Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 39
Текст из файла (страница 39)
 ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ñëåäóåòñòàâèòü çíàê «ïëþñ» ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè òîêîâ,ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ïðèíÿòî îò óçëà, è çíàê«ìèíóñ» ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè òîêîâ, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå êîòîðûõ ïðèíÿòî ê óçëó. Äëÿ ñëó÷àÿ íàðèñ. 3.24 ïåðåä âñåìè òîêàìè â óðàâíåíèè ñëåäóåò ïîñòàâèòüçíàê «ïëþñ», êàê ýòî íàïèñàíî âûøå.
 ñëó÷àå æå, ïðåäñòàâëåíÐèñ. 3.25íîì íà ðèñ. 3.25, ñëåäóåò ïèñàòü– i1 + i2 + i3 = 0.Åñëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà áóäåò ïîëó÷åíî äëÿ íåêîòîðîãî òîêà â íåêîòîðûéìîìåíò âðåìåíè ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî (ik > 0), òî ýòî çíà÷èò, ÷òî òîê èìååò â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè äåéñòâèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ñîãëàñíî ñòðåëêå. Åñëè æå áóäåò ïîëó÷åíî ik < 0, òî ýòîò òîê â äåéñòâèòåëüíîñòè íàïðàâëåí ïðîòèâ ñòðåëêè.Âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà, èëè çàêîí Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðîâ, ïðèìåíÿåòñÿê êîíòóðàì ýëåêòðè÷åñêîé öåïè. Îí âûòåêàåò èç ïîëó÷åííîãî â § 1.12 ñîîòíîøåíèÿò E dl = ò Eèíädl + ò E ñòîð dl.Âåëè÷èíà ò E ñòîð dl ðàâíà ñóììå ÝÄÑ å eñòîð èñòî÷íèêîâ ñòîðîííèõ ÝÄÑ, äåé-ñòâóþùèõ â êîíòóðå.
Âåëè÷èíàòEèíädl âêëþ÷àåò â ñåáÿ âñå èíäóöèðîâàííûå âêîíòóðå ÝÄÑ — êàê ÝÄÑ ãåíåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ íà ïðèíöèïå ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè, òàê è ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè, èíäóöèðóådiìûõ â êàòóøêàõ, âêëþ÷åííûõ â êîíòóð. Íàïðèìåð, äëÿ êàòóøêè eL = -L . Åñëèdtóñëîâèòüñÿ ñïðàâà â âåëè÷èíó ò E èíä dl âêëþ÷àòü òîëüêî ñóììó å eèíä ÝÄÑ ãåíå-ðàòîðîâ, ðàññìàòðèâàåìûõ êàê èñòî÷íèêè ýíåðãèè, òî ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè è âçàèìíîé èíäóêöèè, èíäóöèðóåìûå â êàòóøêàõ, äîëæíû áûòü ïåðåíåñåíû â ëåâóþ÷àñòü óðàâíåíèÿ è ó÷òåíû â âåëè÷èíå ò E dl êàê ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõdi.
Ñëåâà â âåëèdt÷èíó ò E dl âõîäÿò òàêæå ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ ri íà ñîïðîòèâëåíèÿõ, âõîäÿùèõêàòóøåê. Íàïðèìåð, äëÿ êàòóøêè ñëåâà ïîÿâèòñÿ ÷ëåí u L = +Lâ êîíòóð, è ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ uC = q/Ñ íà ñîäåðæàùèõñÿ â êîíòóðå êîíäåíñàòîðàõ. Îáîçíà÷èâ ñóììó ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, äåéñòâóþùèõ âî âñåõ ï âåòâÿõ êîíòóðà, â âèäåk =nå ek =k =1k =nk =nk =1k =1å ek ñòîð + å ek èíä ,áóäåì èìåòük =nåuk =1k=k =nåe .k =1kÃëàâà 3. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé159Èòàê, âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà ãëàñèò: ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ âåòâÿõ ëþáîãî çàìêíóòîãî êîíòóðà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ðàâíà ñóììå ÝÄÑ èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè, äåéñòâóþùèõ â ýòîì êîíòóðå.Åñëè â k-é âåòâè ñîäåðæàòñÿ â îáùåì ñëó÷àå ó÷àñòîê ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì rk, êàòóøêà ñ èíäóêòèâíîñòüþ Lk è êîíäåíñàòîð ñ åìêîñòüþ Ñk (ðèñ.
3.26, à),òî ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ âäîëü âñåé ýòîé âåòâè áóäåò ñêëàäûâàòüñÿ èç ïàäåíèéíàïðÿæåíèé urk, uLk è uCk íà ýòèõ ýëåìåíòàõ, ò. å. uk = urk + uLk + uCk. Ñîãëàñíî ïîëó÷åííûì â § 3.6 âûðàæåíèÿì, äëÿ ýòèõ ïàäåíèé íàïðÿæåíèé ìîæåì íàïèñàòüu k = rk ik + L kdik qkdi1+= rk ik + L k k +dt C kdt C ktò i dt + ukCk(0).0Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ñîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äîëæíû áûòüçàäàíû ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ òîêîâ ik è ÝÄÑ ek èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè âîâñåõ âåòâÿõ. Ïîëîæèòåëüíûå íàïðàâëåíèÿ ïàäåíèé íàïðÿæåíèé uk ñ÷èòàåì ñîâïàäàþùèìè ñ ïîëîæèòåëüíûìè íàïðàâëåíèÿìè òîêîâ ik.
Âûáðàâ çàòåì íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå îáõîäà êîíòóðà, ìû äîëæíû ïðè ñîñòàâëåíèè ñóììû ïàäåíèénnk =1k =1íàïðÿæåíèé å u k è ñóììû ÝÄÑ å ek ñòàâèòü ïåðåä áóêâåííûìè îáîçíà÷åíèÿìèâåëè÷èí uk è ek çíàê «ïëþñ», åñëè ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå ýòèõ âåëè÷èí ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì îáõîäà êîíòóðà, è çíàê«ìèíóñ» — â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè âòîðîé çàêîí Êèðõãîôà ìîæåò áûòü çàïèñàí è äëÿ êîíòóðà, êîòîðûé ïðîõîäèò îò îäíîãî óçëà ê äðóãîìóÐèñ. 3.26ïî îêðóæàþùåìó ó÷àñòêè ýëåêòðè÷åñêîéöåïè ïðîñòðàíñòâó. Âñëåäñòâèå íàó÷íûõ àáñòðàêöèé, ïðèíÿòûõ ïðè ïîñòðîåíèèòåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ìû äîëæíû ïðèíÿòü âî âíèìàíèå, ÷òî â ýòîì îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå îòñóòñòâóþò ìàãíèòíûåè ñòîðîííèå ïîëÿ è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû íóëþ ÝÄÑ eñòîð è eèíä.
Ïðè òàêîì âûáîðå êîíòóðà îáõîäà ìû äîëæíû ïèñàòüò E dl = å umn = 0,ãäå umn — íàïðÿæåíèå ìåæäó óçëàìè m è ï.Çàìåòèì, ÷òî èíòåãðàë èìååò ñìûñë, åñëè ïîëàãàòü, ÷òî è â öåïÿõ ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè âî âíåøíåì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò ýëåêòðè÷åñêîåïîëå. Îäíàêî òîêè ñìåùåíèÿ è ýíåðãèÿ òàêîãî ïîëÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëûìè.Íàëè÷èå èñòî÷íèêîâ ýíåðãèè â âåòâè k (ðèñ. 3.26, á) íèêàê íå îòðàæàåòñÿ íàãðàôå ýòîé âåòâè (ðèñ. 3.26, â). Îáîçíà÷èì òîêè è íàïðÿæåíèÿ â ãðàôå âåòâè ~ik è u~k .Òîê ~ik è íàïðÿæåíèå u~k îòíîñÿòñÿ ê íåêîòîðîé îáîáùåííîé âåòâè, ñîäåðæàùåéèñòî÷íèê òîêà è èñòî÷íèê ÝÄÑ (ðèñ.
3.26, á). Ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà ïðèìåíèòåëüíî ê óçëó m¢ (èëè n¢) íà ðèñ. 3.26, á, èìååì160×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè~i = i = i + Á .kmnkkÑîãëàñíî âòîðîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ êîíòóðà, ïðîõîäÿùåãî ïî ïðîâîäíèêàì âåòâè k îò óçëà m ê n è ïî âíåøíåìó ïðîñòðàíñòâó — îò óçëà n ê m, èìååìtidu mn = u~k = u k - ek = rk ik + ( L k ik ) + ò k dt + uCk (0) - ek .dtCk0Ïîñëåäíèå âûðàæåíèÿ ñâÿçûâàþò òîêè è íàïðÿæåíèÿ â îáîáùåííûõ âåòâÿõãðàôà, èçîáðàæàåìûõ â ãðàôå ñõåìû îòðåçêàìè, ñ òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè âåòâåé è èñòî÷íèêàìè òîêà è ÝÄÑ, êîãäà òàêîâûå ñîäåðæàòñÿ â èñõîäíîé ñõåìå.Ïðè çàïèñè óðàâíåíèé ñîãëàñíî çàêîíàì Êèðõãîôà äëÿ ãðàôà ñõåìû áóäåìèìåòü â âèäó, ÷òî â ýòè óðàâíåíèÿ âîéäóò òîêè è íàïðÿæåíèÿ îáîáùåííûõ âåòâåéñõåìû öåïè. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ãðàôà ñõåìû ìîæíî íàïèñàòüpå ~ik =1k=0èpå u~k =1k=0èëèpåuk =1k=påe .k =1k3.13.
Óçëîâûå óðàâíåíèÿ äëÿ òîêîâ â öåïèÄëÿ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ q óçëàìè ìîæíî ñîñòàâèòü q óðàâíåíèé, ïðèìåíÿÿê êàæäîìó èç óçëîâ ïåðâûé çàêîí Êèðõãîôà. Îäíàêî òîëüêî q – 1 èç íèõ íåçàâèñèìû äðóã îò äðóãà. Íåçàâèñèìîñòü óðàâíåíèé äëÿ ïåðâûõ q – 1 óçëîâ âûòåêàåòèç òîãî, ÷òî âñåãäà ìîæíî óñòàíîâèòü òàêîé ïîðÿäîê âûáîðà ýòèõ óçëîâ, ïðè êîòîðîì êàæäûé ïîñëåäóþùèé óçåë áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò ïðåäûäóùèõ, ïî êðàéíåéìåðå, îäíîé íîâîé âåòâüþ. Çàìåòèì, ÷òî ñóììà ëþáûõ j (1 £ j £ q – 1) óðàâíåíèéåñòü óðàâíåíèå äëÿ òàêîé çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, êîòîðàÿ îõâàòûâàåò äàííûåj óçëîâ.
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî òîêè òåõ âåòâåé, êîòîðûå íå ïðîíèçûâàþò ïîâåðõíîñòü, íî íàõîäÿòñÿ âíóòðè çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè, âîéäóò â óðàâíåíèÿ äâàðàçà: îäèí — ñî çíàêîì «ìèíóñ», äðóãîé — ñî çíàêîì «ïëþñ». Íàïðèìåð, ñóììàóðàâíåíèé äëÿ óçëîâ 1, 2, 3, 4 è 5 ãðàôà íà ðèñ. 3.27 îïðåäåëèò ñóììó òîêîâ äëÿïîâåðõíîñòè, îõâàòûâàþùåé ýòè óçëû (øòðèõîâàÿ ëèíèÿ îáîçíà÷àåò ñëåä ýòîéïîâåðõíîñòè).Ðèñ. 3.27Åñëè ïîâåðõíîñòü îõâàòûâàåò q – 1 óçëîâ, òî ñóììà òîêîâ âåòâåé, ïðîíèçûâàþùèõ ýòó ïîâåðõíîñòü, ðàâíà ñ îáðàòíûì çíàêîì ñóììå òîêîâ äëÿ q-ão óçëà,è ïîýòîìó q-å óðàâíåíèå îêàçûâàåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäûäóùèõ q – 1 óðàâíåíèé. ñâÿçè ñ ýòèì áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî öåïü (èëè ãðàô ñõåìû) ñ q óçëàìè èìååòëèøü q – 1 íåçàâèñèìûõ óçëîâ.Ãëàâà 3.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé161 çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêèì îáðàçîì òîê â âåòâè íàïðàâëåí ïî îòíîøåíèþ êíîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè, îõâàòûâàþùåé óçåë, îí ìîæåò âõîäèòü â óðàâíåíèå ñîçíàêîì «ïëþñ» èëè «ìèíóñ». Äëÿ ó÷åòà ýòîãî îáñòîÿòåëüñòâà çàïèøåì ïåðâûéçàêîí Êèðõãîôà â âèäåpåak =1~i = 0, j = 1 K q - 1 ,( )jk kãäå ajk = ±1 èëè ajk = 0.Ïóñòü íîðìàëü ê çàìêíóòîé ïîâåðõíîñòè íàïðàâëåíà âî âíåøíåå ïðîñòðàíñòâî. Òîãäà åñëè òîê âåòâè k íàïðàâëåí îò óçëà j, òî îí âîéäåò â óðàâíåíèå ñî çíàêîì «ïëþñ», â ïðîòèâíîì ñëó÷àå — ñî çíàêîì «ìèíóñ».
 ïåðâîì ñëó÷àå ajk = 1,âî âòîðîì ajk = –1. Åñëè âåòâü k íå ñîåäèíåíà ñ äàííûì óçëîì j, òî ajk = 0.Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî âûøå, íàïðèìåð, äëÿ ãðàôà 3.27, á (ãðàô öåïè ðèñ. 3.23),ãäå q = 4, ìîæíî ñîñòàâèòü ñèñòåìó òðåõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé:äëÿ óçëà 1äëÿ óçëà 2äëÿ óçëà 3~i + ~i - ~i = 0, a = 1, a = 1, a = -1;136111316- ~i1 + ~i2 - ~i4 = 0, a21 = -1, a22 = 1, a24 = -1;- ~i3 + ~i4 - ~i5 = 0, a33 = -1, a34 = 1, a35 = -1.Çàìåòèì, ÷òî ïðàâèëà, ïî êîòîðûì îïðåäåëÿþòñÿ âåëè÷èíû ajk, ïîëíîñòüþñîâïàäàþò ñ ïðàâèëàìè, ïî êîòîðûì ðàíåå ìû ñîñòàâëÿëè ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé.Áëàãîäàðÿ åäèíîîáðàçíîìó ïîäõîäó ïðè îïðåäåëåíèè ýëåìåíòîâ ìàòðèöû ñîåäèíåíèé è êîýôôèöèåíòîâ ó òîêîâ â óðàâíåíèÿõ ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó óçëîâûõ ñîåäèíåíèé äëÿ àëãåáðàèçàöèè çàïèñè óðàâíåíèéäëÿ òîêîâ ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà.Ïðåäñòàâèì òîêè â ãðàôå ñõåìû (èëè â ñõåìå öåïè) â âèäå ìàòðèöû, ñîñòîÿùåé èç îäíîãî ñòîëáöà è ð ñòðîê:~i1~ ~i = ik = M ,~ipk = 1 K p.Òàêàÿ ñ ò î ë á ö î â à ÿ ì à ò ð è ö à ïîðÿäêà ð ´ 1 èíîãäà íàçûâàåòñÿ ð-ì å ð í û ì â å ê ò î ð î ì ïî àíàëîãèè ñ âåêòîðíîé âåëè÷èíîé, ó êîòîðîé èìååòñÿ ð ñîñòàâëÿþùèõ ïî p-êîîðäèíàòíûì íàïðàâëåíèÿì.Êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû ñîåäèíåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîýôôèöèåíòû ó òîêîâ â óðàâíåíèè, çàïèñàííîì ñîãëàñíî ïåðâîìó çàêîíó Êèðõãîôà äëÿ óçëà, íîìåðîì êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ íîìåð ñòðîêè ìàòðèöû ñîåäèíåíèé.
Òàêèì îáðàçîì,ñîãëàñíî ïðàâèëàì ìàòðè÷íîãî óìíîæåíèÿ, êàæäîå óçëîâîå óðàâíåíèå ìîæåòáûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå162×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèè~i1j aj1 L ajk L ajpM~i = a ~i + . . . + a ~i + . . . + a ~i´ k=j1 1jk kjp pM~ipâåêòîð-ñòðîêà (1 ´ ð)påak =1ìàòðèöà (1 ´ 1)~i = 0.jk kâåêòîð-ñòîëáåö (ð ´ 1)Àíàëîãè÷íûõ ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé ìîæåì çàïèñàòü q – 1 äëÿ q – 1 ñòðîêìàòðèöû óçëîâûõ ñîåäèíåíèé.  ìàòðè÷íîé ôîðìå ñèñòåìó òàêèõ óðàâíåíèéìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå~Ai = 0.Äëÿ ãðàôà ñõåìû (ñì. ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
