16 Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных (936703), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительно, ∆x = x − a,откуда заключаем, что ∆x → 0 при x → a и, следовательно, ∆fi (a) → 0. Таким образом,fi (x) → fi (a) при x → a, что и означает непрерывность координатной функции fi (x) в точке a.Так как все координатные функции fi (x) непрерывны в точке a, то по теореме 15.3 и векторная функция f (x) непрерывна в точке a. IСледствие 16.3. Если функция нескольких переменных дифференцируема в некоторойобласти, то она непрерывна в этой области.Следствие 16.4.
Если векторная функция f имеет матрицу Якоби всюду в некоторойокрестности точки a, причем все элементы матрицы Якоби непрерывны в самой точке a, то этафункция дифференцируема в точке a.J Из условий следствия заключаем, что каждая координатная функция fi векторной функцииf имеет в окрестности точки a все частные производные, непрерывные в точке a.
Значит,все функции fi дифференцируемы в точке a. Согласно теореме 16.2, векторная функция fдифференцируема в точке a. IДля произвольной области X ⊂ Rn через C 1 (X, Rm ) обозначают множество всех функцийf : X → Rm , имеющих в X непрерывные частные производные по всем переменным. Длядифференцируемости векторной функции f в области X достаточно, чтобы она принадлежала множеству функций C 1 (X, Rm ). Функции из множества C 1 (X, Rm ) называют непрерывнодифференцируемыми в области X.На векторные функции нескольких переменных можно распространить правило дифференцирования сложной функции, установленное для скалярных функций.
При этом формула дифференцирования с учетом использования матричной записи упрощается.(g ◦ f )0 (a) = g 0 (b)f 0 (a).(16.9)ÔÍ-12J Пусть функция g определена в окрестности U(b, σ) точки b. Так как функция f дифференцируема в точке a, она определена в некоторой окрестности этой точки и являетсянепрерывной функцией в точке a. Значит, согласно определению непрерывности, существуеттакая окрестность U(a, δ) из области определения функции f , для которой f (U(a, δ)) ⊂ U(b, σ).В окрестности U(a, δ) определена сложная функция g ◦ f .Пусть x — произвольная точка в U(a, δ) и y = f (x), z = g(y). Обозначим ∆x = x − a,∆y = y − b, ∆z = z − c, где c = g(b).
В силу дифференцируемости функции f в точке a имеемпредставление∆y = f 0 (a)∆x + α(∆x)|∆x|,(16.10)ÌÃÒÓТеорема 16.4. Если функция нескольких переменных f : Rn → Rm дифференцируема вточке a, а функция нескольких переменных g: Rm → Rk дифференцируема в точке b = f (a),b ∈ Rm , то в некоторой окрестности точки a определена сложная функция g ◦ f : Rn → Rk ,причем эта функция дифференцируема в точке a и выполнено равенствоÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆x→0lim ∆xk + lim αi (∆x)|∆x| = 0,ÔÍ-12ÔÍ-12lim ∆fi (a) =nX∂fi (a)ÌÃÒÓÌÃÒÓгде ∆x = (∆x1 , ∆x2 , . .
. , ∆xn ) и αi (∆x) → 0 при ∆x → 0. Из этого представления следует,что существует пределÔÍ-12ÔÍ-12∆xk + αi (∆x)|∆x|,ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ82ÌÃÒÓÔÍ-12Композицию (g ◦ f )(x) = g(f (x)) двух функций f : Rn → Rm и g: Rm → Rk часто задают ввиде z = g(y), y = f (x), вводя промежуточные переменные y = (y1 , y2 , . . . , ym ) ∈ Rm .Используя координатные функции f1 , f2 , . .
. , fm и g1 , g2 , . . . , gk функций нескольких переменныхf и g, равенство (16.9) матриц Якоби можно записать в координатной формеmX ∂gi ∂fs∂gi ∂f1∂gi ∂fm∂zi==+ ... +,∂xj∂y∂x∂y∂x∂y∂xsj1jmjs=1i = 1, k, j = 1, n.т(16.13)тПеремножая матрицы в правой части этого равенства, получаем∂z1∂g1 ∂f1 ∂g1 ∂f2=+,∂x2∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2∂z2∂g2 ∂f1 ∂g2 ∂f2=+,∂x1∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1∂z2∂g2 ∂f1 ∂g2 ∂f2=+,∂x2∂y1 ∂x2 ∂y2 ∂x2где частные производные∂fj ∂zk∂g,вычисляются в точке (x1 , x2 ), а частные производные k —∂xi ∂xi∂yjв точке (y1 (x1 , x2 ), y2 (x1 , x2 )).ÔÍ-12∂g1 ∂f1 ∂g1 ∂f2∂z1=+,∂x1∂y1 ∂x1 ∂y2 ∂x1ÌÃÒÓПусть n = m = k = 2, т.е. f : R2 → R2 , f = (f1 f2 ) , g: R2 → R2 , g = (g1 g2 ) . Тогдадля сложной функции z = g(f (x1 , x2 )) равенство (16.9) в матричной форме при обозначенияхz = g(y), y = f (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) имеет следующий вид:!!!(g1 )0y1 (g1 )0y2(z1 )0x1 (z1 )0x2(f1 )0x1 (f1 )0x2=.(g2 )0y1 (g2 )0y2(z2 )0x1 (z2 )0x2(f2 )0x1 (f2 )0x2ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12является бесконечно малой, так как представляетсобой произведениебесконечно малой функ 0ции β(∆f (a)) на ограниченную функцию f (a)ν(∆x) + α(∆x) .
В результате заключаем, чтоγ(∆x) → 0 при ∆x → 0. Согласно определению 16.2, представление (16.12) означает, что функция g ◦ f дифференцируема в точке a. При этом произведение g 0 (b) f 0 (a) двух матриц Якобиявляется, согласно (16.12), матрицей Якоби сложной функции g ◦ f , т.е.
имеет место равенство(16.9). IÌÃÒÓÌÃÒÓФункция β(∆y) бесконечно малая при ∆y → 0, причем на представление (16.11) не влияетзначение этой функции при ∆y = 0. Поэтому можно считать, что β(0) = 0 и что функция β(∆y)непрерывна при ∆y = 0. Но тогда функция β(∆f (a)) непрерывна при ∆x = 0 как композициянепрерывных функций и, следовательно, является бесконечно малой при ∆x → 0. Функцияν(∆x) является ограниченной: |ν(∆x)| = 1. Следовательно, функцияβ(∆f (a))f 0 (a)ν(∆x) + α(∆x)ÔÍ-12ÔÍ-12∆x.|∆x|ÌÃÒÓÌÃÒÓи ν(∆x) =ÔÍ-12ÔÍ-12γ(∆x) = g 0 (b)α(∆x) + β(∆f (a))f 0 (a)ν(∆x) + α(∆x),ÌÃÒÓгдегде β(∆y) → 0 при ∆y → 0. Подставив (16.10) в (16.11), получим∆(g ◦ f )(a) = ∆z = g 0 (b) f 0 (a)∆x + α(∆x)|∆x| + β ∆y |∆y| = g 0 (b)f 0 (a)∆x + γ(∆x)|∆x|, (16.12)ÔÍ-12где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.
В силу дифференцируемости g в точке b имеем аналогичноепредставление(16.11)∆z = g 0 (b)∆y + β(∆y)|∆y|,ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ83ÌÃÒÓ16.3. Дифференциал векторной функцииПусть векторная функция нескольких переменных f : Rn → Rm определена в окрестноститочки x = (x1 , . . . , xn ) и дифференцируема в этой точке. Тогда, согласно следствию 16.1, полтное приращение этой функции в точке x в зависимости от приращения ∆x = (∆x1 . . .
∆xn )независимых переменных можно представить в видеÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ84тdx = (dx1 dx2 . . . dxn ) .(16.14)Для полного приращения дифференцируемой функции нескольких переменных имеем равенство∆f (x) = df (x) + α(∆x)|∆x| = f 0 (x) dx + α(∆x)|∆x|,(16.15)где α(∆x) → 0 при ∆x → 0.Представив матрицу Якоби f 0 (x) как набор столбцов: f 0 (x) = fx0 1 fx0 2 . . . fx0 n , равенство(16.14) можно записать следующим образом:df (x) = fx0 1 (x) dx1 + fx0 2 (x) dx2 + .
. . + fx0 n (x) dxn .dz = (g ◦ f )0 (a) dx = g 0 (b)f 0 (a) dx = g 0 (b) dyЗамечание 16.1. Для дифференциала векторной функции нескольких переменных сохраняются свойства дифференциала скалярной функции нескольких переменных. Например, длядифференцируемых функций f, g: Rn → Rm и произвольного действительного числа c верныравенства d(cf ) = cdf , d(f ± g) = df ± dg.ÔÍ-12Мы видим, что дифференциал dz сложной функции z = g(f (x)) выражается через дифференциал dy промежуточных переменных так же, как и в случае, когда эти переменные являютсянезависимыми.ÌÃÒÓСлагаемые fx0 i dxi в правой части равенства называют частными дифференциалами функции f (x) в точке x.
Каждое слагаемое fx0 i dxi представляет собой линейную часть частногоприращения ∆i f (x) функции f (x) в данной точке.Дифференциал функции нескольких переменных, как и функции одного действительногопеременного, имеет свойство, которое называют инвариантностью формы записи дифференциала.Пусть функция f : Rn → Rm дифференцируема в точке a ∈ Rn , а функция g: Rm → Rkдифференцируема в точке b = f (a). Согласно теореме 10.1, композиция g ◦ f двух функцийдифференцируема в точке a. Введем набор промежуточных переменных y и запишем сложнуюфункцию в виде z = g(y), y = f (x).
Тогда в соответствии с (16.9)ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓdf (x) = f 0 (x) dx,ÔÍ-12ÔÍ-12Итак, дифференциал функции нескольких переменных, дифференцируемой в точке x, вычисляется по той же формуле, что и в случае функции одного переменного: df (x) = f 0 (x)∆x.Правда, в многомерном случае f 0 (x) обозначает не производную функции, а ее матрицу Якоби.Отметим, что формула (10.1) для дифференциала скалярной функции нескольких переменныхтакже может быть записана в матричной форме, если в качестве матрицы Якоби ввести матрицу-строку частных производных скалярной функции.Дифференциалы независимых переменных xi , i = 1, n, как и в случае скалярных функций, поопределению равны приращениям этих переменных: dxi = ∆xi .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
