Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 40
Текст из файла (страница 40)
3.23) èìååì111~A i = 2 –132345611~i1~i2–1–1–1´~i3~i4~i5~i1 –1(3´6)~i + ~i - ~i136~~~= -i 1 + i 2 - i 4-~i + ~i - ~i34(3´1)650=0= 0.0(3´1)(6´1)~Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ Ai îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿóçëà ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèå~i = i + Á ,kkkãäå ik — òîê â ïàññèâíûõ ýëåìåíòàõ âåòâè k, à Ák — òîê èñòî÷íèêà òîêà â âåòâè k,åñëè ik è Ák íàïðàâëåíû îò îäíîãî è òîãî æå óçëà (ñì. ðèñ. 3.26).Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü ñèñòåìû óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôàäëÿ òîêîâ â ýëåìåíòàõ âåòâåé ñõåìû áóäåò èìåòü âèä~Ai = Ai + AÁ = 0,ãäå~i1i10Á1~i= M ; i= M ;Á= M ; 0 = M .~ipip0Áp( p ´1)( p ´1)( p ´1)Ýòî óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü òàêæå â âèäå( q -1) ´1Ãëàâà 3.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåépåaAi = -AÁ èëèk =1pi = -å a jk Á k ,jk kk =1163j = 1 K ( q - 1). òàêîé ôîðìå çàïèñè ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà èñòî÷íèêè òîêà ñïåöèàëüíîâûäåëåíû.3.14. Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ öåïè. Ìàòðèöà êîíòóðîâÏðèìåíÿÿ âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, ìîæíî ñîñòàâèòü ñòîëüêî óðàâíåíèé, ñêîëüêî èìååòñÿ êîíòóðîâ â öåïè. Îäíàêî ïðè ýòîì îäíè óðàâíåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿñëåäñòâèÿìè äðóãèõ. Íåçàâèñèìîñòü óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ, èëè, êàê ãîâîðÿò,íåçàâèñèìîñòü êîíòóðîâ, áóäåò îáåñïå÷åíà, åñëè ýòè êîíòóðû âûáèðàòü òàê, ÷òîáû êàæäûé ïîñëåäóþùèé îòëè÷àëñÿ îò ïðåäûäóùèõ, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíîéíîâîé âåòâüþ.
Íàèáîëåå ïðîñòî òàêîé âûáîð ìîæíî îñóùåñòâèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâàìè äåðåâà ãðàôà, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàêóþ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé, êîòîðàÿ íå îáðàçóåò êîíòóðîâ. Äîáàâëåíèå ëþáîé ñâÿçè ãðàôà ñõåìû ñîçäàåò êîíòóð, êîòîðûé îáðàçóåòñÿ îäíîé ñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà ãðàôàñõåìû.Ðèñ. 3.28Íà ðèñ. 3.28, à äîáàâëåíèå ñâÿçè 4 îáðàçóåò êîíòóð 4, êóäà âõîäÿò âåòâè äåðåâà 1 è 3. Íà ðèñ.
3.28, á äîáàâëåíèå ñâÿçè 5 îáðàçóåò êîíòóð 5, êóäà âõîäÿò âåòâèäåðåâà 1, 2 è 3. Íà ðèñ. 3.28, â äîáàâëåíèå ñâÿçè 6 îáðàçóåò êîíòóð 6, êóäà âõîäÿòâåòâè äåðåâà 1 è 2. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîíòóðîâ îïðåäåëÿåòñÿ÷èñëîì ñâÿçåé â êàæäîì ñâÿçíîì ãðàôå ñõåìû, ò. å. n = p – (q – 1).Çàïèøåì êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ãðàôà ñõåìû. Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ÷åðåç u~k . Êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ ïðîíóìåðóåì ñîãëàñíî íîìåðàìâåòâåé-ñâÿçåé. Îáõîä êîíòóðà ïðîèçâåäåì òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàïðàâëåíèåñâÿçè ñîâïàëî ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà.  êîíòóðíîå óðàâíåíèå íàïðÿæåíèå âåòâèâîéäåò ñî çíàêîì «ïëþñ», åñëè íàïðàâëåíèÿ îáõîäà è ñòðåëêè âåòâè ñîâïàäàþò,â ïðîòèâíîì ñëó÷àå íàïðÿæåíèå âîéäåò ñî çíàêîì ìèíóñ.
Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåíòîâ ñsk, ãäå s — íîìåð ñâÿçè; k —íîìåð âåòâè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñsk = 1, åñëè k-ÿ âåòâü âõîäèò â s-é êîíòóð ñîãëàñíî åãî îáõîäó; ñsk = –1, åñëè k-ÿ âåòâü âõîäèò â s-é êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà; ñsk = 0,åñëè k-ÿ âåòâü íå âõîäèò â s-é êîíòóð. Ïðè òàêîì ïîäõîäå âòîðîé çàêîí Êèðõãîôàäëÿ ãðàôà ñõåìû ìîæíî çàïèñàòü â âèäåpåck =1sku~k = 0,s = q K p.164×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÄëÿ êîíòóðà 4 (ðèñ.
3.28, à) èìååì-u~ + u~ + u~ = 0; c13441= -1, c 43 = 1, c 44 = 1.Äëÿ êîíòóðà 5 (ðèñ. 3.28, á)u~1 + u~2 - u~3 + u~5 = 0; c 51 = 1, c 52 = 1, c 53 = -1 c 55 = 1.Äëÿ êîíòóðà 6 (ðèñ. 3.28, â)u~1 + u~2 + u~6 = 0; c 61 = 1, c 62 = 1, c 66 = 1.Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ ñsk. Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè ýòîé òàáëèöûíîìåðàìè ñâÿçåé ãðàôà öåïè, à ñòîëáöû — íîìåðàìè âåòâåé ãðàôà öåïè. Òàêóþïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò ñâÿçÿì, à ñòîëáöû —âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôà ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíûíóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå, åñëè ïðè îáõîäå êîíòóðà, îáðàçîâàííîãî äàííîéñâÿçüþ è âåòâÿìè äåðåâà, âäîëü ñâÿçè âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå âõîäèò â êîíòóð,âõîäèò â êîíòóð ñîãëàñíî îáõîäó, âõîäèò â êîíòóð ïðîòèâ îáõîäà, íàçûâàþòìàòðèöåé êîíòóðîâ.Îáîçíà÷èì ìàòðèöó êîíòóðîâ áóêâîé Ñ.Ïðåäñòàâèì íàïðÿæåíèÿ âåòâåé ãðàôà ñõåìû â âèäå ìàòðèöû, ñîñòîÿùåé èçð ñòðîê è îäíîãî ñòîëáöà:u~1u~ = u~ = M .ku~pÊàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû êîíòóðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó íàïðÿæåíèé âåòâåé ãðàôà â óðàâíåíèè, çàïèñàííîì ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíóÊèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, êîòîðûé îáðàçîâàí ñâÿçüþ, íîìåð êîòîðîé îïðåäåëÿåòíîìåð ñòðîêè ìàòðèöû êîíòóðîâ.
Òàêèì îáðàçîì, ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãîóìíîæåíèÿ, êàæäîå êîíòóðíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäåu~1Ms cs1 L csk L csp ´ u~ k = c s1u~1 + . . . + c sk u~k + . . . + c sp u~pâåêòîð-ñòðîêà (1 ´ ð)M=påck =1sku~k = 0.ìàòðèöà (1 ´ 1)u~pâåêòîð-ñòîëáåö (ð ´ 1)Òàêèå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæåì çàïèñàòü äëÿ âñåõ ï ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû. ìàòðè÷íîé ôîðìå ïîëó÷åííóþ â èòîãå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäåCu~ = 0.Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ. 3.23, â) èìååìÃëàâà 3.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé124 –131C~u= 511 –16114511165u~ 1u~620- u~ 1 + u~ 3 + u~ 4~~~~u 1 + u 2 - u 3 + u 5 = 0 = 0.0u~ 1 + u~ 2 + u~ 6u~ 3´ u~ 4 =1u~ 5u~6Çäåñü êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ Cu~ îïðåäåëÿåò óðàâíåíèå äëÿñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà.Äëÿ k-é îáîáùåííîé âåòâè ñïðàâåäëèâî óðàâíåíèåu~ = u - e ,kkkãäå uk — íàïðÿæåíèå â ïàññèâíîé ÷àñòè âåòâè k, à åk — ÝÄÑ â âåòâè k, ïðè÷åì uk èåk íàïðàâëåíû ñîãëàñíî íàïðàâëåíèþ âåòâè ãðàôà.Ìàòðè÷íàÿ çàïèñü êîíòóðíûõ óðàâíåíèé äëÿ íàïðÿæåíèé è ÝÄÑ â âåòâÿõñõåìû áóäåò èìåòü âèäCu~ = Cu - Ce = 0,ãäåu~1u1e10~u= M ; u= M ; e= M ; 0= M .u~puep( p ´1)( p ´1)p( p ´1)0( n ´1)Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå è â âèäåCu = Ce èëèpåck =1skuk =påck =1skek ,s = q .
. . p.÷òî ÿâëÿåòñÿ óæå íàïèñàííûì â § 3.12 óðàâíåíèåì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî êîíòóðà öåïè.3.15. Óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèÿõ öåïè. Ìàòðèöà ñå÷åíèéÏåðâûé çàêîí Êèðõãîôà ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàí íå òîëüêî ïðèìåíèòåëüíîê îòäåëüíûì óçëàì öåïè, íî è ê ñîâîêóïíîñòè óçëîâ.  ýòîì ñëó÷àå ïîâåðõíîñòü,äëÿ êîòîðîé çàïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåò J ds = å ik= 0,áóäåò îõâàòûâàòü ñîâîêóïíîñòü óçëîâ è ðàññå÷åò (ðàçðåæåò) öåïü èëè ãðàô ñõåìû íà äâå ÷àñòè. Ñå÷åíèÿ íà ðèñóíêàõ îáîçíà÷èì øòðèõîâûìè çàìêíóòûìè ëèíèÿìè, ïðåäñòàâëÿþùèìè ñîáîé ñëåäû çàìêíóòûõ ïîâåðõíîñòåé. Íà ðèñ.
3.27è 3.30 øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû ñëåäû òàêèõ ïîâåðõíîñòåé. Ñå÷åíèéâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èëè â ãðàôå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ìîæåò áûòü ìíîæåñòâî.Êàæäîìó ñå÷åíèþ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü îäíî óðàâíåíèå, âûðàæàþùåå ðàâåíñòâî íóëþ ñóììû òîêîâ âåòâåé, ðàññåêàåìûõ äàííûì ñå÷åíèåì.166×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÐàíåå ìû âûÿñíèëè, ÷òî ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà, ðàâíî q – 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé äëÿñå÷åíèé òàêæå äîëæíî áûòü ðàâíî q – 1, òàê êàê êàæäîå óðàâíåíèå äëÿ ñå÷åíèÿìîæåò áûòü ïîëó÷åíî ñóììèðîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ óðàâíåíèé äëÿóçëîâ, îõâà÷åííûõ ñå÷åíèåì. ×òîáû óïðîñòèòü âûáîð ñå÷åíèé, öåëåñîîáðàçíîïðîâîäèòü èõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êàæäîå ñå÷åíèå ðàçðåçàëî òîëüêî îäíó âåòâüäåðåâà. Ïðè ýòîì ÷èñëî ñå÷åíèé áóäåò ðàâíî ÷èñëó âåòâåé äåðåâà.
Óñëîâèìñÿ íóìåðîâàòü ñå÷åíèÿ íîìåðàìè âåòâåé äåðåâà. Óñëîâèìñÿ òàêæå òåðìèí íàïðàâëåíèå âåòâè ïðèìåíÿòü â êà÷åñòâå ñèíîíèìà òåðìèíà íàïðàâëåíèå òîêà â âåòâè.Íàïðàâèì íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè ñå÷åíèÿ âíóòðü èëè íàðóæó â çàâèñèìîñòè îòíàïðàâëåíèÿ âåòâè äåðåâà. Òîãäà â óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ â ñå÷åíèè òîê âåòâè äåðåâà è òîêè âåòâåé, îðèåíòèðîâàííûå ïî îòíîøåíèþ ê ñå÷åíèþ òàê æå, êàê è òîêâåòâè äåðåâà, âîéäóò ñî çíàêîì «ïëþñ». Âñå îñòàëüíûå òîêè âîéäóò â óðàâíåíèåñî çíàêîì «ìèíóñ».
Òîêè âåòâåé, íå ðàçðåçàåìûõ ñå÷åíèåì, íå âîéäóò â óðàâíåíèå. Ó÷òåì ýòî îáñòîÿòåëüñòâî â çàïèñè óðàâíåíèé ââåäåíèåì êîýôôèöèåíòîâ dmk, ãäå m — íîìåð âåòâè äåðåâà, îïðåäåëÿþùèé íîìåð ñå÷åíèÿ; k — íîìåðâåòâè. Ïðè÷åì dmk = ±1, åñëè k-ÿ âåòâü ðàçðåçàåòñÿ m-ì ñå÷åíèåì, è dmk = 0, åñëèk-ÿ âåòâü íå âõîäèò â m-å ñå÷åíèå. Òîãäà óðàâíåíèå äëÿ òîêîâ ñå÷åíèé ìîæíî çàïèñàòü â âèäåpådk =1~i = 0,mk km = 1 .
. . ( q - 1).Äëÿ ãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.29, äëÿ ñå÷åíèÿ 1, ãäå òîê ~i1 âûõîäèò èç ñå÷åíèÿ, èìååì~i + ~i - ~i - ~i = 0; d = 1, d = 1, d = -1, d = -1.145611141516Äëÿ ñå÷åíèÿ 2, ãäå òîê ~i âõîäèò â ñå÷åíèå,2~i - ~i - ~i = 0; d = 1, d = -1, d = -1.256222526Äëÿ ñå÷åíèÿ 3, ãäå òîê ~i3 âõîäèò â ñå÷åíèå,~i - ~i + ~i = 0; d = 1, d = -1, d = 1.345333435Ñîñòàâèì òàáëèöó èç êîýôôèöèåíòîâ dmk.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
