01 Линейные пространства (1334093), страница 5
Текст из файла (страница 5)
,αniÔÍ-12ÌÃÒÓ16ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓi = 1, n,илиСогласно данному определению, i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-говектора нового базиса в старом. Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координатвекторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.Обсудим некоторые свойства матрицы перехода.1◦ .
Матрица перехода невырождена и всегда имеет обратную.J Действительно, столбцы матрицы перехода — это столбцы координат векторов нового базисав старом. Следовательно, они, как и векторы базиса, линейно независимы. Значит, матрица Uневырожденная и имеет обратную матрицу U −1 . I2◦ . Если в n-мерном линейном пространстве задан базис b, то для любой невырожденнойквадратной матрицы U порядка n существует такой базис c в этом линейном пространстве,что U будет матрицей перехода от базиса b к базису c.J Из невырожденности матрицы U следует, что ее ранг равен n, и поэтому ее столбцы, будучи базисными, линейно независимы. Эти столбцы являются столбцами координат векторовсистемы c = bU . Линейная независимость столбцов матрицы U равносильна линейной независимости системы векторов c. Так как система c содержит n векторов, причем линейноепространство n-мерно, то, согласно теореме 1.4, эта система является базисом.
IПример 1.14. Пусть b = (b1 , b2 , b3 ) — базис линейного пространства. Тогда системавекторов c1 = 2b1 , c2 = −b2 , c3 = b3 тоже является базисом в этом линейном пространстве.Это следует из того, что(c1 c2 c3 ) = (b1 b2 b3 ) U,3◦ .
Если U — матрица перехода от старого базиса b к новому базису c линейного пространства, то U −1 — матрица перехода от базиса c к базису b.J Матрица U невырождена, и поэтому из равенства c = bU следует, что cU −1 = b. Последнееравенство означает, что столбцы матрицы U −1 являются столбцами координат векторов базисаb относительно базиса c, т.е., согласно определению 1.6, U −1 — это матрица перехода от базисаc к базису b. IJ Согласно определению 1.6 матрицы перехода, имеем равенстваc = bU,d = cV,ÔÍ-124◦ . Если в линейном пространстве заданы базисы b, c и d, причем U — матрица переходаот базиса b к базису c, a V — матрица перехода от базиса c к базису d, то произведение этихматриц U V — матрица перехода от базиса b к базису d.ÌÃÒÓгде диагональная матрица U = diag (2, −1, 1) невырождена.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Определение 1.6.
Матрицу (1.5) называют матрицей перехода от старого базиса b кновому базису c.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1.5)ÔÍ-12ÔÍ-12α11 . . . α1nU = . . . . . . . .αn1 . . . αnnÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12гдеÌÃÒÓÌÃÒÓc = bU,ÌÃÒÓт.е. U V — матрица перехода от базиса b к базису d. IРассмотрим теперь, как преобразуются координаты произвольного вектора в линейном пространстве при переходе от старого базиса к новому. Выберем произвольный вектор x ∈ L иразложим его в старом базисе: x1 .. x = bx,x = . .(1.6)xnРазложение того же вектора в новом базисе имеет видИтак, чтобы получить координаты вектора в старом базисе, необходимо столбец координатэтого вектора в новом базисе умножить слева на матрицу перехода из старого базиса в новый.Матрица перехода из старого базиса в новый позволяет пересчитывать новые координаты встарые.e1iРис.
1.2x01 = x1 cos ϕ + x2 sin ϕ,x02 = −x1 sin ϕ + x2 cos ϕ,x1 = x01 cos ϕ − x02 sin ϕ,x2 = x01 sin ϕ + x02 cos ϕ.Например, вектор x = i + j в старом базисе имеет координаты x1 = 1, x2 = 1, а в новом базисеего координатами являются x01 = cos ϕ + sin ϕ, x02 = − sin ϕ + cos ϕ.ÔÍ-12Найденные матрицы перехода U (из старого базиса в новый) и U −1 (из нового базиса встарый) позволяют записать соотношения между старыми x1 , x2 и новыми x01 , x02 координатамипроизвольного вектора x из V2 :ÌÃÒÓЭти разложения позволяют составить матрицу перехода U из старого базиса b в новый e, атакже обратную матрицу:cos ϕ − sin ϕcos ϕ sin ϕ−1U=,U =.sin ϕ cos ϕ− sin ϕ cos ϕÔÍ-12e2Пример 1.15.
Рассмотрим в V2 ортонормированный базисb = (i, j) из векторов i, j. Обозначим через e = (e1 , e2 ) новыйбазис, который получается поворотом старого базиса b на заданный угол ϕ. Исходя из заданного угла поворота мы можем найтикоординаты векторов e1 , e2 нового базиса относительно старого(рис. 1.2):cos ϕ− sin ϕe1 =, e2 =.sin ϕcos ϕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Найдем связь между старыми координатами x вектора x и новыми его координатами x0 . Изсоотношений (1.6), (1.7) следует, что bx = cx0 . Учитывая, что c = bU , получаем bx = (bU )x0 ,или bx = b(U x0 ).
Последнее равенство можно рассматривать как запись двух разложенийодного и того же вектора x в данном базисе b. Разложениям соответствуют столбцы координатx и U x0 , которые, согласно теореме 1.2 о единственности разложения вектора по базису, должныбыть равны:x = U x0 ,илиx0 = U −1 x.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(1.7)ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12x01 x0 = ... .x0nÌÃÒÓÌÃÒÓd = cV = (bU )V = b(U V ),jÌÃÒÓÌÃÒÓ17откудаx = cx0 ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1.
ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Пример 1.16. Пусть в линейном пространстве V3 заданы два правых ортонормированныхбазиса: старый (i, j, k) и новый (i0 , j 0 , k0 ). Тогда старый базис можно преобразовать в новый при помощи трех поворотов вокруг координатных осей прямоугольной системы координат,определяемой ортонормированным базисом.Рассмотрим единичный вектор s, который одновременно лежит в плоскостях пар векторовi, j и i0 , j 0 .
Повернем базис (i, j, k) вокруг оси вектора k на некоторыйkугол ψ так, что вектор i совпадет с вектором s. Отметим, что векторk'j's ортогонален и вектору k, и вектору k0 , так как является линейнойi'комбинацией и пары i, j, и пары i0 , j 0 . Значит, поворотом вокруг осиjвектора s на некоторый угол ϑ можно добиться совмещения вектора ksiс вектором k0 . Наконец, поворотом вокруг оси вектора k0 на некоторыйРис.
1.3угол ϕ совместим вектор s с вектором i0 (рис. 1.3).Матрица перехода, соответствующая первому повороту вокруг оси вектора k, имеет видcos ψ − sin ψ 0U1 = sin ψ cos ψ 0 .001Наконец, матрица перехода, соответствующая третьему повороту вокруг оси вектора k0 имеетвидcos ϕ − sin ϕ 0U3 = sin ϕ cos ϕ 0 .001ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Согласно свойству 4◦ , матрица перехода U из старого базиса (i, j, k) в новый (i0 , j 0 , k0 )равна U = U1 U2 U3 и может быть записана в видеcos ψ cos ϕ − sin ψ cos ϑ sin ϕ− cos ψ sin ϕ − sin ψ cos ϑ cos ϕsin ψ sin ϑ sin ψ cos ϕ + cos ψ cos ϑ sin ϕ− sin ψ sin ϕ + cos ψ cos ϑ cos ϕ− cos ψ sin ϑ .sin ϑ sin ϕsin ϑ cos ϕcos ϑÌÃÒÓМатрица перехода A2 , соответствующая повороту уже нового базиса вокруг оси вектора s наугол ϑ, похожа на предыдущую:100U2 = 0 cos ϑ − sin ϑ .0 sin ϑ cos ϑÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ18ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1.
ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .базиса . . . ............................................... . . . .. . . . .
.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ...........................335689111415ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные пространства . . . . . . . . . .Определение линейного пространства . . . . .Свойства линейного пространства . . . . . . .Линейная зависимость . . . .
. . . . . . . . . .Свойства систем векторов . . . . . . . . . . . .Базис линейного пространства . . . . . . . . .Линейные операции в координатной форме . .Размерность линейного пространства . . . . .Преобразование координат вектора при заменеÔÍ-1219ÌÃÒÓЛекция 1.1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.1.6.1.7.1.8.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
