01 Линейные пространства (936688), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Разностью двух векторов b−a называют вектор x,являющийся решением уравнения a+x = b (вспомним, что разностью двух чисел b−a называютÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12⇐⇒⇐⇒ÌÃÒÓСвойство 1.4. Для любых двух векторов a и b уравнение a + x = b относительно x имеетрешение, и притом единственное.«(−x) противоположен x»«x противоположен (−x)»ÔÍ-12J Утверждение опирается на коммутативность сложения. Действительно,ÌÃÒÓСвойство 1.3.
Если вектор (−x) противоположен вектору x, то вектор x противоположенвектору (−x).ÌÃÒÓÌÃÒÓСвойство 1.5. Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0равно нулевому вектору: 0 · x = 0.J Отметим, что решением уравнения x + y = x относительно неизвестного y является нулевойвектор (аксиома в) ).
Покажем, что в качестве решения этого уравнения можно взять и вектор0 · x, который тогда, в силу единственности решения, будет совпадать с 0. Итак, проверяем:x + 0 · x = 1 · x + 0 · x = аксиома ж) = (1 + 0)x = 1 · x = аксиома д) = x.IСвойство 1.6. Вектор, противоположный данному вектору x, равен произведению x начисло −1: (−x) = (−1)x.J Благодаря единственности противоположного вектора (свойство 1.2) достаточно доказать,что вектор (−1)x удовлетворяет аксиоме г) линейного пространства.
Для этого используемаксиому дистрибутивности ж) и только что доказанное свойство 1.5:x + (−1)x = 1 · x + (−1)x = 1 + (−1) x = 0 · x = 0.IÌÃÒÓЗамечание 1.1. Эквивалентность равенств a + x = b и x = b − a можно трактовать какправило, согласно которому слагаемое, которое переносят в другую часть равенства, меняетсвой знак. Ясно также, что для α ∈ R из равенства a = b следует равенство αa = αb и наоборот(при α 6= 0), так как1 1(αa) =α a=1·a=aααи аналогично1(αb) = b.αÔÍ-12ÔÍ-12такое число, которое в сумме с вычитаемым a дает уменьшаемое b). Из доказательства свойства1.4 вытекает, чтоb − a = (−a) + b = b + (−a), b − (−a) = b + a.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ6ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓI1.3.
Линейная зависимостьИз данного набора векторов x1 , x2 , . . . , xk линейного пространства L при помощи линейныхопераций можно составить выражение видаα1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk ,Определение 1.2. Систему векторов x1 , x2 , . . . , xk в линейном пространстве L называют линейно зависимой, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов,ÔÍ-12где α1 , α2 , . . . , αk — произвольный набор действительных чисел. Такое выражение называют линейной комбинацией векторов x1 , x2 , . .
. , xk , а действительные числа α1 , α2 , . . . ,αk — коэффициентами линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то такую линейную комбинацию называют тривиальной, а в противномслучае — нетривиальной.Конкретный (неупорядоченный) набор векторов x1 , x2 , . . . , xk линейного пространства будем называть системой векторов, а любую его часть — подсистемой.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓλ0 = λ(0 · 0) = (λ · 0)0 = 0 · 0 = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12J Мы теперь знаем, что нулевой вектор можно представить как произведение произвольноговектора (того же 0) на число 0 (свойство 1.5). Используя это, получаем:ÔÍ-12ÔÍ-12Свойство 1.7.
Произведение нулевого вектора на любое число есть нулевой вектор: λ0 = 0.ÌÃÒÓвытекает, что α1 = α2 = . . . = αk = 0. В такой интерпретации понятия линейной зависимостии независимости мы будем использовать в различных доказательствах.Следующее утверждение дает простой критерий линейной зависимости векторов.Теорема 1.1. Для того чтобы система векторов x1 , x2 , . . . , xk (k > 2) была линейно зависима, необходимо и достаточно, чтобы один из векторов системы являлся линейной комбинациейостальных.J Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть векторы x1 , x2 , .
. . , xk линейно зависимы. Согласно определению 1.2, это означает, что существуют коэффициенты α1 , α2 , . . . , αk ∈ R, одновременно неравные нулю, для которых выполнено равенство (1.1). Не теряя общности, мы можем считать,что α1 6= 0, так как этого всегда можно добиться изменением нумерации векторов в системе.Из равенства (1.1), используя обычные правила преобразования выражений (см. замечание 1.1),находимαkα2x1 = − x2 − .
. . − xk .α1α1Преобразуя очевидным образом записанное выражение, получаемВ левой части этого равенства стоит линейная комбинация векторов системы. Она равна нулевому вектору, но не все ее коэффициенты равны нулю (например, коэффициент при векторе x1равен единице).
Согласно определению 1.2, это означает, что система векторов x1 , x2 , . . . , xkлинейно зависима. Isin2 x =1 − cos 2x.2ÔÍ-12Пример 1.3. В линейном пространстве C[0, 2π] функций, непрерывных на отрезке [0, 2π],рассмотрим функции 1, sin2 x, cos 2x. Система из этих трех элементов линейного пространствалинейно зависима, поскольку в силу известной формулы тригонометрии функция sin2 x являетсялинейной комбинацией двух других функций:ÌÃÒÓ1 · x1 − α2 x2 − . . . − αk xk = 0.ÔÍ-12Следовательно, вектор x1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.Д о с т а т о ч н о с т ь.
Теперь предположим, что один из векторов системы является линейной комбинацией остальных. Как и выше, можно, не теряя общности, считать, что таковым является вектор x1 . Согласно этому предположению, существуют такие коэффициентыα2 , α3 , . . . , αk , чтоx1 = α2 x2 + . . . + αk xk .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓα1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk = 0ÔÍ-12ÔÍ-12Векторы x1 , x2 , . . . , xk линейно независимы, если из равенстваÌÃÒÓÌÃÒÓЛинейная зависимость системы векторов x1 , x2 , . .
. , xk означает, что существуют такиекоэффициенты α1 , α2 , . . . , αk ∈ R, одновременно не равные нулю, для которых выполненоравенствоα1 x1 + α2 x2 + . . . + αk xk = 0.(1.1)ÌÃÒÓÔÍ-12равная нулевому вектору. Если же линейная комбинация этих векторов равна нулевому векторутолько лишь в случае, когда она тривиальна, систему векторов называют линейно независимой.
Опуская слово «система», часто говорят: векторы x1 , x2 , . . . , xk линейно зависимыили соответственно линейно независимы.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ7ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-121.4. Свойства систем векторовНепосредственно из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейшихсвойств систем векторов произвольного линейного пространства L.1◦ . Если среди векторов x1 , x2 , . . .
, xk ∈ L есть нулевой вектор, то эта система векторовлинейно зависима.J Пусть, например, x1 = 0. Тогда линейная комбинация 1 · x1 + 0 · x2 + . . . + 0 · xk являетсянетривиальной, так как первый ее коэффициент равен единице. В то же время указаннаялинейная комбинация равна 0, потому что все ее слагаемые равны нулевому вектору.
I2◦ . Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она линейно зависима.J Подсистема состоит из части векторов исходной системы. Пусть, например, в системе векторов x1 , . . . , xk подсистема x1 , . . . , xm , m < k, линейно зависима. Это значит, что можноуказать коэффициенты α1 , . . . , αm , одновременно не равные нулю, для которыхα1 x1 + . . .
+ αm xm = 0.Введя дополнительные коэффициенты αm+1 = . . . = αk = 0, получим линейную комбинациюсистемы векторов x1 , . . . , xm , xm+1 , . . . , xk . С одной стороны, она не является тривиальной,так как среди первых ее m коэффициентов есть ненулевые, а с другой стороны,Следовательно, исходная система векторов линейно зависима. I3◦ . Если система векторов линейно независима, то и любая ее подсистема тоже линейнонезависима.4◦ .
Если векторы e1 , . . . , em линейного пространства L линейно независимы и вектор y ∈ Lне является их линейной комбинацией, то расширенная система векторов e1 , . . . , em , y являетсялинейно независимой.ÔÍ-12J Это свойство является переформулировкой предыдущего. В самом деле, по свойству 2◦ система, имеющая линейно зависимую подсистему, не может быть сама линейно независимой.Поэтому у линейно независимой системы вообще не может быть линейно зависимых подсистем. IÌÃÒÓα1 x1 + . . . + αm xm + αm+1 xm+1 + .
. . + αk xk = 0 + 0 · xm+1 + . . . + 0 · xk = 0.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ8ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓТогда коэффициент β должен быть нулевым, так как в противном случае мы можем выразитьвектор y через остальные. Но слагаемое βy в равенстве слева можно при β = 0 опустить, и мыполучаем линейную комбинацию векторов e1 , . . . , ek , равную нулевому вектору. В силу линейной независимости этих векторов все коэффициенты линейной комбинации равны нулю.
Значит,исходная линейная комбинация является тривиальной и поэтому система векторов e1 , . . . , em , yлинейно независима. IПример 1.4. В линейном арифметическом пространстве Rn рассмотрим n векторовe2 = (0, 1, . . . , 0, 0),. . . . . . . . . . . .en = (0, 0, . . . , 0, 1).ÌÃÒÓe1 = (1, 0, . . . , 0, 0),ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12α1 e1 + .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
