет отображениям, которые векторам одного линейного пространства ставят в соответствие векторы другого (возможно того же) линейногопространства.
Среди таких отображений выделяются те, которые сохраняют алгебраическиесоотношения. В некотором смысле такие отображения являются и наиболее простыми, так какони естественным образом связаны со структурой линейного пространства.Напомним некоторую терминологию из теории отображений. Отображение f : X → Y называют сюръективным, если каждый элемент y ∈ Y является образом некоторого элементаx ∈ X. Отображение f : X → Y называют инъективным, если разные элементы x1 , x2 ∈ Xимеют разные образы.
Отображение одновременно и сюръективное, и инъективное называютбиективным. Биективное отображение устанавливает между множествами X и Y взаимнооднозначное соответствие.Линейный оператор A: L → L, который осуществляет отображение линейного пространстваL в себя, называют также линейным преобразованием линейного пространства L и говорят,что линейный оператор A действует в линейном пространстве L.Условия а), б) определения 3.1 можно скомбинировать в виде одного условия, например, так:для любых x, y ∈ L и любых действительных λ и µ(3.2)Нетрудно убедиться в том, что условия определения 3.1 являются частными случаями (3.2). Сдругой стороны, если выполнены условия а) и б) определения 3.1, тоA(λx + µy) = A(λx) + A(µy) = λAx + µAy,ÔÍ-12т.е.
выполняется и (3.2).Свойства а), б) линейности отображения делают более удобной не традиционную формузаписи линейного оператора в виде A(x), при которой аргумент записывается в скобках вследза функцией, а более простую в виде Ax как своеобразное «умножение линейного оператора навектор». При такой записи условие а) определения 3.1 можно интерпретировать как свойстводистрибутивности этого «умножения», а условие б) — как свойство ассоциативности (есличисло λ записывать не слева от вектора, а справа, то запись будет выглядеть так: A(xλ) == (Ax)λ).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓA(λx + µy) = λ(Ax) + µ(Ay).ÔÍ-12ÔÍ-12Определение 3.1.
Отображение A: L → L0 из линейного пространства L в линейноепространство L0 называют линейным отображением или линейным оператором, есливыполнены следующие условия:а) A(x + y) = A(x) + A(y) для любых векторов x, y ∈ L;б) A(λx) = λA(x) для любого вектора x ∈ L и любого числа λ ∈ R.ÌÃÒÓÔÍ-123.2. Определение и примерылинейных операторовÌÃÒÓÌÃÒÓРис. 3.2ÔÍ-12ÔÍ-12a1ÌÃÒÓe1ÌÃÒÓявляются линейными в силу свойств линейности производной (производная суммы функцийравна сумме производных, при умножении функции на число производная функции умножаетсяна это число).A(λx + µy) = A(λx + µy) = λAx + µAy = λAx + µAy,где λ, µ ∈ R, x, y ∈ Rn .Пример 3.6. Отображение A: Rn → Rn n-мерного линейного арифметического пространства в себя, которое задается формулой Ax = x + a, где a 6= 0 — некоторый фиксированныйвектор, не является линейным, так как, например, образом нулевого вектора является вектор a.ÔÍ-12Пример 3.5.
В n-мерном линейном арифметическом пространстве Rn для любого действительного числа k отображение A: Rn → Rn , определяемое формулой Ax = kx (растяжение вk раз с дополнительным отражением при k < 0), является линейным оператором. Этот линейный оператор — частный случай предыдущего, он может быть определен при помощи матрицыkE, где E — единичная матрица.ÌÃÒÓПример 3.4. Рассмотрим n-мерное линейное арифметическое пространство Rn , элементы которого будем представлять как матрицы-столбцы высотой n, и квадратную матрицу Aпорядка n. Отображение A: Rn → Rn , которое столбцу x ставит в соответствие столбец Ax(Ax = Ax), является линейным оператором в силу свойств умножения матриц:ÔÍ-12Пример 3.3. В пространстве V2 свободных векторов на плоскости поворот вектора назаданный угол ϕ против часовой стрелки представляет собой отображение V2 в себя, являющееся линейным оператором.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
