01 Линейные пространства (936688), страница 3
Текст из файла (страница 3)
. . + αm em + βy = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Действительно, пустьÌÃÒÓÌÃÒÓДокажем, что система из этих векторов линейно независима. Так как для любых коэффициентовα1 , . . . , αnα1 e1 + α2 e2 + . . . + αn en = (α1 , α2 , . . . , αn ),то ясно, что эта линейная комбинация векторов e1 , . . . , en может быть равна нулевому вектору0 = (0, 0, . . . , 0) только лишь при условии, что α1 = α2 = . . . = αn = 0. Это и означает, чтоэта система векторов линейно независима.Отметим, что если из векторов e1 , .
. . , en , рассматривая их как строки одинаковой длины,составить матрицу1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 E= . . . . . . . . ,0 0 ... 0 1то ее ранг будет максимальным (Rg E = n), а ее строки будут линейно независимы (например, согласно теореме о базисном миноре). Таким образом, понятие линейной независимостивекторов e1 , . .
. , en линейного арифметического пространства в данном случае согласуется спонятием линейной независимости строк единичной матрицы E.Пример 1.5. Любые два коллинеарных вектора на плоскости (в V2 ) и любые три компланарных вектора в пространстве (в V3 ) линейно зависимы. И в том, и в другом случае одиниз векторов можно представить в виде линейной комбинации другого (других). По этой жепричине в пространстве линейно зависима любая система из четырех векторов.ÌÃÒÓПример 1.6. Пусть в произвольном линейном пространстве L даны два вектора d1 и d2и пусть a = 3d1 − 2d2 , b = 2d1 + 3d2 , c = d1 + 5d2 . Тогда система векторов a, b, c линейнозависима.В самом деле, составим линейную комбинацию системы векторов a, b, c с произвольнымикоэффициентами x, y, z и приравняем ее нулевому вектору: xa + yb + zc = 0.
В этой линейнойкомбинации заменим векторы их представлениями через d1 и d2 :ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ9ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓВ линейном пространстве наибольший интерес представляют системы векторов, в виделинейной комбинации которых можно представить любой вектор, причем единственным образом. Если зафиксировать такую систему векторов, то любой вектор можно будет однозначнопредставить набором чисел, являющихся коэффициентами соответствующей линейной комбинации, а всевозможные векторные соотношения превратить в соотношения числовые.ÔÍ-121.5. Базис линейного пространстваÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓто линейная комбинация векторов a, b, c с коэффициентами x, y, z равна нулевому вектору.Как следует из теории систем линейных алгебраических уравнений, указанная система всегдаимеет ненулевое решение, поскольку ранг ее матрицы равен двум и меньше трех — количестванеизвестных. Например, ненулевым решением является x = 7, y = −17, z = 13.
Значит,существуют такие x, y, z, одновременно не равные нулю, что линейная комбинация векторовa, b, c с этими коэффициентами равна нулевому вектору, т.е. система векторов a, b, c линейнозависима.ÌÃÒÓÔÍ-12Теперь достаточно приравнять нулю коэффициенты при d1 и d2 , чтобы получить нулевуюлинейную комбинацию. Значит, если коэффициенты x, y, z удовлетворяют системе линейныхалгебраических уравнений3x + 2y + z = 0,−2x + 3y + 5z = 0,ÔÍ-12ÔÍ-12xa + yb + zc = x(3d1 − 2d2 ) + y(2d1 + 3d2 ) + z(d1 + 5d2 ) = (3x + 2y + z)d1 + (−2x + 3y + 5z)d2 .ÌÃÒÓÌÃÒÓ10Этот подход применялся уже в аналитической геометрии.
В пространстве V2 векторов наплоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис, так как через такую пару векторов любой вектор плоскости выражается однозначно в виде линейной комбинации. Аналогичнов V3 (множестве векторов в пространстве) базис образуют любые три некомпланарных вектора. Для матриц использовалось понятие базисных строк и базисных столбцов. По теореме обазисном миноре базисные строки (столбцы) линейно независимы, а любая строка (столбец)матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).ÔÍ-12Определение 1.3.
Базисом линейного пространства L называют любую упорядоченную систему векторов, для которой выполнены два условия:1) эта система векторов линейно независима;2) каждый вектор в линейном пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов этой системы.ÌÃÒÓJ Выберем в линейном пространстве L произвольный базис b1 , . . . , bn и предположим, чтовектор x имеет в этом базисе два разложенияx = x1 b1 + . . . + xn bn ,x = x01 b1 + . .
. + x0n bn .Воспользуемся тем, что аксиомы линейного пространства позволяют преобразовывать линейные комбинации так же, как и обычные алгебраические выражения. Вычитая из первогоравенства второе почленно, получимТак как базис — это линейно независимая система векторов, ее линейная комбинация равна0, лишь если она тривиальная (см.
определение 1.2). Значит, все коэффициенты этой линейнойкомбинации равны нулю: x1 − x01 = 0, . . . , xn − x0n = 0. Таким образом, x1 = x01 , . . . , xn = x0n идва разложения вектора x в базисе b1 , . . . , bn совпадают. IСогласно определению 1.3, базис является упорядоченной системой векторов. Это значит,что, изменив порядок векторов в системе, мы получим другой базис. Порядок векторов в базисеÔÍ-12Замечание 1.2. Условие линейной независимости векторов базиса означает, что нулевойвектор имеет в этом базисе единственное разложение, а именно тривиальное: все коэффициентыэтого разложения равны нулю.
Из доказательства теоремы 1.2 следует, что из единственностиразложения нулевого вектора по данной системе векторов вытекает единственность разложениялюбого другого вектора. #ÌÃÒÓ(x1 − x01 )b1 + . . . + (xn − x0n )bn = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 1.2 (о единственности разложения). В линейном пространстве разложениелюбого вектора по данному базису единственно.ÌÃÒÓÔÍ-12Такую запись называют разложением вектора x по базису (или в базисе) b1 , . . . , bn .Данное нами определение базиса согласовывается с понятием базиса в пространстве свободных векторов в V1 , V2 или V3 . Например, в V3 базисом была названа любая упорядоченнаятройка некомпланарных векторов. Такая тройка векторов является линейно независимой, таккак представление одного ее вектора в виде линейной комбинации двух других равносильнокомпланарности трех векторов. Но, кроме того, из курса векторной алгебры мы знаем, что любой вектор в пространстве можно выразить через произвольные три некомпланараных векторав виде их линейной комбинации.
Три компланарных вектора не могут быть базисом в V3 , таккак такие векторы линейно зависимы.ÔÍ-12ÌÃÒÓx = x1 b1 + . . . + xn bn .ÌÃÒÓÔÍ-12Пусть b1 , . . . , bn — базис в L. Определение 1.3 говорит о том, что любой вектор x ∈ Lможет быть записан следующим образом:ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ11ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓp(x) = α + βx2 + γx2 .ÔÍ-12Пример 1.7. В линейном пространстве K2 [x] многочленов переменного x степени не выше2 (см. пример 1.1) элементы x и x2 линейно независимы: их линейная комбинация αx + βx2есть многочлен, который равен нулю (нулевому многочлену) лишь при α = β = 0. В то жевремя пара этих элементов не образует базиса.
Действительно, многочлен 1 нулевой степени,являющийся элементом K2 [x], нельзя представить в виде линейной комбинации многочленов xи x2 . Дело в том, что линейная комбинация αx + βx2 многочленов x и x2 есть либо многочленвторой степени (при β 6= 0), либо многочлен первой степени (α 6= 0, β = 0), либо нулевоймногочлен (α = β = 0). Значит, равенство 1 = αx + βx2 двух многочленов невозможно ни прикаких значениях коэффициентов.В то же время три многочлена 1, x, x2 образуют базис линейного пространства K2 [x].
Докажем это.Во-первых, система многочленов 1, x, x2 линейно независима. Составим их линейную комбинацию с произвольными коэффициентами α, β, γ и приравняем нулю: α · 1 + βx + γx2 = 0.Это равенство есть равенство двух многочленов, и оно возможно только в случае, когда коэффициенты этих двух многочленов совпадают. Значит, α = β = γ = 0.Во-вторых, через многочлены 1, x, x2 можно выразить любой многочлен второй степени, т.е.любой элемент линейного пространства K2 [x] можно представить в виде линейной комбинацииуказанных трех элементов.
Возьмем произвольный многочленОпределение 1.4. Коэффициенты разложения вектора по базису линейного пространства,записанные в соответствии с порядком векторов в базисе, называют координатами векторав этом базисе.ÌÃÒÓфиксируют для того, чтобы задать определенный порядок коэффициентов разложения произвольного вектора. Это позволяет заменить линейную комбинацию, представляющую вектор,упорядоченным набором ее коэффициентов и тем самым упростить запись.
Порядок векторов вбазисе определяется их нумерацией.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓ1.6. Линейные операции в координатной формеФиксация порядка векторов в базисе преследует еще одну цель — ввести матричные способы записи векторных соотношений. Базис b1 , . . . , bn в данном линейном пространстве Lудобно записывать как матрицу-строкуа координаты вектора x в этом базисе — как матрицу-столбец: x1 .. x = . .xn(1.2)ÔÍ-12b = (b1 b2 . . . bn ),ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓпричем коэффициенты многочлена в то же время являются коэффициентами линейной комбинации.Итак, система трех многочленов 1, x, x2 линейно независима, а любой элемент линейногопространства K2 [x] является линейной комбинацией указанной системы.
Согласно определению1.3, система многочленов 1, x, x2 есть базис в K2 [x].ÌÃÒÓÔÍ-12p(x) = α · 1 + βx2 + γx2 ,ÔÍ-12ÔÍ-12Его запись можно рассматривать как линейную комбинацию многочленов 1, x, x2 :ÌÃÒÓтгде x = (−1 2 2) — столбец координат вектора x. #Запись линейных операций над свободными векторами в координатной форме обобщаетсяна случай произвольного линейного пространства.Теорема 1.3. При сложении любых двух векторов в линейном пространстве их координатыв одном и том же базисе складываются, а при умножении вектора на число его координатыумножаются на это число.J Рассмотрим в линейном пространстве L базис b = (b1 , b2 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
