6 T-Tо¦ВтАв¦- (930140)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

6 билет

1. Случайную величину Х называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины Х называют таблицу, состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в нижней – вероятности p_i=P{X=x_i} того, что случайная величина примет эти значения. Функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-, x₁] значение 0, на промежутках (x_i, x_i+1], 1i<n, - значения p₁+…+p_i и на промежутке (x_n, +) – значение 1. Доказательство. Пусть Х – дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения x₁,…, x_n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех xx₁ событие {X<x} является невозможным и поэтому в соответствии с определением функции распределения F(x)=0. Если x₁<xx₂, то событие {X<x} состоит из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()=x₁, и, следовательно, F(x)=p₁. Аналогично при x₂<xx₃ событие {X<x} состоит из элементарных исходов , для которых либо X()=x₁, либо X()=x₂, т.е. {X<x}={X=x₁}+{X=x₂}, а следовательно, F(x)=p₁+p₂ и т. д. Наконец, при x>x_n событие {X<x} достоверно и F(x)=1. Случайной величиной называется числовая величина, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента. Скалярную функцию X(), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого xR {: X()<x} – множество элементарных исходов, для которых X()<x является событием. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события {X<x}, т. е. события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов , для которых X()<x: F(x)=P{X<x}. Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам: 1. 2. при x₁<x₂ (F(x) – неубывающая функция) 3. 4. 5. , где (F(x) – непрерывная слева функция) Доказательство. Поскольку значение функции распределения в любой точке x является вероятностью, то из свойства 4 вероятности (см. вопрос 5) вытекает утв. 1. Если x₁<x₂, то событие {X<x₁} включено в событие {X<x₂} и, согласно свойству 3, , т. е. в соответствии с определением функции распределения выполнено утв. 2. Пусть x₁,…, x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к +. Событие {X<+}, с одной стороны, является достоверным, а с другой стороны представляет собой объединение событий {X<x_n}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утв. 3. Аналогично доказывается и первое равенство. Событие {X<x₂} при x₁<x₂ представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X<x₁} – случайная величина X приняла значение, меньшее x₁, и - случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x₁, x₂). Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утв. 4. Наконец, пусть x₁,…,x_n,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<x} является объединением событий {X<x_n}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв. 5. Математическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величины Х называют сумму произведений значений x_i случайной величины и вероятностей p_i = P{X=x_i}, с которыми случайная величина принимает эти значения: . При этом, если множество возможных значений случайной величины счетно, предполагается, что . В противном случае говорят, что МХ не существует. Математическим ожиданием (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл . При этом предполагается, что . Для функций случайных величин математическое ожидание вычисляется аналогично. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам: Если случайная величина Х принимает всего одно значение с вероятностью 1, то МС=С. M(aX+b) = aMX+b, где a, b – постоянные M(X₁+X₂) = MX₁+MX₂ M(X₁X₂) = MX₁MX₂ для независимых случайных величин. Доказательство состоит в раскрытии сумм и интегралов. Дисперсией DX случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от ее среднего значения, т. е. DX = M(X-MX)². , . Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам:

Если случайная величина Х принимает всего одна значение С, то DC=0 D(aX+b) = a²DX DX = MX²-(MX)² (X+Y) = DX + DY для независимых случайных величин. Доказательство опирается на свойства математического ожидания

2. Критерий Пирсона. 1. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Пусть получена выборка достаточно большого объема п с большим количеством различ-ных значений вариант. Доя удобства ее обработки разделим интервал от наименьшего до наибольшего из значений вариант на s равных частей и будем считать, что значения вариант, попавших в каждый интервал, приближенно равны числу, задающему середину интервала. Подсчитав число вариант, попавших в каждый интервал, составим так называе-мую сгруппированную выборку: варианты………..х₁ х₂ … х_s частоты………….п₁ п₂ … п_s , где х_i – значения середин интервалов, а п_i – число вариант, попавших в i-й интервал (эмпи-рические частоты). По полученным данным можно вычислить выборочное среднее и выборочное среднее квадратическое отклонение σ_В. Проверим предположение, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону с параметрами M(X) = , D(X) = . Тогда можно найти количество чисел из выборки объема п, которое должно оказаться в каждом интер-вале при этом предположении (то есть теоретические частоты). Для этого по таблице значений функции Лапласа найдем вероятность попадания в i-й интервал: , где а_i и b_i - границы i-го интервала. Умножив полученные вероятности на объем выборки п, найдем теоретические частоты: п_i =n·p_i. Наша цель – сравнить эмпирические и теоретические частоты, которые, конечно, отличаются друг от друга, и выяснить, являются ли эти различия несущественными, не опровергающими гипотезу о нормальном распределении исследуемой случайной величины, или они настолько велики, что противоречат этой гипотезе. Для этого используется критерий в виде случайной величины . (20.1) Смысл ее очевиден: суммируются части, которые квадраты отклонений эмпирических частот от теоретических составляют от соответствующих теоретических частот. Можно доказать, что вне зависимости от реального закона распределения генеральной совокупно-сти закон распределения случайной величины (20.1) при стремится к закону распределения с числом степеней свободы k = s – 1 – r, где r – число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому k = s – 3. Для выбранного критерия строится правосторонняя критическая область, определяемая условием (20.2)

г де α – уровень значимости. Следовательно, критическая область задается неравенством а область принятия гипотезы - . Итак, для проверки нулевой гипотезы Н₀: генеральная совокупность распределена нормально – нужно вычислить по выборке наблюдаемое значение критерия: (20.1`) а по таблице критических точек распределения χ² найти критическую точку , используя известные значения α и k = s – 3. Если - нулевую гипотезу принимают, при ее отвергают.

2. Проверка гипотезы о равномерном распределении.

П ри использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределе-нии генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности необходимо, вычислив по имеющейся выборке значение , оценить параметры а и b по формулам: , (20.3)где а* и b* - оценки а и b. Действительно, для равномерного распределения М(Х) = , откуда можно получить систему для определения а* и b*: , решением которой являются выражения (20.3). Затем, предполагая, что , можно найти теоретические частоты по формулам Здесь s – число интервалов, на которые разбита выборка.

Наблюдаемое значение критерия Пирсона вычисляется по формуле (20.1`), а критическое – по таблице с учетом того, что число степеней свободы k = s – 3. После этого границы критической области определяются так же, как и для проверки гипотезы о нормальном распределении.

3. Проверка гипотезы о показательном распределении.

В этом случае, разбив имеющуюся выборку на равные по длине интервалы, рассмотрим последовательность вариант , равноотстоящих друг от друга (считаем, что все варианты, попавшие в i – й интервал, принимают значение, совпадающее с его серединой), и соответствующих им частот n_i (число вариант выборки, попавших в i – й интервал). Вычислим по этим данным и примем в качестве оценки параметра λ величину . Тогда теоретические частоты вычисляются по формуле Затем сравниваются наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что число степеней свободы k = s – 2.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)