Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 38
Текст из файла (страница 38)
3.19, à). Ôîðìàëüíî âñå ýòè òî÷êè òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü óçëàìèñõåìû. Îñîáåííîñòü òàêèõ ìíèìûõ óçëîâ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ñîåäèíåíûó÷àñòêàìè öåïè, ãäå ïðîòåêàþò òîêè è íåò íàïðÿæåíèé, òàê êàê ñîïðîòèâëåíèåòàêèõ ó÷àñòêîâ ñ÷èòàåì ðàâíûì íóëþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîòåíöèàëû òàêèõ óçëîâðàâíû, è èõ ìîæíî èçîáðàçèòü îäíèì óçëîì, íåñêîëüêî âèäîèçìåíèâ ñõåìó. Íàðèñ. 3.19, à ìîæíî îáúåäèíèòü óçëû à, b, ñ â îäèí, b¢, à¢, ñ¢ — â äðóãîé è d, å, f, g —â òðåòèé (ðèñ.
3.21).×òîáû ñäåëàòü áîëåå íàãëÿäíûì èçîáðàæåíèå âçàèìíûõ ñîåäèíåíèé âåòâåéñõåìû, öåëåñîîáðàçíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå òàêîå èçîáðàæåíèå ñõåìû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êîòîðîì âåòâè ñõåìû ïðåäñòàâëåíû îòðåçêàìè — âåòâÿìè ãðàôà,à óçëû — òî÷êàìè — óçëàìè ãðàôà. Òàêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ñõåìûýëåêòðè÷åñêîé öåïè íîñèò íàçâàíèå ã ð à ô à ý ë å ê ò ð è ÷ å ñ ê î é ñ õ å ì û èëèêîðî÷å — ã ð à ô à ñ õ å ì û.Çàìåòèì, ÷òî íà òîïîëîãè÷åñêîé ñõåìå èñòî÷íèêè ÝÄÑ è òîêà íå èçîáðàæàþòñÿ. Ïðè ýòîì âåòâü ñ èñòî÷íèêîì ÝÄÑ ñîõðàíÿåòñÿ. Âåòâè æå ñ èäåàëüíûìèèñòî÷íèêàìè òîêà âîîáùå íå âõîäÿò â òîïîëîãè÷åñêóþ ñõåìó, òàê êàê âíóòðåííÿÿ ïðîâîäèìîñòü òàêèõ èñòî÷íèêîâ ðàâíà íóëþ è, ñîîòâåòñòâåííî, ñîïðîòèâëåíèå òàêèõ âåòâåé ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè.Ãðàô, ìåæäó ëþáîé ïàðîé óçëîâ êîòîðîãî èìååòñÿ âåòâü èëè ñîâîêóïíîñòüâåòâåé, íàçûâàþò ñ â ÿ ç í û ì.Åñëè íà ãðàôå èìååòñÿ óêàçàíèå óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûõ íàïðàâëåíèé òîêîâèëè íàïðÿæåíèé â âèäå îòðåçêîâ ñî ñòðåëêàìè, òî òàêîé ãðàô íàçûâàþò í à ï ð à â ë å í í û ì ã ð à ô î ì ñ õ å ì û.154×àñòü 1.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÐèñ. 3.21Íàïðàâëåííûé ãðàô ñõåìû (ðèñ. 3.21, à) ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 3.21, á. Ìîæíîçàìåòèòü, ÷òî âñëåäñòâèå îñîáåííîñòè ó÷åòà ÝÄÑ âçàèìíîé èíäóêöèè ãðàô ñõåìû (ðèñ. 3.21, à) ðàñïàäàåòñÿ íà òðè ðàçäåëüíûå, ò. å. íåñâÿçàííûå, ÷àñòè.Óñëîâèìñÿ âïðåäü íà ãðàôå ñõåìû óçëû íóìåðîâàòü ÷èñëàìè â êðóæêàõ, ñòîÿùèõ ó ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâ, à âåòâè — ÷èñëàìè áåç êðóæêîâ. Íà ãðàôå ñõåìû(ðèñ. 3.21, á) èìååì 7 óçëîâ è 14 âåòâåé.Âàæíûì òîïîëîãè÷åñêèì ïîíÿòèåì ãðàôà ñõåìû ÿâëÿåòñÿ ä å ð å â î ã ð à ô àñ õ å ì û, ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé ëþáóþ ñîâîêóïíîñòü âåòâåé ãðàôà, ñîåäèíÿþùèõ âñå óçëû ãðàôà áåç îáðàçîâàíèÿ êîíòóðîâ.
Îäèí è òîò æå ãðàô ñõåìû ìîæåòèìåòü ðàçëè÷íûå äåðåâüÿ. Óñëîâèìñÿ âåòâè ãðàôà ñõåìû, îáðàçóþùèå äåðåâî,èçîáðàæàòü æèðíûìè ëèíèÿìè.Âåòâè, äîïîëíÿþùèå äåðåâî ãðàôà äî ïîëíîãî ãðàôà è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ïðèíàäëåæàùèå äåðåâó ãðàôà, ïðèíÿòî íàçûâàòü ñ â ÿ ç ÿ ì è ã ð à ô à ñ õ å ì û. Óñëîâèìñÿ òàêèå âåòâè èçîáðàæàòü ïóíêòèðíûìè, ëèáî òîíêèìè ëèíèÿìè.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîìó äåðåâó ãðàôà ñõåìû ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñîâîêóïíîñòü ñâÿçåéãðàôà ñõåìû, íàçûâàåìàÿ êî-ãðàôîì ñõåìû, èëè äîïîëíÿþùèì ãðàôîì ñõåìû.Íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà ðèñ. 3.22, á â äîïîëíÿþùèé ãðàô âîéäóò âåòâè (ñâÿçè ãðàôà), ñîåäèíÿþùèå óçëû ab, bf, fd, da, fa è bd. Íà ðèñ. 3.21, â âûäåëåíî îäíî èçìíîæåñòâà âîçìîæíûõ äåðåâüåâ ãðàôà ñõåìû.Íà ðèñ. 3.22 ïðèâåäåíû ýëåêòðè÷åñêàÿ ñõåìà (à) è ãðàô ýòîé ñõåìû ñ äâóìÿðàçëè÷íûìè äåðåâüÿìè ãðàôà ñõåìû (á è â).Åñëè ñâÿçíûé ãðàô èìååò p âåòâåé è q óçëîâ, òî â åãî äåðåâå áóäåò q – 1 âåòâåé, à ÷èñëî ñâÿçåé îêàæåòñÿ ðàâíûì n = p – (q – 1). Ýòè óòâåðæäåíèÿ âûòåêàþòÃëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé155èç ñàìèõ îïðåäåëåíèé äåðåâà è ñâÿçåé ãðàôà ñõåìû, òàê êàê q óçëîâ ñõåìû ìîãóòáûòü ñîåäèíåíû ìèíèìóì q – 1 âåòâÿìè äåðåâà, à ê ñâÿçÿì îòíåñåíû âñå îñòàëüíûå p – ( q – 1) âåòâåé ãðàôà ñõåìû.
Íàïðèìåð, â îòäåëüíûõ ÷àñòÿõ íåñâÿçíîãîãðàôà ñõåìû, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 3.21, â, èìååì: â ëåâîé ÷àñòè ãðàôà p = 2,q = 2, n = 2 – (2 – 1) = 1; â ñðåäíåé ÷àñòè p = 8, q = 3, n = 8 – (3 – 1) = 6; â ïðàâîé÷àñòè p = 4, q = 2, n = 4 – (2 – 1) = 3.Çàìåòèì, ÷òî ýòèõ ñîîòíîøåíèé íåò äëÿãðàôà ñõåìû â öåëîì. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿâñåãî ãðàôà ñõåìû èìååì p = 14, q = 7 èn = 14 – (7 – 1) = 8, â òî âðåìÿ êàê ÷èñëî ñâÿçåé ðàâíî 1 + 6 + 3 = 10. Äëÿ íå ñâÿçàííûõ âòîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå (îäíàêî ñâÿçàííûõýëåêòðîìàãíèòíûìè èëè äðóãèìè ÿâëåíèÿìè) ãðàôîâ ñõåìû ÷èñëî ñâÿçåé ðàâíîn = p – (q – 1) + N – 1 = p – q + N, ãäå N — ÷èñÐèñ.
3.22ëî îòäåëüíûõ òîïîëîãè÷åñêè íå ñâÿçàííûõ÷àñòåé ãðàôà ñõåìû.  äàííîì ñëó÷àå N = 3, è ïîýòîìó n = 14 – (7 – 1) + 3 – 1 = 10.Äëÿ ñõåìû ðèñ. 3.22 èìååì p = 10, q = 5 è n = 6.3.11. Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèéÈçîáðàæåíèå ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû ãðàôîì ñõåìû äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâèòü èõ â âèäå íåêîòîðîé òàáëèöû. Ñîñòàâèì ýòó òàáëèöó ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ðàçäåëèì òàáëèöó ïî ãîðèçîíòàëè íà q ñòðîê ñîãëàñíî ÷èñëó óçëîâ ãðàôà.
Ðàçäåëèì òàáëèöó ïî âåðòèêàëè íà ð ñòîëáöîâ ñîãëàñíî ÷èñëó âåòâåé ãðàôà ñõåìû.Ïðîíóìåðóåì ñòðîêè òàáëèöû ñîãëàñíî íîìåðàì óçëîâ, à ñòîëáöû — ñîãëàñíîíîìåðàì âåòâåé. Óñëîâèìñÿ íóìåðîâàòü ÿ÷åéêè ýòîé òàáëèöû äâîéíûì èíäåêñîì (j, k). Çäåñü è âïðåäü ïåðâûé èíäåêñ óêàçûâàåò íîìåð ñòðîêè òàáëèöû, à âòîðîé — íîìåð ñòîëáöà. Çàïîëíèì ýòó òàáëèöó, ñîáëþäàÿ ñëåäóþùèå ïðàâèëà.
Çàïèøåì â ÿ÷åéêó jk âåëè÷èíó +1, åñëè k-ÿ âåòâü ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì è ñòðåëêàâåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà îò j-ãî óçëà. Çàïèøåì â ÿ÷åéêó jk âåëè÷èíó –1, åñëè k-ÿâåòâü ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì è ñòðåëêà âåòâè ãðàôà íàïðàâëåíà ê j-ìó óçëó. ß÷åéêó jk îñòàâèì ïóñòîé (óñëîâíî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ïóñòûå ÿ÷åéêè çàïîëíåíûíóëÿìè), åñëè k-ÿ âåòâü íå ñîåäèíåíà ñ j-ì óçëîì. Ïðè ñîáëþäåíèè ýòèõ ïðàâèëäëÿ ñõåìû, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 3.23, à, òàáëèöà åå ãðàôà (ðèñ. 3.23, á, â) áóäåòèìåòü âèäÂåòâè1Óçëû1212 –14511–16–1–1–13431–111156×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÐèñ. 3.23Íîìåðà ñòðîê, íàáðàííûå ïîëóæèðíûì øðèôòîì, ñîîòâåòñòâóþò íîìåðàìóçëîâ.Îòìåòèì íåêîòîðûå õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ýòîé òàáëèöû.
 êàæäîìñòîëáöå ìîãóò áûòü òîëüêî äâå íåíóëåâûå (íå ïóñòûå) ÿ÷åéêè, òàê êàê êàæäàÿâåòâü ìîæåò áûòü ñîåäèíåíà òîëüêî ñ äâóìÿ óçëàìè. Ñóììà ÷èñåë ÿ÷ååê êàæäîãîñòîëáöà ðàâíà íóëþ, òàê êàê ñòðåëêà êàæäîé âåòâè áóäåò íàïðàâëåíà îò îäíîãîóçëà ê äðóãîìó è, ñëåäîâàòåëüíî, â îäíîé ÿ÷åéêå áóäåì èìåòü +1, à â äðóãîé —îáÿçàòåëüíî –1. Èìåÿ â âèäó ýòî îáñòîÿòåëüñòâî, ìîæíî çàïîëíèòü òîëüêî q – 1ñòðîê òàáëèöû, òàê êàê q-ÿ ñòðîêà âñåãäà ìîæåò áûòü âîññòàíîâëåíà òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñóììà ÷èñåë êàæäîãî ñòîëáöà ñòàëà ðàâíîé íóëþ. Òàáëèöå ñîåäèíåíèé ìîæíî ïðèäàòü ñìûñë ìàòåìàòè÷åñêîé âåëè÷èíû — ìàòðèöû.Íàçîâåì ìàòðèöåé óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ïðÿìîóãîëüíóþ ìàòðèöó, ñòðîêè êîòîðîé ñîîòâåòñòâóþò óçëàì áåç îäíîãî, à ñòîëáöû — âåòâÿì íàïðàâëåííîãî ãðàôàýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû, ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, åäèíèöå èëè ìèíóñ åäèíèöå,åñëè äàííàÿ âåòâü, ñîîòâåòñòâåííî, íå ñîåäèíåíà ñ äàííûì óçëîì, íàïðàâëåíà îòäàííîãî óçëà, íàïðàâëåíà ê äàííîìó óçëó.Îáîçíà÷èì ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé æèðíîé áóêâîé À.
Äëÿ ãðàôà ñõåìû(ðèñ. 3.23) èìååì1 01 0 0 -1A = a jk = -1 1 0 -1 0 0 =0 0 -1 1 -1 01134511= 2 –1321–1–1–161q – 1 ñòðîê–1p ñòîëáöîâÃëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé157Ìàòðèöà óçëîâûõ ñîåäèíåíèé èìååò ïîðÿäîê (q – 1) ´ ð, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ ÷èñëîì ñòðîê ìàòðèöû (q – 1) è ÷èñëîì ñòîëáöîâ ìàòðèöû (p).
Óñëîâíóþ çàïèñü (q – 1) ´ ð íå ñëåäóåò ïóòàòü ñ óìíîæåíèåì ÷èñåë. Íàïðèìåð, ïîðÿäîê ìàòðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) ðàâåí 3 ´ 6, íî íå ðàâåí 3 × 6 == 18. Ýëåìåíòû ìàòðèöû îáîçíà÷èì áóêâîé àjk. Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû À, èìååì àjk = 1, èëè àjk = –1, èëè àjk = 0.Åñëè ïðè ïîñòðîåíèè òàáëèöû ñîåäèíåíèé ñòðîêàì ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèåâåòâè ãðàôà ñõåìû, à ñòîëáöàì — óçëû, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òàêîé òàáëèöå ìàòðèöà áóäåò ò ð à í ñ ï î í è ð î â à í í î é ì à ò ð è ö å é À.
Îáîçíà÷èì òàêóþ òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó ÷åðåç Àt. Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ðèñ. 3.23) èìååìAt = ||ajk||t =1–101010210–10–1100–15–1006=3121–13114–1–11–1–13.12. Çàêîíû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÏðè ðàñ÷åòå ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé èñïîëüçóþòñÿ äâà çàêîíà Êèðõãîôà. Ðàññìîòðèì èõ â ïðèìåíåíèè ê öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.Ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà, èëè çàêîí Êèðõãîôà äëÿ óçëîâ, ïðèìåíèòåëüíî ê óçëàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè âûòåêàåò èç ïðèíöèïà íåïðåðûâíîñòè ýëåêòðè÷åñêîãîòîêà (ñì.
§ 1.7). Îõâàòèì óçåë öåïè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòüþ s (ðèñ. 3.24).  ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòûìè äîïóùåíèÿìè âñÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ åìêîñòü â öåïè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîñðåäîòî÷åííîéâ êîíäåíñàòîðàõ, âêëþ÷åííûõ â öåïü. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ïðåíåáðåæåíèþ òîêàìè ýëåêòðè÷åñêîãî ñìåùåíèÿ, îòõîäÿùèìè îò ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ê äðóãèì ó÷àñòêàì öåïè.
Òàêèì îáðàçîì, ñêâîçü çàìêíóòóþ ïîâåðõíîñòü s ïðîõîäÿò òîëüêî òîêèïðîâîäèìîñòè â ïðîâîäíèêàõ, ïåðåñåêàþùèõ ýòó ïîâåðõíîñòü.Ñîãëàñíî ïðèíöèïó íåïðåðûâíîñòè òîêà, â äàííîì ñëó÷àå ïîëóÐèñ. 3.24÷àåìò J ds = i1 + i2 + i3 = 0.sÏðè ëþáîì ÷èñëå ï âåòâåé, ïðèñîåäèíåííûõ ê óçëó öåïè, èìååìnåik =1k= 0,ò. å. ñóììà òîêîâ, ðàñõîäÿùèõñÿ îò óçëà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, ðàâíà íóëþ, ÷òîè ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëèðîâêîé ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà.158×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèÏðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèé ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà íåîáõîäèìîçàäàòüñÿ óñëîâíî-ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ, îáîçíà÷èâ èõ íà ñõåìå ñòðåëêàìè.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
