11 ¦СTо¦ВтАв¦- (930122)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Билет 11

Локальная и интегральная формулы Муавра – Лапласа.Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива локальная формула Муавра – Лапласа . Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, причем p и q=1-p велики, то для всех m справедлива интегральная формула Муавра – Лапласа .Это означает, что при большом числе испытаний распределение числа успехов становится нормальным. Иногда приходится оценивать вероятность отклонения частоты события от вероятности. Покажем, как можно использовать для этого интегральную формулу Муавра – Лапласа. Заметим, что . Запишем интегральную формулу Муавра – Лапласа в виде . Поэтому . Если интервал симметричен, , то по нечетности . Примеры. (3.42) Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. Вероятность вызова за минуту 0,0005. Какова вероятность, что за минуту поступит не менее двух вызовов? Здесь n = 1000, p = 0,0005, = np =0.5. (по таблице ). (3.43) Известно, что 20% автомобилей нарушают скоростной режим. Какова вероятность того, что из 1000 автомобилей 210 нарушат правила? Здесь надо пользоваться локальной формулой Муавра-Лапласа при n=1000, p=0,2, m=300. Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х: F (x) = p (X < x). (4.1) Свойства функции распределения. 0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность. Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x₂) ≥ F(x₁) при х₂ > x₁. Это следует из того, что F(x₂) = p(X < x₂) = p(X < x₁) + p(x₁ ≤ X < x₂) ≥ F(x₁). В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a – событие невозможное, а X < b – достоверное. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала: p ( a < X < b ) = F(b) – F(a). Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2). Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.

1. Метод наибольшего правдоподобия. Пусть Х – дискретная случайная величина, которая в результате п испытаний приняла значения х₁, х₂, …, х_п. Предположим, что нам известен закон распределения этой величины, определяемый параметром Θ, но неизвестно численное значение этого параметра. Найдем его точечную оценку. Пусть р(х_i, Θ) – вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение х_i. Назовем функцией правдоподобия дискретной случайной величины Х функцию аргумента Θ, определяемую по формуле: L (х₁, х₂, …, х_п; Θ) = p(x₁,Θ)p(x₂,Θ)…p(x_n,Θ). Тогда в качестве точечной оценки параметра Θ принимают такое его значение Θ* = Θ(х₁, х₂, …, х_п), при котором функция правдоподобия достигает максимума. Оценку Θ* называют оценкой наибольшего правдоподобия. Поскольку функции L и lnL достигают максимума при одном и том же значении Θ, удобнее искать максимум ln L – логарифмической функции правдоподобия. Для этого нужно: найти производную ; приравнять ее нулю (получим так называемое уравнение правдоподобия) и найти критическую точку; найти вторую производную ; если она отрицательна в критической точке, то это – точка максимума. Достоинства метода наибольшего правдоподобия: полученные оценки состоятельны (хотя могут быть смещенными), распределены асимптотически нормально при больших значениях п и имеют наименьшую дисперсию по сравнению с другими асимптотически нормальными оценками; если для оцениваемого параметра Θ существует эффективная оценка Θ*, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение Θ*; метод наиболее полно использует данные выборки и поэтому особенно полезен в случае малых выборок. Недостаток метода наибольшего правдоподобия: сложность вычислений. Для непрерывной случайной величины с известным видом плотности распределения f(x) и неизвестным параметром Θ функция правдоподобия имеет вид: L (х₁, х₂, …, х_п; Θ) = f(x₁,Θ)f(x₂,Θ)…f(x_n,Θ). Оценка наибольшего правдоподобия неизвестного параметра проводится так же, как для дискретной случайной величины. 2. Метод моментов. Метод моментов основан на том, что начальные и центральные эмпирические моменты являются состоятельными оценками соответственно начальных и центральных теоретических моментов, поэтому можно приравнять теоретические моменты соответствующим эмпирическим моментам того же порядка. Если задан вид плотности распределения f(x, Θ), определяемой одним неизвестным параметром Θ, то для оценки этого параметра достаточно иметь одно уравнение. Например, можно приравнять начальные моменты первого порядка: , получив тем самым уравнение для определения Θ. Его решение Θ* будет точечной оценкой параметра, которая является функцией от выборочного среднего и, следовательно, и от вариант выборки: Θ = ψ (х₁, х₂, …, х_п). Если известный вид плотности распределения f(x, Θ₁, Θ₂ ) определяется двумя неизвестными параметрами Θ₁ и Θ₂, то требуется составить два уравнения, например ν₁ = М₁, μ₂ = т₂. Отсюда - система двух уравнений с двумя неизвестными Θ₁ и Θ₂. Ее решениями будут точечные оценки Θ₁* и Θ₂* - функции вариант выборки: Θ₁ = ψ₁ (х₁, х₂, …, х_п), Θ₂ = ψ₂(х₁, х₂, …, х_п). Оценка параметров экспоненциального распределения. Экспоненциальные распределения /2/ имеют один параметр , который связан с математическим ожиданием случайной величины T соотношением: (1.35) Оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение случайной величины T , определяемое по формуле (1.36) В случае полностью определенной выборки объемом n, несмещенная оценка для определяются по формуле: (1.37) Нижняя и верхняя доверительные границы величины при односторонней доверительной вероятности находятся по формулам:

(1.38) (1.39) Коэффициенты и вычисляются по формулам: (1.40) (1.41) где m – суммарное число отказов всех объектов за время испытаний; Up – квантиль нормального распределения, соответствующая односторонней доверительной вероятности P, выбирается из табл. 6.1 справочного раздела. Нижняя и верхняя доверительные границы для параметра : (1.42) (1.43) Коэффициенты и вычисляются по формулам: (1.44) (1.45)

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)