Теоретические основы электротехники-1 (855784), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Òàê êàê â ïðåäåëàõ ñå÷åíèÿ s ìîæíî ñ÷èòàòü ìàãíèòíóþ èíäóêöèþ ïîñòîÿííîé, òî ìîæíîíàïèñàòü F = Âs. Êðîìå òîãî, íà îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî òîêà èìååìwi = ò H dl = Hl, òàê êàê H = const âäîëü ñåðäå÷íèêà. Òàêèì îáðàçîì, âûðàæåíèåäëÿ ýíåðãèè ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå Wì = BHsl/2. Âåëè÷èíà sl = V åñòüîáúåì ïðîñòðàíñòâà, çàíÿòîãî ìàãíèòíûì ïîëåì. Ñëåäîâàòåëüíî, îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ èìååò âûðàæåíèåW ì¢ =W ì BH mH 2 B 2===.222mVÄëÿ àíèçîòðîïíîé ñðåäû îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ýíåðãèè ïîëÿ äîëæíà èìåòüâûðàæåíèåBHW ì¢ =,2ãäå ÂÍ = ÂÍ cos a — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ  è Í, èìåþùèõ â îáùåìñëó÷àå â àíèçîòðîïíîé ñðåäå ðàçëè÷íûå íàïðàâëåíèÿ. Óãîë a åñòü óãîë ìåæäóâåêòîðàìè  è Í.Ïîêàæåì, ÷òî ýòî âûðàæåíèå äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè ïîëÿ ñïðàâåäëèâî â ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, êîãäà ïîëå íåîäíîðîäíîå â àíèçîòðîïíîé ñðåäå,ò.
å. ÷òî ýíåðãèÿ ïîëÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëàWì =òVÐèñ. 2.4BHdV ,2ðàñïðîñòðàíåííîãî ïî âñåìó ïîëþ.Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì ïîëå êàòóøêè,èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2.4. Ïðåäñòàâèì âñåïîëå ðàçäåëåííûì íà ýëåìåíòàðíûå òðóáêèìàãíèòíîé èíäóêöèè. Âûäåëèì â îäíîé èçòàêèõ òðóáîê ýëåìåíòàðíûé îòðåçîê äëèíîé dl. Ïóñòü ds åñòü ñå÷åíèå òðóáêè, íîð-Ãëàâà 2.
Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé83ìàëüíîå ê åå îñè.  ïðåäåëàõ áåñêîíå÷íî ìàëîãî îáúåìà dV = dsdl îòðåçêà òðóáêèïîëå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîðîäíûì. Ïîëüçóÿñü âûðàæåíèåì äëÿ îáúåìíîé ïëîòíîñòè ýíåðãèè, ïîëó÷àåì ýíåðãèþ ïîëÿ â îáúåìå dV:BH cos a dl dsBH.W ì¢ dV =dV =22Âû÷èñëèì òåïåðü ýíåðãèþ dWì â îáúåìå âñåé ýëåìåíòàðíîé òðóáêè.
Ñ ýòîéöåëüþ ïðîèíòåãðèðóåì ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå âäîëü îñè òðóáêè. Ïîòîê dF = Bdsñêâîçü ñå÷åíèå òðóáêè èìååò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå âäîëü âñåé òðóáêè è ìîæåòáûòü âûíåñåí çà çíàê èíòåãðàëà. Ïîëó÷àåìBH cos adFH cos a dl .dW ì = òdsdl =22 òllÍà îñíîâàíèè çàêîíà ïîëíîãî òîêà èìååìò H cos a dl = wi,ãäå w — ÷èñëî âèòêîâ, ñ êîòîðûìè ñöåïëÿåòñÿ äàííàÿ òðóáêà. Çàìå÷àÿ, ÷òîwdF = d Y åñòü äîëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ, âíîñèìàÿ äàííîé òðóáêîé â çíà÷åíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ âñåé öåïè, ïîëó÷àåìdFid YdW ì =wi =.22Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýíåðãèè Wì âñåãî ïîëÿ íåîáõîäèìî ïðîñóììèðîâàòü ýíåðãèèâñåõ ýëåìåíòàðíûõ òðóáîê. Âûïîëíÿÿ òàêîå ñóììèðîâàíèå, íàõîäèìiYid Y iWì = ò= ò dY =,222ò.
å. ïðèõîäèì ê âûðàæåíèþ, ïîëó÷åííîìó íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿýíåðãèè.Òàêèì îáðàçîì, ýíåðãèÿ âñåãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåãðàëà:BHWì = òdV ,2Vãäå èíòåãðèðîâàíèå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî îáúåìó âñåãî ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðîìñóùåñòâóåò ìàãíèòíîå ïîëå.2.3.
Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà çàðÿæåííûå òåëàÌåõàíè÷åñêèå ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ òî÷å÷íûõ çàðÿæåííûõ òåë ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ïðè ïîìîùè çàêîíà Êóëîíà.  ñëó÷àÿõ, êîãäà çàðÿæåííûå òåëà íåëüçÿðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íûå, íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå çàêîíà Êóëîíà íåâîçìîæíî.  îáùåì ñëó÷àå âû÷èñëåíèå ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íàäàííîå çàðÿæåííîå òåëî, ìîæåò áûòü âûïîëíåíî äîñòàòî÷íî ïðîñòî, åñëè èçâåñòíû åìêîñòè òåë èëè åìêîñòè ìåæäó òåëàìè êàê ôóíêöèè ãåîìåòðè÷åñêèõ êîîðäèíàò.Ðàíåå áûëî óêàçàíî, ÷òî åìêîñòü çàâèñèò îò äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòèñðåäû è îò ãåîìåòðè÷åñêèõ âåëè÷èí, îáîçíà÷åííûõ ÷åðåç g è îïðåäåëÿþùèõ84×àñòü 1.
Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèôîðìó, ðàçìåðû è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òåë.  äàëüíåéøåì áóäåì íàçûâàòü âåëè÷èíû g î á î á ù å í í û ì è ã å î ì å ò ð è ÷ å ñ ê è ì è ê î î ð ä è í à ò à ì è ñèñòåìû. Ýòî ìîãóò áûòü ëèíåéíûå ïåðåìåùåíèÿ òåë ïî çàäàííîìó ïóòè, ðàññòîÿíèÿìåæäó òåëàìè, óãëû ïîâîðîòà òåë âîêðóã íåêîòîðîé îñè, ïîâåðõíîñòè èëè îáúåìû òåë è ò. ä. Ïðè òàêîì îáîáùåííîì ïîíèìàíèè êîîðäèíàò g òî÷íî òàê æå è ñèëû f, ñòðåìÿùèåñÿ èçìåíèòü êîîðäèíàòû, äîëæíû ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê î á î á ù å í í û å ñ è ë û. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ îáîáùåííàÿ ñèëà f äîëæíà óäîâëåòâîðÿòüîñíîâíîìó òðåáîâàíèþ, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå ñèëû íà ïðîèçâîäèìîå åþ èçìåíåíèå êîîðäèíàòû ðàâíÿëîñü ðàáîòå, ñîâåðøàåìîé ñèëîé ïðè ýòîì èçìåíåíèè êîîðäèíàòû.
 çàâèñèìîñòè îò âûáîðà îáîáùåííîé êîîðäèíàòû g è îáîáùåííàÿñèëà ïîëó÷àåò òîò èëè èíîé ñìûñë. Òàê, åñëè g — ëèíåéíîå ïåðåìåùåíèå, òî f —îáû÷íàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà; åñëè g — óãîë ïîâîðîòà, òî f — ìîìåíò ïàðû ñèë;åñëè g — ïîâåðõíîñòü, òî f — ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå; åñëè g — îáúåì, òî f —äàâëåíèå.Íàèìåíüøåå ÷èñëî îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, íåîáõîäèìîå äëÿ îïðåäåëåíèÿïîëîæåíèÿ ñèñòåìû, ðàâíî, êàê èçâåñòíî èç ìåõàíèêè, ÷èñëó ñòåïåíåé ñâîáîäûñèñòåìû.
Òàê, äëÿ òåëà, ïåðåìåùàþùåãîñÿ ïî íåêîòîðîé íàïðàâëÿþùåé, äîñòàòî÷íî çíàòü ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîìâäîëü íàïðàâëÿþùåé îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Äëÿ îäíîãîòåëà, çàêðåïëåííîãî íà îñè, äîñòàòî÷íî çíàòü òîëüêî óãîëïîâîðîòà òåëà âîêðóã ýòîé îñè. Åñëè òåëî çàêðåïëåíî â òî÷êå, òî åãî ïîëîæåíèå ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî òðåìÿ óãëàìèïîâîðîòà, è ò.
ä. Êàæäîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ îáîáùåííàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü èìåííîÐèñ. 2.5ýòó êîîðäèíàòó.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ñèñòåìó n çàðÿæåííûõ òåë (ðèñ. 2.5). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå çàðÿæåííûå òåëà, êðîìå òåëà Ap, íåïîäâèæíî çàêðåïëåíû è òîëüêîòåëî Ap ìîæåò ïåðåìåùàòüñÿ òàê, ÷òî èçìåíÿåòñÿ îäíà åãî êîîðäèíàòà g. Ýòî èçìåíåíèå êîîðäèíàòû g ñîâåðøàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû f, ÿâëÿþùåéñÿ ðåçóëüòàòîì âçàèìîäåéñòâèÿ çàðÿæåííîãî òåëà Ap ñî âñåìè äðóãèìè çàðÿæåííûìè òåëàìè ñèñòåìû.Áóäåì èñõîäèòü èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî êàê âîçìîæíûå èçìåíåíèÿ çàðÿäîâòåë, òàê è ïåðåìåùåíèå òåëà Ap ïðîèñõîäÿò âåñüìà ìåäëåííî, òåîðåòè÷åñêè —áåñêîíå÷íî ìåäëåííî.
Ïðè ýòîì ýëåêòðè÷åñêèå òîêè, âîçíèêàþùèå íà ïîâåðõíîñòè òåë âñëåäñòâèå ïåðåðàñïðåäåëåíèÿ çàðÿäîâ, áåñêîíå÷íî ìàëû, è, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè â ïðîâîäíèêàõ îòñóòñòâóþò. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî èçìåíåíèå íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ â äèýëåêòðèêå íå ñîïðîâîæäàåòñÿ ïîòåðåé ýíåðãèè â íåì. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ ðàáîòà, çàòðà÷èâàåìàÿ âíåøíèìèèñòî÷íèêàìè ýíåðãèè íà èçìåíåíèÿ dqk çàðÿäîâ òåë, äîëæíà ïîêðûâàòü ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ è ìåõàíè÷åñêóþ ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ñèëîé f, èçìåíÿþùåé ïîëîæåíèå òåëà Ap:k= nåUk =1kdq k = d gW ý + f dg.Èíäåêñ g ó âåëè÷èíû dgWý óêàçûâàåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðèðàùåíèå ýíåðãèè,ñîîòâåòñòâóþùåå èçìåíåíèþ òîëüêî îäíîé êîîðäèíàòû g ñèñòåìû.
Ýòî óðàâíå-Ãëàâà 2. Ýíåðãèÿ è ìåõàíè÷åñêèå ïðîÿâëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé85íèå ñïðàâåäëèâî íåçàâèñèìî îò òîãî, êàêèì îáðàçîì èçìåíÿþòñÿ çàðÿäû è ïîòåíöèàëû òåëà. Îíî ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîìó íàìè ñëó÷àþ.×òîáû ïîëó÷èòü íàèáîëåå ïðîñòîå âûðàæåíèå äëÿ ñèëû f, ïðåäïîëîæèì, ÷òîçàðÿäû âñåõ òåë îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè: qk = const. Ýòî óñëîâèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè âñå òåëà îòêëþ÷åíû îò èñòî÷íèêîâ ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëû. Íî òîãäàdqk = 0 è, ñîîòâåòñòâåííî, ðàâíà íóëþ ðàáîòà âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ:k= nåUk =1 ýòîì ñëó÷àåèëèkdq k = 0.0 = ( d gW ý ) qk = constfdg = -( d gW ý ) q+ f dgk = const.(*)Îáùèé èíäåêñ qk = const ó ïðèðàùåíèÿ ýíåðãèè óêàçûâàåò, ÷òî çàðÿäû ñîõðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè.Åñëè dg åñòü ïåðåìåùåíèå, ïðîèñõîäÿùåå ïîä äåéñòâèåì ñèëû f, òî fdg > 0.Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî dgWý < 0, ò. å.
ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿóáûâàåò. Äåéñòâèòåëüíî, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ïðè îòêëþ÷åííûõ âíåøíèõ èñòî÷íèêàõ ýíåðãèè ìîæåò ñîâåðøàòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò âíóòðåííèõ çàïàñîâ ýíåðãèè â ñèñòåìå, â äàííîì ñëó÷àå çà ñ÷åò ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.Èç ðàâåíñòâà (*) ïîëó÷àåìæ d gW ýf = -çç dgèöæ ¶W ý÷= -çç÷è ¶gø qk =constö,÷÷ø qk =constò. å. ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòåìû,ðàâíà óìåíüøåíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâîäèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî çàðÿäû âñåõ òåë ñîõðàíÿþòñÿ íåèçìåííûìè.Åäèíèöåé ñèëû ÿâëÿåòñÿ íüþòîí (Í).Ðàññìîòðèì åùå äðóãîé, òàêæå âåñüìà âàæíûé ñëó÷àé, êîãäà âî âðåìÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ïîääåðæèâàþòñÿ íåèçìåííûìè ïîòåíöèàëû âñåõ òåë, ò. å.
êîãäàUk = const. Òàêîé ðåæèì èìååò ìåñòî, êîãäà âñå òåëà ïîäêëþ÷åíû ê çàæèìàìâíåøíèõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ êîòîðûõ îñòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Òàê êàê ïðè èçìåíåíèè ãåîìåòðè÷åñêîé êîíôèãóðàöèè ñèñòåìû áóäóò èçìåíÿòüñÿ åìêîñòè ìåæäó òåëàìè, òî ïðè ïîñòîÿíñòâå ïîòåíöèàëîâ òåë äîëæíûèçìåíÿòüñÿ èõ çàðÿäû. Äîïîëíèòåëüíûå çàðÿäû ìîãóò ñîîáùàòüñÿ ñèñòåìå òîëüêî îò âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ, êîòîðûå äîëæíû íà ýòî çàòðàòèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó.Òàêèì îáðàçîì, âñå ÷ëåíû óðàâíåíèÿk= nåUk =1kdq k = d gW ý + fdgòåïåðü îòëè÷íû îò íóëÿ.
Îäíàêî åñëè Uk = const è äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíèöàåìîñòè ñðåä íå çàâèñÿò îò íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ, òî ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ñîîòíîøå-86×àñòü 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è çàêîíû òåîðèèíèå ìåæäó ðàáîòîé âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ è ïðèðàùåíèåì ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ýíåðãèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ñèñòåìû çàðÿæåííûõ òåëïðè ýòîì ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà âûðàæåíèåìWý =1 k =nåU k qk ,2 k =1è, ñëåäîâàòåëüíî, åå ïðèðàùåíèå ïðè ïîñòîÿíñòâå ïîòåíöèàëîâ( d gW ý )Uk =const=1 k =nåU k dqk ,2 k =1ò.
å. â òî÷íîñòè ðàâíî ïîëîâèíå ðàáîòû âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ. Îñòàëüíàÿ ïîëîâèíà ðàáîòû âíåøíèõ èñòî÷íèêîâ èäåò íà ñîâåðøåíèå ìåõàíè÷åñêîé ðàáîòû fdg.Òàêèì îáðàçîì, ìåõàíè÷åñêàÿ ðàáîòà ðàâíà ïðèðàùåíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ:fdg = ( d gW ý )Uk = const.Åñëè â ñèñòåìå ïðîèñõîäèò ïåðåìåùåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû f, òî fdg > 0.Ïðèðàùåíèå ýíåðãèè ïðè Uk = const òàêæå îêàçûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì, è ýíåðãèÿ ïîëÿ âîçðàñòàåò.Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì åùå îäíî âûðàæåíèå äëÿ ìåõàíè÷åñêîéñèëû:æ ¶W ýf = ççè ¶gö,÷÷øUk =constò.
å. ìåõàíè÷åñêàÿ ñèëà, ñòðåìÿùàÿñÿ èçìåíèòü äàííóþ êîîðäèíàòó ñèñòåìû,ðàâíà óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, îòíåñåííîìó ê åäèíèöå ïðîèçâîäèìîãî ñèëîé èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû, â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ïîòåíöèàëû âñåõ òåëïîääåðæèâàþòñÿ ïîñòîÿííûìè.Îáà âûðàæåíèÿ äëÿ ñèëû (è ýòî íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü) òîæäåñòâåííî ðàâíû äðóã äðóãó, ò. å. ìîæíî íàïèñàòüæ ¶W ýf = -ççè ¶gæ ¶W ýö= +çç÷÷è ¶gø qk =constö.÷÷øUk =constÑèëà çàâèñèò òîëüêî îò ïîëîæåíèÿ òåë è çíà÷åíèé èõ çàðÿäîâ â äàííûé ìîìåíò è íå ìîæåò çàâèñåòü îò òîãî, êàê áóäåò ðàçâèâàòüñÿ ýíåðãåòè÷åñêèé ïðîöåññâ òîì ñëó÷àå, åñëè ñèñòåìà ïðèäåò â äâèæåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû.Ïðîäåìîíñòðèðóåì òîæäåñòâåííîñòü îáîèõ âûðàæåíèé äëÿ ñèëû f íà ïðèìåðåñèëû ïðèòÿæåíèÿ îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà. Ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðàWý =q2Cu 2=,22Cãäå u = U1 – U2 — ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îáêëàäîê êîíäåíñàòîðà. Îò êîîðäèíàòÿâíî çàâèñèò åìêîñòü Ñ êîíäåíñàòîðà.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
