Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Ýòàïðîñòàÿ ôîðìóëà íå çàâèñèò îò çàêîíà èçìåíåíèÿïîòîêîñöåïëåíèÿ îò Ymax äî Ymin. Åñëè æå æåëàåìîïðåäåëèòü äåéñòâóþùóþ ÝÄÑ, òî âåëè÷èíó Eñðíåîáõîäèìî óìíîæèòü íà òàê íàçûâàåìûé ê î ý ô ô è ö è å í ò ô î ð ì û kô = E/Eñð êðèâîé ÝÄÑ:E = kô E ñð = 4kô f Ym . ÷àñòíîì ñëó÷àå, ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïîòîêîñöåïëåíèè Y = Ym sin (wt + y),ÝÄÑ èìååò âûðàæåíèåpöæe = -wYm cos (wt + y ) = wYm sin ç wt + y - ÷.2øèÈíäóöèðóåìàÿ ÝÄÑ îòñòàåò îò ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y íà óãîë p/2 (ðèñ. 4.6).Ïðè ñèíóñîèäàëüíîé ÝÄÑ êîýôôèöèåíò ôîðìûE2E mEpkô == m=» 111,E ñðp22 2è, ñîîòâåòñòâåííî, E = 4,44f Ym.Ââîäÿò â ðàññìîòðåíèå òàêæå ê î ý ô ô è ö è å í ò à ì ï ë è ò ó ä û kà = Em/E. ÷àñòíîñòè, äëÿ ñèíóñîèäû kà = 2.4.3. Èçîáðàæåíèå ñèíóñîèäàëüíûõ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèé è òîêîâñ ïîìîùüþ âðàùàþùèõñÿ âåêòîðîâ.
Âåêòîðíûå äèàãðàììûÑèíóñîèäàëüíûå ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ è òîêè, èìåþùèå óãëîâóþ ÷àñòîòó w, ìîæíîèçîáðàæàòü âåêòîðàìè, âðàùàþùèìèñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ, ðàâíîé w; ïðè÷åìäëèíà âåêòîðà îïðåäåëÿåòñÿ â ñîîòâåòñòâóþùåì ìàñøòàáå àìïëèòóäîé ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà.Íà ðèñ. 4.7 èçîáðàæåíà ñ ïîìîùüþ âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà ñèíóñîèäàëüíàÿÝÄÑ e = Em sin (wt + y). Åñëè óãîë (wt + y) îòñ÷èòûâàåòñÿ îò ãîðèçîíòàëüíîéÃëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ183îñè, òî ïðîåêöèÿ âðàùàþùåãîñÿ âåêòîðà íà âåðòèêàëüíóþ îñü ðàâíà â èçáðàííîììàñøòàáå ìãíîâåííîé ÝÄÑÏóñòü èìååì ÝÄÑ e, ðàâíóþ ñóììå ÝÄÑ e1 è e2 îäíîé è òîé æå ÷àñòîòû:e = e1 + e2 = E 1m sin(wt + y 1 ) + E 2 m sin(wt + y 2 ) = E m sin(wt + y).Èçîáðàçèì ÝÄÑ e1 è e2 âðàùàþùèìèñÿ âåêòîðàìè (ðèñ. 4.8).
Òàê êàê ïðîåêöèÿ íà ëþáóþ îñü ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììû äâóõ âåêòîðîâ ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîéñóììå èõ ïðîåêöèé íà ýòó îñü, òî ÝÄÑ e èçîáðàæàåòñÿ âðàùàþùèìñÿ âåêòîðîì,êîòîðûé ðàâåí ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ ÝÄÑ e1 è e2.Ðèñ. 4.7Ðèñ. 4.8Ðèñ. 4.9Ïðè ðàññìîòðåíèè óñòàíîâèâøèõñÿ ñèíóñîèäàëüíûõ ïðîöåññîâ íà÷àëüíóþôàçó îäíîé èç âåëè÷èí ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, íàïðèìåð íà÷àëüíóþ ôàçóÝÄÑ èëè ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâîëüíî ìîæåò áûòüðàñïîëîæåí â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè âåêòîð, èçîáðàæàþùèé ýòó âåëè÷èíó.Âåêòîðû âñåõ îñòàëüíûõ âåëè÷èí ïðè ýòîì áóäóò ïîâåðíóòû ïî îòíîøåíèþ ê íåìó íà óãëû, ðàâíûå ñäâèãàì ôàç.Ñîâîêóïíîñòü âåêòîðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ïðîöåññû, ïðîèñõîäÿùèå â òîé èëèèíîé öåïè ïåðåìåííîãî òîêà, è ïîñòðîåííûõ ñ ñîáëþäåíèåì ïðàâèëüíîé îðèåíòàöèè èõ äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà, íàçûâàþò â å ê ò î ð í î é ä è à ã ð à ì ì î é.Òàê êàê îáû÷íî ìû èíòåðåñóåìñÿ äåéñòâóþùèìè çíà÷åíèÿìè ñèíóñîèäàëüíûõ ôóíêöèé, êîòîðûå â 2 ìåíüøå èõ àìïëèòóä, òî öåëåñîîáðàçíî íà âåêòîðíîéäèàãðàììå äëèíó âåêòîðîâ âûáèðàòü ðàâíîé â èçáðàííîì ìàñøòàáå äåéñòâóþùèì ÝÄÑ, òîêàì è íàïðÿæåíèÿì.
Íàïðèìåð, íà ðèñ. 4.9 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿäèàãðàììà íàïðÿæåíèÿ u è òîêà i, ïðè÷åì òîê ñäâèíóò ïî îòíîøåíèþ ê íàïðÿæåíèþ íà óãîë j. äàëüíåéøåì âåêòîðû, èçîáðàæàþùèå ñèíóñîèäàëüíûå ôóíêöèè âðåìåíè,áóäåì îáîçíà÷àòü òåìè æå áóêâàìè, ÷òî è äåéñòâóþùèå èëè ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé, íî ñ ÷åðòîé íàä áóêâîé, â îòëè÷èå îò îáîçíà÷åíèÿ æèðíûìøðèôòîì âåêòîðîâ, èçîáðàæàþùèõ õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé.4.4. Óñòàíîâèâøèéñÿ ñèíóñîèäàëüíûé òîê â öåïèñ ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì ó÷àñòêîâ r, L è CÄèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ öåïè ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè r, L è C (ðèñ. 4.10), êàê áûëî ïîëó÷åíî â § 3.12, èìååò âèä184×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåétu = u r + u L + uC = ri + Ldi 1+i dt + uC (0).dt C ò0Îáùåå ðåøåíèå i(t) ýòîãî óðàâíåíèÿ, êàê âñÿêîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ñêëàäûâàåòñÿ èç ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ i¢(t), îïðåäåëÿåìîãî âèäîìôóíêöèè u(t), è ïîëíîãî èíòåãðàëà i²(t) îäíîðîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî, åñëè ïðèíÿòü u(t) = 0.
Êàêáóäåò ïîêàçàíî â ãë. 9, ïîñëå âêëþ÷åíèÿ öåïè ïîä äåéñòâèå íàïðÿæåíèÿ u(t) ñîñòàâëÿþùàÿ òîêà i²(t) áûñòðî çàòóõàåò, óìåíüøàÿñü äî íóëÿ ïðàêòè÷åñêè çà äîëè ñåêóíäû èëè çà íåñêîëüêîÐèñ. 4.10ñåêóíä. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè u = 0, r ¹ 0 ïðîöåññ â öåïè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî çà ñ÷åò çàïàñîâ ýíåðãèè â ïîëÿõ öåïè è áóäåò çàòóõàòü âñëåäñòâèå ðàññåÿíèÿ ýíåðãèè íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì r.Òàêèì îáðàçîì, ñïóñòÿ íåáîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè ïîñëå âêëþ÷åíèÿâ öåïè óñòàíàâëèâàåòñÿ òîê i(t), îïðåäåëÿåìûé ÷àñòíûì ðåøåíèåì i¢(t) óðàâíåíèÿ öåïè.
Âåëè÷èíà i¢(t) ÿâëÿåòñÿ ò î ê î ì ó ñ ò à í î â è â ø å ã î ñ ÿ ð å æ è ì àâ ö å ï è. Ïåðâûå ïÿòü ãëàâ íàñòîÿùåé ÷àñòè ïîñâÿùåíû èññëåäîâàíèþ óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ.Ïóñòü ïðèëîæåííîå ê öåïè íàïðÿæåíèå èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó u = Um sin (wt + yu). Ïðè ýòîì òîê óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà òàêæå áóäåò ñèíóñîèäàëüíûì ñ òîé æå ÷àñòîòîé w è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæåò áûòü âûðàæåí â âèäåi = Im sin (wt + yi) = Im sin (wt + yu – j). Çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè âåëè÷èíIm è j ïðè çàäàííûõ âåëè÷èíàõ Um, w è yu.Êàê áûëî ñêàçàíî ðàíüøå, ïðè èññëåäîâàíèè óñòàíîâèâøåãîñÿ ñèíóñîèäàëüíîãî ïðîöåññà íà÷àëüíàÿ ôàçà yu ïðèëîæåííîãî íàïðÿæåíèÿ ìîæåò áûòü âûáðàíà ïðîèçâîëüíî. Òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå îáùèì äëÿ âñåõ ó÷àñòêîâ ÿâëÿåòñÿ òîê,òî öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü yu = j, ÷òîáû íà÷àëüíàÿ ôàçà òîêà áûëà ðàâíà íóëþ,ò.
å. yi = 0. Òîãäàu = U m sin( wt + y u ) = U m sin( wt + j)Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ i è u â óðàâíåíèåèi = I m sin wt.tri + Ldi 1+i dt + uC (0) = u,dt C ò0íàéäåì11I m cos wt +I m + uC (0) = U m sin( wt + j).wCwCÒàê êàê âñå ÷ëåíû, êðîìå äâóõ ïîñëåäíèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, íå ñîäåð1Im + uC (0) = 0.æàò ïîñòîÿííûõ ñîñòàâëÿþùèõ, òîwCÝòî óðàâíåíèå äîëæíî áûòü ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè t. Ïîëàãàÿ, â ÷àñòíîñòè, wt = p/2 è wt = 0, ïîëó÷àåìrI m sin wt + wLI m cos wt -1 öærI m = U m cos j; ç wL ÷I m = U m sin j.wC øèÃëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ185Âîçâåäÿ ïåðâîå è âòîðîå ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñëîæèâ, áóäåì èìåòü2é 2 æ1 ö ù 22w+rLç÷ úI m = U m ,êwCèø úûêëîòêóäà íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó àìïëèòóäàìè òîêà è íàïðÿæåíèÿ:Um.Im =21öær 2 + ç wL ÷wC øèÏîäåëèâ îáå ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ íà 2, ïîëó÷èì àíàëîãè÷íóþ ñâÿçü ìåæäó äåéñòâóþùèìè òîêîì è íàïðÿæåíèåì:U.I =21æör 2 + ç wL ÷wC øèÊîðåíü ñëåäóåò áðàòü âñåãäà ñî çíàêîì «ïëþñ», òàê êàê àìïëèòóäû è äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà ñ÷èòàåì ïîëîæèòåëüíûìè âåëè÷èíàìè.Ïîäåëèâ âòîðîå ðàâåíñòâî íà ïåðâîå, íàõîäèìtg j =wL - 1 ( wC )r. âûðàæåíèÿõ, ñâÿçûâàþùèõ àìïëèòóäû Um è Im èëè äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿU è I íàïðÿæåíèÿ è òîêà, â çíàìåíàòåëå ñòîèò âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ðàçìåðíîñòüýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ.
Åå îáîçíà÷àþò ÷åðåç z è íàçûâàþò ï î ë í û ìñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì öåïè. Äëÿ ðàññìîòðåííîé öåïèUUz= m = =ImI21 öær + ç wL ÷ .wC øè2 îáùåì ñëó÷àå â öåïè ïåðåìåííîãî òîêà ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå z áîëüøå ñîïðîòèâëåíèÿ r è ìîæåò áûòü åìó ðàâíî òîëüêî â ÷àñòíîì ñëó÷àå. Ïðè÷èíà ýòîãîñîñòîèò â òîì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé öåïè ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå èìååò íådiòîëüêî ñîñòàâëÿþùóþ ir, íî òàêæå ñîñòàâëÿþùóþ L , ïðåîäîëåâàþùóþ ÝÄÑdtñàìîèíäóêöèè, è ñîñòàâëÿþùóþ q/C, ðàâíóþ íàïðÿæåíèþ íà êîíäåíñàòîðå.Ñîïðîòèâëåíèå r íàçûâàþò à ê ò è â í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì öåïè, òàêêàê òîëüêî èì îïðåäåëÿþòñÿ íåîáðàòèìûå àêòèâíûå ïðîöåññû â öåïè, â äàííîìñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ýíåðãèè â òåïëîâóþ. Âåëè÷èíówL – 1/(wC), ó÷èòûâàþùóþ ðåàêöèþ ñàìîèíäóêöèè è åìêîñòè è èìåþùóþ ðàçìåðíîñòü ñîïðîòèâëåíèÿ, íàçûâàþò ð å à ê ò è â í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ìöåïè è îáîçíà÷àþò x.
Ïðè ýòîì ÷ëåí wL, ó÷èòûâàþùèé ðåàêöèþ ñàìîèíäóêöèè, íàçûâàþò è í ä ó ê ò è â í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì öåïè è îáîçíà÷àþò xL,à ÷ëåí 1/(wC), ó÷èòûâàþùèé ðåàêöèþ åìêîñòè, íàçûâàþò å ì ê î ñ ò í û ì ñ î ï ð î ò è â ë å í è å ì öåïè è îáîçíà÷àþò xC.186×àñòü 2. Òåîðèÿ ëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåéÈòàê, èìååìx L = wL; xC =11; x = wL = x L - xC ;wCwC2z=1 öær + ç wL ÷ =wC øè2r2 + x2 .Çàìåòèì, ÷òî âîçðàñòàíèå xL ïðè óâåëè÷åíèè ÷àñòîòû îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òîÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ òîêà, è ñëåäîâàòåëüíî, åå àìïëèòóäà ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòû ïðèíåèçìåííîé àìïëèòóäå òîêà.
Óáûâàíèå âåëè÷èíû xC ïðèóâåëè÷åíèè ÷àñòîòû ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì òîãî, ÷òî òîêñìåùåíèÿ â êîíäåíñàòîðå ïðîïîðöèîíàëåí ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîíäåíñàòîðà è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî àìïëèòóäà ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì ÷àñòîòûïðè íåèçìåííîé àìïëèòóäå íàïðÿæåíèÿ.Ñòðóêòóðà âûðàæåíèÿ äëÿ z ìîæåò áûòü óÿñíåíà,åñëè ðàññìîòðåòü ñäâèãè ôàç íàïðÿæåíèé íà îòäåëüíûõ ó÷àñòêàõ öåïè ïî îòíîøåíèþ ê òîêó.
Ñ öåëüþ íàÐèñ. 4.11ãëÿäíîñòè ïîñòðîèì âåêòîðíóþ äèàãðàììó äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé öåïè. Çäåñü è â ïîñëåäóþùåì äèàãðàììó áóäåì ñòðîèòü äëÿäåéñòâóþùèõ âåëè÷èí. Äëÿ êðàòêîñòè âåêòîðû, èçîáðàæàþùèå òîê, íàïðÿæåíèåè ÝÄÑ, áóäåì íàçûâàòü ïðîñòî âåêòîðîì òîêà, âåêòîðîì íàïðÿæåíèÿ è âåêòîðîìÝÄÑÍàïðàâèì âåêòîð òîêà I ïî âåðòèêàëüíîé îñè (ðèñ. 4.11).Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ ñîïðîòèâëåíèåì ru r = ri = rI m sinwtñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ òîêîì, è ïîýòîìó âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿ U r íàïðàâëåíâäîëü âåêòîðà òîêà.Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ èíäóêòèâíîñòüþ LdipöæuL = L= wLI m cos wt = wLI m sinç wt + ÷dt2èøîïåðåæàåò òîê íà óãîë p/2, è âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿ U L äîëæåí áûòü ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà òîêà íà óãîë p/2 â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè.Íàïðÿæåíèå íà ó÷àñòêå ñ åìêîñòüþ Ñtq 111pöæuC = = ò i dt + uC (0) = I m cos wt =I m sinç wt - ÷2øC C0wCwCèîòñòàåò îò òîêà íà óãîë p/2, è âåêòîð ýòîãî íàïðÿæåíèÿU C äîëæåí áûòü ïîâåðíóò îòíîñèòåëüíî âåêòîðà òîêà íà óãîë p/2 â îòðèöàòåëüíîì íàïðàâëåíèè.Ñêëàäûâàÿ ãåîìåòðè÷åñêè âåêòîðû íàïðÿæåíèé íà ó÷àñòêàõ öåïèU r ,U L èU C ,ïîëó÷àåì âåêòîð íàïðÿæåíèÿU íà çàæèìàõ âñåé öåïè, êîòîðûé ñäâèíóò ïî îòíîøåíèþ ê âåêòîðó òîêà I íà óãîë j .
Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âåëè÷èíû xL = wLè xC = 1/(wC) âõîäÿò â âûðàæåíèå äëÿ ðåàêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ñ ðàçíûìèçíàêàìè, îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî íàïðÿæåíèÿ uL è uC ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíîÃëàâà 4. Ñâîéñòâà è ïàðàìåòðû öåïåé ïðè ñèíóñîèäàëüíûõ òîêàõ187äðóãà íà óãîë p è, ñëåäîâàòåëüíî, â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïðîòèâîïîëîæíûäðóã äðóãó, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, âèäíî èç âåêòîðíîé äèàãðàììû.Íàïðÿæåíèÿ ur è (uL + uC) ñäâèíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë p/2. Ïîýòîìó ïîëíîå ñîïðîòèâëåíèå öåïè z íåëüçÿ îïðåäåëÿòü ïóòåì àðèôìåòè÷åñêîãîñëîæåíèÿ r è x, à ñëåäóåò âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå z = r 2 + x 2 .Çàôèêñèðóåì îñîáî âíèìàíèå íà ñëåäóþùèõ âåñüìà âàæíûõ ðåçóëüòàòàõ:· íà ó÷àñòêå ñ àêòèâíûì ñîïðîòèâëåíèåì òîê ñîâïàäàåò ïî ôàçå ñ íàïðÿæåíèåì íà ýòîì ó÷àñòêå;· â èíäóêòèâíîé êàòóøêå òîê îòñòàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 îò íàïðÿæåíèÿíà êàòóøêå;· â êîíäåíñàòîðå òîê îïåðåæàåò ïî ôàçå íà óãîë p/2 íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõêîíäåíñàòîðà.Ðèñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
