08 Функции нескольких переменных как отображения (936695), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределы (8.4), причем существует такая◦◦проколотая окрестность U(a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) выполнено неравенство f (x) 66 g(x), то b 6 d.8◦ . Если функции f, g, h: A ⊂ Rn → R в некоторой проколотой окрестности точки a удовлетворяют неравенствам f (x) 6 h(x) 6 g(x), x ∈ A, и существуют пределыlim f (x) = lim g(x) = b,ÌÃÒÓÌÃÒÓ6◦ . Если у функций f, g: A ⊂ Rn → R существуют пределыx→aAx→aAто существует и предел lim h(x) = b.x→aA9◦ . Произведение функции, бесконечно малой при x→a, на функцию, ограниченную приAx→a, есть функция, бесконечно малая при x→a.AAСвойства предела позволяют вычислять пределы функций нескольких переменных, если онисуществуют.
Методы вычисления пределов повторяют те методы, которые использовались вслучае функций одного действительного переменного.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ15ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯsin(x3 + y 3 ).(x, y)→(0, 0)x2 + y 2limПредставим функцию f (x, y) под знаком предела как произведение двух функцийx3 + y 3sin(x3 + y 3 )=g(x,y),x2 + y 2x2 + y 2Покажем, что функция g(x, y) имеет предел в точке (0, 0), равный единице. Во-первых,она имеет предел 1 по множеству A1 = {(x, y): x + y = 0}, поскольку на этом множествепринимает постоянное значение 1.
Во-вторых, она имеет тот же предел и по множеству A2 == {(x, y): x + y 6= 0}. Действительно,согласно первому замечательному пределу, для любого sin τ− 1 < ε при 0 < τ < δ. Полагая τ = x3 + y 3 , можемε > 0 можно указать такое δ > 0, что τ◦◦выбрать такую окрестность U(O, δ1 ) точки O = (0, 0), что при (x, y) ∈ A2 ∩ U(O, δ1 ) будем◦иметь 0 < |τ | = |x3 + y 3 | < δ.
Но тогда |g(x, y) − 1| < ε при (x, y) ∈ A2 ∩ U(O, δ1 ). Это означает,что функция g(x, y) имеет предел в точке O по множеству A2 , равный 1. Поскольку функцияg(x, y) имеет в точке O предел 1 и по множеству A1 , и по множеству A2 , то она имеет тот жепредел и по объединению этих множеств.Второй сомножитель в представлении функции f (x, y) запишем в видеКаждое слагаемое представляет собой функцию, бесконечно малую при (x, y) → (0, 0). Например, первое слагаемое есть произведение бесконечно малой в точке (0, 0) функции ϕ(x, y) = x иx2(ее значения заключены между нулем и единицей).x2 + y 2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓограниченной функции ψ(x, y) =ÔÍ-12x3 + y 3x2y2=x 2+y 2.x2 + y 2x + y2x + y2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ sin(x3 + y 3 ) , x + y =6 0;x3 + y 3g(x, y) =1,x + y = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12гдеÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 8.14.
Рассмотрим пределÌÃÒÓОпределение 8.11. Функцию нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R называют непрерывной в точке a ∈ A, предельной для множества A, если существует предел функции fпри x→a, равный значению функции в этой точке, т.е. еслиA(8.5)lim f (x) = f (a).x→aAÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Как оговорено в определении, точка a не только принадлежит множеству A, но и являетсяего предельной точкой, поскольку рассматривается предел функции в точке a по множеству A.Функцию f : A ⊂ Rn → Rm считают непрерывной в каждой точке a ∈ A, которая являетсяизолированной точкой множества A.Используя определение 8.9 предела функции, можно переформулировать определение непрерывности функции в точке следующим образом.
Функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точкеa ∈ A, если для любой ε-окрестности U(f (a), ε) точки f (a) ∈ R существует такая δ-окрестность U(a, δ) точки a, что при x ∈ A ∩ U(a, δ) верно соотношение f (x) ∈ U(f (a), ε). Наконец,можно ввести понятие непрерывности, не используя ни понятие предела, ни понятие окрестности. Функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a ∈ A, если для любого числа ε > 0существует такое число δ > 0, что при всех x ∈ A, удовлетворяющих неравенству |x − a| < δ,верно неравенство |f (x) − f (a)| < ε. Другими словами, бесконечно малому приращению аргумента в данной точке соответствует бесконечно малое приращение функции. Отметим, что этиформулировки включают в себя и случай изолированной точки множества A.Функцию f : A ⊂ Rn → R, непрерывную во всех точках множества A, называют непрерывной на этом множестве.Следующие так называемые локальные свойства непрерывных функций нескольких переменных вытекают из свойств 2–6 предела функции нескольких переменных (см.
8.3).1◦ . Если функции fi : A ⊂ Rn → R, i = 1, k, непрерывны в некоторой точке a ∈ A, то любаяих линейная комбинация непрерывна в этой точке.2◦ . Если функции f, g: A ⊂ Rn → R непрерывны в некоторой точке a ∈ A, то их произведение f g, а при g(a) 6= 0 и частное f /g непрерывны в этой точке.3◦ . Если функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a ∈ A, то она ограничена в пересечении множества A с некоторой окрестностью точки a.4◦ . Если функция f : A ⊂ Rn → R непрерывна в точке a и f (a) > 0 (f (a) < 0), то существуетокрестность точки a, в которой функция f в точках множества A положительна (отрицательна).5◦ . Если функции f, g: A ⊂ Rn → R непрерывны в точке a ∈ A и f (a) < g(a), то существуетокрестность этой точки, в которой в точках множества A выполнено неравенство f (x) < g(x).Отметим, что в сформулированных свойствах упоминание о множестве A можно опустить,если точка a является внутренней точкой множества A.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Пусть задана функция нескольких переменных f : A ⊂ Rn → R.
Каждая точка a ∈ A является либо предельной точкой множества A, либо его изолированной точкой. В первом случаефункция f может иметь в этой точке предел по множеству A, что приводит к следующемуопределению.ÌÃÒÓÌÃÒÓ8.4. Непрерывность функции нескольких переменныхÌÃÒÓÔÍ-12sin(x3 + y 3 )= 0.(x, y)→(0, 0)x2 + y 2limÔÍ-12ÌÃÒÓИтак, функция f (x, y) представлена в виде произведения двух функций, каждая из которыхимеет предел при (x, y) → (0, 0). Значит, существует предел функции f (x, y) в этой точке,равный произведению пределов сомножителей, т.е.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ16ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓт.е. u ∈ U(b, δ).
Включение u ∈ B выполняется в силу условий теоремы. Следовательно,u ∈ B ∩ U(b, δ) и F (x) = f g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x) = f (u) ∈ U(c, ε). Тем самым доказано, чтодля произвольной окрестности U(c, ε) точки c существует такая окрестность U(a, δ0 ) точки a,что F (x) ∈ U(c, ε) при x ∈ A ∩ U(a, δ0 ). Согласно определению непрерывности функции в точке,это означает, что сложная функция F непрерывна в точке a.
I222f (x, y) = e−k .(x, y)→(0, 0)Akопределена в R2 и непрерывна всюду в R2 , кроме точки (0, 0).ÔÍ-12Предел функции f (x, y) в точке (0, 0) по множеству Ak зависит от выбора множества Ak .Значит, в силу следствия 8.1 функция f (x, y) не имеет предела в точке (0, 0) (см. также пример 8.12).Итак, функцию f (x, y) нельзя доопределить так, чтобы она было непрерывной в точке (0, 0).Но подобное доопределение возможно в отношении других точек прямой x = 0, поскольку функция −y2 /x2e, x 6= 0;fe(x, y) =0,x = 0,ÌÃÒÓlimÔÍ-12Пример 8.15.
Функция f (x, y) = e−y /x определена всюду в R2 , кроме точек прямой x = 0.В своей области определения эта функция непрерывна как композиция непрерывных функцийe−t и t = y 2 /x2 (см. теорему 8.6). Функция t = y 2 /x2 является непрерывной в области x 6= 0 какчастное двух непрерывных функций (см. свойство 2 непрерывных функций).В точках прямой x = 0 функция f (x, y) не определена, но, может быть, ее можно доопределить в этих точках так, что она будет непрерывной в R2 ? Чтобы ответить на вопрос, возможноли такое доопределение, надо рассмотреть предел функции в точках прямой x = 0 по множествуA = {(x, y) ∈ R2 : x 6= 0}.
Существование предела функции в некоторой точке (x0 , y0 ) необходимо, чтобы в этой точке было возможно доопределение функции по непрерывности, т.е.такое доопределение, при котором функция будет непрерывной в точке (x0 , y0 ).Если y0 6= 0, то функция y 2 /x2 является бесконечно большой в точке (0, y0 ), а функция22e−y /x имеет предел в этой точке по множеству A, равный нулю. Но в точке (0, 0) пределэтой функции по множеству A не существует. Действительно, рассмотрим множества Ak == {(x, y): y = kx, x 6= 0}.
Нетрудно увидеть, что y 2 /x2 = k 2 при (x, y) ∈ Ak . Следовательно,ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12nточки a, что gi (x) ∈ U(bi , ε1 ) при x ∈ A ∩ U(a, δi ). Положим δ0 = min {δ1 , δ2 , . . . , δn } и выберемпроизвольную точку x ∈ A ∩ U(a, δ0 ). Тогда gi (x) ∈ U(bi , ε1 ), что равносильно выполнениюнеравенства |gi (x) − bi | < ε1 . Обозначив u = (g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x)), заключаем, чтоvru nquXδ2|gi (x) − bi |2 < ε21 n =· n = δ,|u − b| = tni=1ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Обозначим точку f (b) через c и фиксируем любую ε-окрестность U(c, ε) ⊂ R этой точки.
Изнепрерывности функции f в точке b следует, что существует такая δ-окрестность U(b, δ) ⊂ Rnточки b, что f (u) ∈ U(c, ε) при u ∈ B ∩ U(b, δ). Для каждого i = 1, n из непрерывности функцииδgi в точке a следует, что для числа ε1 = √ существует такая δi -окрестность U(a, δi ) ⊂ RmÌÃÒÓÔÍ-12Теорема 8.6. Если функции gi : A ⊂ Rm → R, i = 1, n, непрерывны в точке a ∈ A,(g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x)) ∈ B ⊂ Rn при x ∈ A и функция f : B ⊂ Rn → R непрерывна в точкеb = (b1 , b2 , . . . , bn ), где bi = gi (a), i = 1, n, то сложная функция F (x) = f g1 (x), g2 (x), .
. . , gn (x) ,x ∈ A, непрерывна в точке a.ÔÍ-12ÌÃÒÓДля функций нескольких переменных, как и для функций одного переменного, верна следующая теорема о непрерывности сложной функции.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ17ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 8. ФУНКЦИИНЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХКАК ОТОБРАЖЕНИЯÌÃÒÓ1−x2− y2 − z2определена в области xy > 0, т.е.
в первой и третьей четвертях без осей координат.При x2 + y 2 6= 0 функция f (x, y) является непрерывной как частное двух непрерывныхфункций. В точке (0, 0) и ее окрестности функция определена, но не является непрерывной вэтой точке, так как она в ней не имеет предела (см. пример 8.11). #ÔÍ-12Пример 8.17.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
