Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöûñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé äåðåâà, à ñòîëáöû — ñîãëàñíî íîìåðàì âåòâåé ãðàôàñõåìû. Ïðÿìîóãîëüíàÿ ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò âåòâÿì äåðåâà,à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäèíèöå, ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáðàçîâàíèè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, ðàçðåçàþùåé òîëüêî îäíó âåòâüäåðåâà è ñâÿçè ãðàôà, âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ðàçðåçàåòñÿ, ðàçðåçàåòñÿ è íàïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòèñîãëàñíî äàííîé âåòâè äåðåâà, ðàçðåçàåòñÿ è íàïðàâëåíà ê ïîâåðõíîñòè ïðîòèâ äàííîé âåòâèãðàôà, íàçûâàåòñÿ ìàòðèöåé ñå÷åíèé.Îáîçíà÷èì ìàòðèöó ñå÷åíèé áóêâîé D.
Ïðåäñòàâèì òîêè âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû,ñîñòîÿùåé èç p còðîê è îäíîãî ñòîëáöà.Ðèñ. 3.29Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé167Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû ñå÷åíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó òîêîââåòâåé â óðàâíåíèè äëÿ ñå÷åíèÿ, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì âåòâèäåðåâà. Ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, êàæäîå óðàâíåíèå ñå÷åíèÿìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå~i1M~i = d ~i +K + d ~i +K + d ~i =´ km1 1mk kmp pm dm1 K dmk K dmpM~iâåêòîð-ñòðîêà (1´ð)ìàòðèöà (1´1)pådk =1~i = 0.mk kpâåêòîð-ñòîëáåö (ð´1)Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü äëÿ âñåõ q – 1 âåòâåé äåðåâà ãðàôà ñõåìû.
 ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~Di = 0.Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.29) èìååì1~Di =12321345~i1~i621 –1 –11–1 –1 ´1 –11~i3~i4~i5~i=~i + ~i - ~i - ~i1456~i - ~i - ~i256~i - ~i + ~i3450=0= 0.06Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿ òîêîâñå÷åíèÿ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèå~i = i + Á ,kkkãäå ik — òîê â ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ k-é âåòâè, à Ák — çíà÷åíèå òîêà èñòî÷íèêàòîêà â k-é âåòâè ïðè óñëîâèè, ÷òî ik è Ák íàïðàâëåíû îò îäíîãî è òîãî æå óçëà (ñì.ðèñ.
3.26).Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü óðàâíåíèé òîêîâ ñå÷åíèé â ýëåìåíòàõ âåòâåé ñõåìû áóäåòèìåòü âèä~Di = Di + DÁ = 0,ãäå~iÁ10i11~i= M ; i= M ; Á= M ; 0= M .~iÁp0ipp( p ´1)( p ´1)( p ´1)( q-1) ´1168×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÝòî óðàâíåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê, ÷òî èñòî÷íèêè òîêà áóäóò âûäåëåíûîñîáî, à èìåííî:Di = -DÁ.3.16. Ñâÿçè ìåæäó ìàòðèöàìè ñîåäèíåíèé, êîíòóðîâ è ñå÷åíèéÄëÿ âûÿñíåíèÿ ñâÿçåé ìåæäó ìàòðèöàìè ïðîèçâåäåì íåêîòîðîå óïîðÿäî÷åíèåâ íóìåðàöèè âåòâåé ãðàôà ñõåìû. Óñëîâèìñÿ âïðåäü íîìåðà îò 1 äî q – 1 ïðèïèñûâàòü âåòâÿì äåðåâà è íîìåðà îò q äî p — ñâÿçÿì ãðàôà. Ïðè òàêîé íóìåðàöèèìàòðèöû À, Ñ è D áóäóò ñîñòîÿòü èç äâóõ ïîäìàòðèö (èç äâóõ áëîêîâ):A=1K q - 1,qK pA1A2( q - 1) ´ ( q - 1),( q - 1) ´ n1Mq-1D=1Mq-1;C=qMp1K q - 1,qK pD1D2( q - 1) ´ ( q - 1),( q - 1) ´ n1K q - 1,qK pC1C2n ´ ( q - 1),;( n ´ n).Ñîîòâåòñòâåííî, òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ãðàôà ñõåìû òàêæå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû äâóìÿ ñòîëáöîâûìè áëîêàìè — äâóìÿ ïîäìàòðèöàìè.
 ïåðâîì áëîêå-ñòîëáöåáóäóò ðàñïîëîæåíû òîêè (íàïðÿæåíèÿ) âåòâåé äåðåâà ñ íîìåðàìè îò 1 äî q – 1, à âîâòîðîì áëîêå-ñòîëáöå — òîêè (íàïðÿæåíèÿ) ñâÿçåé ñ íîìåðàìè îò q äî p:~i=1Mq-1~i1( q - 1) ´ 1qMp~i2( n ´ 1);u~ =1Mq-1u~1( q - 1) ´ 1qMpu~ 2( n ´ 1).Ïðè òàêîì ðàçáèåíèè ìàòðèö ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü çàïèñàíûâ âèäå ïðîèçâåäåíèÿ áëî÷íûõ ìàòðèö.
Ïî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê óçëàì ñõåìû èìååìÇäåñü A1 — êâàäðàòíàÿ ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà (q – 1) ´ (q – 1), òàê êàê îíà èìååòq – 1 ñòîëáöîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ q – 1 âåòâÿì äåðåâà ãðàôà ñõåìû, q – 1 ñòðîê,~ñîîòâåòñòâóþùèõ q – 1 óçëàì. Ïîäìàòðèöà-ñòîëáåö i 1 òàêæå èìååò q – 1 ñòðîê,ñîîòâåòñòâóþùèõ òîêàì âåòâåé äåðåâà.
Ñîîòâåòñòâèå ÷èñëà ñòîëáöîâ ïîäìàò~ðèöû A1 ÷èñëó ñòðîê ïîäìàòðèöû i 1 ïîçâîëÿåò çàïèñàòü ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäå~~íèå A 1i 1 . Òî÷íî òàê æå èìååò ñìûñë ïðîèçâåäåíèå A 2 i 2 , òàê êàê A2 èìååò n ñòîëá~öîâ, à i 2 èìååò n ñòðîê, ñîîòâåòñòâåííî ðàâíûõ ÷èñëó ñâÿçåé â ãðàôå ñõåìû.Ãëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé169Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìåþò ñìûñë ñëåäóþùèå ìàòðè÷íûå ïðîèçâåäåíèÿ:~Çäåñü, êàê è ðàíåå, i 1 è u~1 — ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé âåòâåé~ ~äåðåâà, à i 2 è u 2 — ïîäìàòðèöû-ñòîëáöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé ñâÿçåé ãðàôà öåïè. ìàòðèöå êîíòóðîâ C íîìåð ñòðîêè îïðåäåëÿåòñÿ íîìåðîì ñâÿçè, è ïîñêîëüêó â êîíòóð âõîäèò òîëüêî îäíà ñâÿçü, òî î÷åâèäíî, ÷òî â ïîäìàòðèöå C2 êàæäàÿñòðîêà áóäåò èìåòü òîëüêî îäèí ïîëîæèòåëüíûé íåíóëåâîé ýëåìåíò.
Ýòîò ýëåìåíò áóäåò â òîì ñòîëáöå, íîìåð êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ ñâÿçüþ, îáðàçóþùåé äàííûé êîíòóð. Ïî ýòîé ïðè÷èíå âñå íåíóëåâûå ýëåìåíòû ïîäìàòðèöû C2, ðàâíûå 1,áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèàãîíàëè ïîäìàòðèöû C2. Òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿå ä è í è ÷ í î é, áóäåì îáîçíà÷àòü åå ÷åðåç 1. Ïîðÿäîê ïîäìàòðèöû C2 = 1 ðàâåín ´ n. Îáû÷íî â ëèòåðàòóðå äëÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïðèìåíÿåòñÿ îáîçíà÷åíèå E;îäíàêî, ÷òîáû íå ïóòàòü åäèíè÷íóþ ìàòðèöó ñ ìàòðèöåé ÝÄÑ, áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë 1.Ïðè ñîñòàâëåíèè ìàòðèöû ñå÷åíèé ñòðîêè íóìåðóþòñÿ ñîãëàñíî íîìåðàìâåòâåé äåðåâà.
Ïîñêîëüêó êàæäàÿ âåòâü äåðåâà âõîäèò òîëüêî â îäíî îïðåäåëÿåìîå íîìåðîì ýòîé âåòâè ñå÷åíèå, ïîäìàòðèöà D1 áóäåò èìåòü ñòðîêè ñ îäíèì ïîëîæèòåëüíûì íåíóëåâûì ýëåìåíòîì. Ýòè ýëåìåíòû áóäóò ðàñïîëîæåíû ïî äèàãîíàëè ïîäìàòðèöû D1. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîäìàòðèöà D1 ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íîéìàòðèöåé ïîðÿäêà (q – 1) ´ (q – 1).Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü1C=Mq-11K q - 1,qK pC11q;D=Mp1K q - 1,qK p1D2.Êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàåò îäíó âåòâü äåðåâà è íåêîòîðûå ñâÿçè ãðàôà ñõåìû(ðèñ. 3.30).
Èç ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà âûòåêàåò, ÷òî âåòâü (m íà ðèñ. 3.30), îïðåäåëÿþùàÿ ñå÷åíèå, íåïðåìåííî âõîäèò â êîíòóðû (j è s), îáðàçîâàííûå òåìè ñâÿçÿìè (j è s) ãðàôà, êîòîðûå ðàçðåçàþòñÿ ñå÷åíèåì, òàê êàê ðàçðåçàíèå äàííîé âåòâèäåðåâà ãðàôà ïðèâåäåò ê ðàçðåçàíèþ âñåõ êîíòóðîâ, êîòîðûå îáðàçîâàíû ñâÿçÿìè ñå÷åíèÿ.Íà ðèñ. 3.30 ïîêàçàíû äâà ïîäãðàôà, êîòîðûå îáðàçóþòñÿ ñå÷åíèåì âåòâè m. êîíòóðû, îáðàçîâàííûå ñâÿçÿìè s è j, âåòâü m âõîäèò, ñîîòâåòñòâåííî, ñî çíàêàìè csm = – 1 è cjm = 1.  òî æå âðåìÿ âåòâè s è j âõîäÿò â m-å ñå÷åíèå, ñîîòâåòñòâåííî, ñî çíàêàìè dms = 1 è dmj = – 1.
Äëÿ âñåõ êîíòóðîâ è ñå÷åíèé, ñëåäîâàòåëüíî,170×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèìîæíî çàìåòèòü ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü.Ñòîëáöû ïîäìàòðèöû C1 ìîãóò áûòü îáðàçîâàíû ñòðîêàìè ïîäìàòðèöû D2, åñëè ó âñåõ íåíóëåâûõ ýëåìåíòîâ èçìåíèòü çíàêè.Åñëè ó äâóõ ìàòðèö ñòðîêàì îäíîé ìàòðèöûñîîòâåòñòâóþò ñòîëáöû äðóãîé (è íàîáîðîò),òî òàêèå ìàòðèöû ïîëó÷àþòñÿ ïóòåì âçàèìíîãî òðàíñïîíèðîâàíèÿ — ïåðåñòàíîâêè ìåñòàìèñòðîê è ñòîëáöîâ. Îáîçíà÷èì ïðîöåäóðó òðàíñïîíèðîâàíèÿ âåðõíèì èíäåêñîì t (èëè «ò»).Òîãäà èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿC 1 = - D 2t èëè D 2 = - C 1t .×òîáû íå ïèñàòü èíäåêñû ó ïîäìàòðèö C1 èD2, ââåäåì îáîçíà÷åíèå C1 = F.
ÒîãäàÐèñ. 3.30FC=1;–Ft .1D=Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèö C è D äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü îäíóïîäìàòðèöó F. Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.31, èìååì11D=23412135671–1–1–11114118910111–11–11–1 –1=–Ft ,1ò. å.15 –1F=23161–171–18–1–119–110–141–1èC=5M101K4 ,5K10F1.1–11~~~~Èç çàêîíîâ öåïåé èìååì A 1i 1 = -A 2 i 2 è D1i 1 = -D 2 i 2 . Íî D1 = 1, ïîýòîìó~~i 1 = -D 2 i 2 .Ãëàâà 3.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé171Ïîäìàòðèöà A1 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòíîé ïîäìàòðèöåé. Åñëè îïðåäåëèòåëü A1 íåðàâåí íóëþ, òî ìîæíî íàéòè òàêóþ ìàòðèöó A 1-1 , ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðóþìàòðèöû A1 ñëåâà ïîëó÷èì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó. Ìàòðèöó A 1-1 íàçûâàþò î á ð à ò í î é ì à ò ð è ö å é A1. Óìíîæèì ïåðâîå ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ñëåâà íà A 1-1 , òîãäà~~ ~~~A 1–1A 1i 1 = 1i 1 = i 1 = -A 1–1A 2 i 2 = -D 2 i 2 ,ò. å. D 2 = A 1–1A 2 , îòêóäà òàêæå ñëåäóåò, ÷òî -F t = A 1–1A 2 .Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ âàæíû â òîì ñìûñëå, ÷òî îíè ïîçâîëÿþò ïî ìàòðèöåñîåäèíåíèé ïóòåì ìàòðè÷íûõ îïåðàöèé ñîñòàâëÿòü ìàòðèöû êîíòóðîâ è ñå÷åíèé, ÷òî èñêëþ÷èòåëüíî âàæíî ïðè èñïîëüçîâàíèè âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèí, ðàñ÷åòû íàêîòîðûõ òðåáóþò ôîðìàëèçàöèè ïðîöåäóðû ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Äëÿ ãðàôà ñõåìû âñåãäà ñóùåñòâóåò ïîäìàòðèöà D2, ïîýòîìóèç ðàâåíñòâà D 2 = A 1–1A 2 è ñóùåñòâîâàíèÿ A2âûòåêàåò è ñóùåñòâîâàíèå îáðàòíîé ìàòðèöûA 1-1 .Ìîæíî ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A1 ñóùåñòâóåò âñåãäà è, áîëåå òîãî, îí ðàâåí ±1.
Ðàçëîæèì îïðåäåëèòåëü ïî ýëåìåíòàìíåêîòîðîé ñòðîêè (èëè ñòîëáöà).  îïðåäåëèòåÐèñ. 3.31ëå A1 âñåãäà ìîæíî íàéòè ñòðîêó, ãäå èìååòñÿòîëüêî îäèí íåíóëåâîé ýëåìåíò, òàê êàê â äåðåâå ãðàôà ñõåìû ìîæíî íàéòè âåòâü, êîòîðàÿ çàêàí÷èâàåòñÿ íà òîì óçëå, êîòîðûéâ êà÷åñòâå ëèøíåãî èñêëþ÷åí èç ðàññìîòðåíèÿ (òàêîé èñêëþ÷åííûé óçåë, êàêïðàâèëî, íàçûâàþò áàçèñíûì). Ïðè ðàçëîæåíèè ïîëó÷èì äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ïðîèçâåäåíèå ±1 è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ A1. Ìèíîð îïðåäåëèòåëÿ A1 ñîîòâåòñòâóåòäåðåâó, èç êîòîðîãî èñêëþ÷åíû îäèí óçåë è îäíà âåòâü. Ïîýòîìó äëÿ îñòàâøåéñÿ÷àñòè äåðåâà, à ñëåäîâàòåëüíî, è ìèíîðà îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû A1 ìîãóò áûòüïðèìåíåíû òå æå ñàìûå ðàññóæäåíèÿ, ÷òî è ðàíåå äëÿ ìàòðèöû A1.
Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A1 áóäåò ñîñòîÿòü èç ïðîèçâåäåíèÿ (q – 1) ýëåìåíòîâ±1, ò. å. áóäåò ðàâåí ëèáî +1, ëèáî –1.3.17. Ïîëíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé.Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ ïðîöåññîââ öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìèÇàêîíû Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê ãðàôó ñõåìû èëè ýëåêòðè÷åñêîé öåïè õàðàêòåðèçóþò ñèñòåìó â öåëîì áåç ó÷åòà õàðàêòåðèñòèê åå ýëåìåíòîâ. Ìàòðè÷íûåóðàâíåíèÿAi = -AÁ (èëè Di = -DÁ ) è Cu = Ceîïðåäåëÿþò ñèñòåìó èç p îòäåëüíûõ óðàâíåíèé. Òàêàÿ ñèñòåìà íåäîñòàòî÷íà äëÿîïèñàíèÿ ïðîöåññîâ â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, òàê êàê íå èçâåñòíû p òîêîâ è p íàïðÿæåíèé.×òîáû äîïîëíèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé, íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü (èëè çàäàòü)åùå p óðàâíåíèé. Ýòè óðàâíåíèÿ äîëæíû îòðàæàòü ñâîéñòâà ýëåìåíòîâ ñèñòå-172×àñòü 1.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèìû — âåòâåé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Î÷åâèäíî, ÷òî òàêèå ñâÿçè äîëæíû áûòü çàïèñàíû äëÿ ð âåòâåé öåïè.  ìàòðè÷íîé ôîðìå çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â âèäåi = f(u)ò. å.i1èëèf1 (u1 , K , u p ). . . . . . . .i= M = . . . . . . . .. . . . . . . .ipf p (u1 , K , u p )u = j ( i ),j1 (i1 , K , i p )èëè. . . . . . . .u1u= M = . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
