16 Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных (936703)
Текст из файла
ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-1216.1. Частные производныеПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в δ-окрестностиU(a, δ) точки a ∈ Rn .
Обозначим через ∆xi такое приращение независимого переменного xiв точке a, при котором точка a = (a1 , . . . , ai−1 , ai +∆xi , ai+1 , . . . , an ) принадлежит U(a, δ).Для этого достаточно, чтобы выполнялось неравенство |∆xi | < δ. Тогда определена разностьзначений функции f , соответствующая приращению ∆xi :∆i f (a, ∆xi ) = f (a1 , . . .
, ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an ) − f (a1 , . . . , an ).Эту разность называют частным приращением функции нескольких переменных f вточке a по независимому переменному xi . Частное приращение обозначают также через ∆i f (a)или ∆xi f (a).∆i f (a)∆xi →0 ∆xi(16.1)limотношения частного приращения функции по переменному xi к приращению ∆xi этого жепеременного при ∆xi → 0, то этот предел называют частной производной векторнойфункции нескольких переменных f в точке a по переменному xi и обозначают fx0 i .78ÔÍ-12J Пусть ∆xi — приращение независимого переменного xi в точке a. Тогда соответствующееприращение функции f в точке a можно записать в виде f1 (a1 , .
. . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an )f1 (a) .. ..∆i f (a) = − . =.fm (a1 , . . . , ai−1 , ai + ∆xi , ai+1 , . . . , an )fm (a) ∆i f1 (a)f1 (a1 ,...,ai−1 ,ai + ∆xi ,ai+1 ,...,an ) − f1 (a) ....==...fm (a1 ,...,ai−1 ,ai + ∆xi ,ai+1 ,...,an ) − fm (a)∆i fm (a)ÌÃÒÓТеорема 16.1. Для того чтобы векторная функция f : U(a, δ) ⊂ Rn → Rm имела частнуюпроизводную в точке a по переменному xi , необходимо и достаточно, чтобы все ее координатныефункции имели частную производную в точке a по тому же переменному xi .ÔÍ-12Определение 16.1. Если для функции нескольких переменных f : Rn → Rm , определеннойв окрестности точки a, существует пределÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓМатрица Якоби ВФНП, якобиан (при n = m).
Дифференцируемость ВФНП, ее дифференциал.Производная сложной ВФНП в матричной форме. Теорема о неявной функции в общем случае.Теорема об обратной функции.ÔÍ-12ÔÍ-12ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 16ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓСогласно определению 16.1 частной производной, имеемÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ79∆i f1 (a) ∆xi ∆i f (a)∂f (a)= lim= lim ∆xi →0 ∆xi∆xi →0 ∂xi....∆i fm (a)lim∂f1 (a) ∂xi .. = . , ∂f (a) ∆i fm (a)m∆xi∂xiПри доказательстве теоремы установлена формула, согласно которой частная производнаявекторной функции f (x) равна векторной функции, координатными функциями которой являются соответствующие частные производные координатных функций для f (x). Следовательно,вычисление частных производных векторной функции сводится к вычислению соответствующих частных производных ее координатных функций, которые являются функциями скалярными.Если функция f : Rn → Rm в точке a ∈ Rn имеет частные производные по всем независимымпеременным x1 , x2 , . .
. , xn , то из этих производных (а точнее, из частных производных координатных функций f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x) векторной функции f (x)) можно составить матрицу∂fi (a)∂xjтипа m × n, где i соответствует номеру строки матрицы, а j — номеру столбца. Этуматрицу называют матрицей Якоби функции f в точке a и обозначают∂f1 (a)∂f1 (a)∂f1 (a)...∂x2∂xn ∂x1∂f2 (a)∂f2 (a)∂f2 (a) ∂f (a) 0...f (x) ==∂x2∂xn . ∂x1∂x . . . . . . . . .
. . . . . . ∂fm (x)∂fm (x) ∂fm (x)...∂x1∂x2∂xnЧасто используют запись матрицы Якоби в виде блочной матрицы-строки∂f (x) ∂f (x)∂f (x)f 0 (x) =...∂x2 ∂f (x)1∂x..f 0 (x) = .∂fm (x)∂x∂xn(16.3).(16.4)Пример 16.1. Для векторной функцииf (x, y) = xe−y x2 y 3 yтдвух переменных x и y найдем все частные производные и запишем матрицу Якоби.ÔÍ-12В последнем случае каждый блок представляет собой матрицу Якоби соответствующей координатной функции.ÌÃÒÓили блочной матрицы-столбца(16.2)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ...что и требовалось доказать.
I∂x1ÔÍ-12∆xi →0∆xi →0∆i f1 (a)∆xi ÌÃÒÓÔÍ-12∂f (a) =∂xilimÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Используя теорему 15.1, получаемÌÃÒÓÌÃÒÓ∆xiÌÃÒÓÌÃÒÓu0x (x, y) = e−y ,u0y (x, y) = −xe−y ,vx0 (x, y) = 2xy 3 ,vy0 (x, y) = 3x2 y 2 ,wx0 (x, y) = 0,wy0 (x, y) = 1.Составляем из вычисленных частных производных матрицу Якоби: −y 0ux (x, y) u0y (x, y)e−xe−yf 0 (x, y) = vx0 (x, y) vy0 (x, y) = 2xy 3 3x2 y 2 .01wx0 (x, y) wy0 (x, y)ÌÃÒÓ16.2. Дифференцируемые векторные функцииПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в некоторойтокрестности точки x ∈ Rn и ∆x = (∆x1 .
. . ∆xn ) — такой вектор приращений независимых переменных, что точка x + ∆x тоже принадлежит этой окрестности. В этом случаеопределено полное приращение функции fÔÍ-12ÔÍ-12Данная функция имеет три координатные функции u(x, y) = xe−y , v(x, y) = x2 y 3 и w(x, y) == y.
Вычисляем частные производные этих функций:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ80p(∆x1 )2 + . . . + (∆xn )2 .Определение 16.2. Функцию f : Rn → Rm , определенную в некоторой окрестности точкиx, называют дифференцируемой в точке x, если ее полное приращение в окрестности этойточки можно представить в виде∆f (x) = A∆x + α(∆x)|∆x|,(16.5)где A — матрица типа m × n, элементы которой не зависят от ∆x, а функция α(∆x) являетсябесконечно малой при ∆x → 0.ÔÍ-12Функцию f называют дифференцируемой в области X ⊂ Rn , если она дифференцируема в каждой точке этой области.При m = 1 функция f скалярная, и в равенстве (16.5) матрица A является строкой длиныn, т.е.
A = (a1 a2 . . . an ), а функция α(∆x) — это бесконечно малая при ∆x → 0 скалярнаяфункция. Поэтому в данном случае равенство (16.5) сводится к равенству (9.2).Следующая теорема сводит исследование дифференцируемости векторной функции к скалярному случаю.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Кроме того, напомним, что |∆x| =ÌÃÒÓÌÃÒÓт= (f1 (x) .
. . fm (x)) в точке x можно выразить через полные приращения координатных функций f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x): f1 (x + ∆x)f1 (x) .. ..∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x) = − . =.fm (x + ∆x)fm (x) f1 (x + ∆x) − f1 (x)∆f1 (x) ....==...fm (x + ∆x) − fm (x)∆fm (x)ÔÍ-12ÔÍ-12соответствующее приращению ∆x переменных в точке x. Полное приращение функции f (x) =ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = f (x + ∆x) − f (x),ÌÃÒÓJ Доказательство фактически состоит в переходе от матричной формы записи условия (16.5)дифференцируемости векторной функции к его записи в координатной форме. Действительно, вттравенстве (9.2) положим f (x) = (f1 (x) .
. . fm (x)) , α(∆x) = (α1 (∆x) . . . αm (x)) и A = (aij ).Тогда (9.2) можно записать следующим образом: ∆f1 (x)∆x1α1 (x, ∆x)a11 a12 . . . a1n ..... . . . . . . . . . ... + =|∆x|,..am1 am2 . . . amn∆fm (x)∆xnαm (x, ∆x)или в координатной записи∆f (x) = f 0 (x)∆x + α(∆x)|∆x|,(16.7)где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.J При m = 1 утверждение следствия вытекает из следствия 9.1.
Поэтому остановимся на случаетm > 1. Согласно теореме 16.2, из дифференцируемости функции f (x) = (f1 (x) . . . fm (x)) вточке x следует дифференцируемость в этой точке всех ее координатных функций fi . При этомв представлении (16.6) коэффициенты aij есть значения частных производных координатнойфункции fi в точке x по соответствующим переменным:∆fi (x) =∂fi (x)∂fi (x)∆x1 + . .
. +∆xn + αi (∆x)|∆x|.∂x1∂xn(16.8)Как и в случае действительных функций одного действительного переменного, есть ещеодно необходимое условие дифференцируемости функции нескольких переменных, связанное сее непрерывностью.Теорема 16.3. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторой точке,то она непрерывна в этой точке.ÔÍ-12Следствие 16.2. Если векторная функция дифференцируема в некоторой области, то вовсех точках этой области существуют частные производные ее координатных функций и, следовательно, в области существует ее матрица Якоби.ÌÃÒÓЗначит, в представлении (16.5) матрица A есть матрица, составленная из значений частныхпроизводных координатных функций в точке x, т.е. матрица Якоби f 0 (x), а векторная функцияα(∆x) имеет своими координатными функциями функции αi (∆x). Так как все функции αi (∆x)являются бесконечно малыми при ∆x → 0, то и векторная функция α(∆x) является бесконечномалой при ∆x → 0.
IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСледствие 16.1. Если функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке x, то в этой точкесуществуют частные производные этой функции по всем переменным, определена ее матрицаЯкоби f 0 (x) и в окрестности этой точки полное приращение ∆f (x) можно представить в видеÌÃÒÓÔÍ-12где αi (∆x) → 0 при ∆x → 0.Итак, соотношение (16.5) эквивалентно (16.6), но представление (16.5) по определению означает дифференцируемость векторной функции f (x), а представления (16.6) — дифференцируемость координатных функций fi (x), i = 1, m.
IÔÍ-12ÌÃÒÓ(16.6)ÌÃÒÓÔÍ-12i = 1, m,ÔÍ-12ÔÍ-12∆fi (x) = ai1 ∆x1 + . . . + ain ∆xn + αi (∆x)|∆x|,ÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 16.2. Векторная функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке x тогда и толькотогда, когда в этой точке дифференцируемы все ее координатные функции.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ81ÌÃÒÓтJ Пусть функция f (x) = (f1 (x) . . . fm (x)) дифференцируема в точке a. Тогда по теореме16.2 все ее координатные функции fi (x) дифференцируемы в точке a, а их полные приращенияв точке a можно записать в виде∆fi (a) =nX∂fi (a)∂xk∂xk∆x→0∆x→0означающий, что функции fi (x), i = 1, m, непрерывны в точке a.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
