1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Трехмерные объекты содержат число элементов, пропорциональное кубу линейного размера. Можно аналогичноввести размерность кластеров:N ∼ RD .Здесь R имеет смысл характерного размера кластера, а N – его массы или количества частицв нем. Оказывается, что получающаяся размерность D меньше размерности пространства и,кроме того – дробное число! Кластеры Виттена – Сандера имеют D = 1,68 на плоскости и 2,46в трехмерном пространстве.
Кластер-кластерная агрегация дает в этих случаях размерности1,44 и 1,78. Здесь размерность меньше, так как при встрече примерно одинаковых кластеровтруднее заполняются пусто́ты. Поскольку получаются разреженные структуры, достижениеданного размера требует меньшего числа частиц, чем если бы образовывались плотные объекты.Кластеры с дробной размерностью называют фрактальными, или просто фракталами11 .Сейчас осознано, что в природе фрактальные структуры встречаются на каждом шагу. Множество природных объектов (и человек: легкие, кровеносная система) в некотором диапазонеразмеров обнаруживают степенную зависимость того же вида. В некотором смысле фрактальности в природе больше, чем гладкости.
Если вернуться к кластерам, то фрактальный ростпроисходит при сильно неравновесной конденсации (молекулы ⇒ твердые малые частицы ⇒фрактальный кластер). Компактное же тело образуется при условиях вблизи равновесия фаз,например, медленный рост капли из пара.11От fraction – доля, дробь.Глава 5ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА5.1Столкновения молекул. Длина свободного пробега. Случайные блуждания.
ДиффузияИмея конечные размеры, молекулы должны сталкиваться. Оценим среднюю длину свободного пробега λ, считая молекулы твердыми шарами радиуса R. Построим цилиндр,ось которого – траектория центра молекулы, а радиус равен 2R, длина цилиндра –искомое число λ.
Если в этот цилиндр попадает центр другой молекулы, произойдетстолкновение. Среднее число попавших в цилиндр посторонних центров π · (2R)2 λ · nдолжно быть порядка 1, откудаλ11=.24πR nnσВеличина σ, которая порядка квадрата размера молекулы, называется сечением со√ударения. При учете движения других молекул λ уменьшается в 2 раз.
Нет смыслаучитывать такой коэффициент при наших оценках, тем более что реальные молекулыне похожи на твердые шары. Однако для них также имеет смысл понятие сечения и,значит, в каком-то смысле – размеров.Для типичного размера R ≈ 10−8 см и нормальных условий λ ≈ 1/(3 · 1019 · 10 ·10−16 ) ≈ 3 · 10−5 см. Ближе к истине значение 1 · 10−5 см, то есть надо увеличить σраза в 3: σ ≈ 3 · 10−15 см2 .
В таблице приведены измеренные газокинетические радиусымолекул и длины пробега при нормальных условиях.ГазR, Åλ · 105 , смHeArH2N2O2 CO21,09 1,83 1,36 1,89 1,81 2,311,72 0,63 1,13 0,58 0,64 0,39H2 O2,070,61Молекулы могут проявлять свою индивидуальность на расстояниях порядка λ. Малостьдлины свободного пробега и позволяет рассматривать газ как сплошную среду, для5.1.
Длина свободного пробега. Диффузия151чего характерные размеры задачи должны превышать λ. Время между столкновениямиλ/vT ≈ 3 · 10−10 с.Длина пробега растет с уменьшением плотности. При P ≈ 10−5 атм она станетпорядка 1 см. (Примерно такие условия должны быть между стенками термоса). Еслиλ становится порядка характерного размера объема, то говорят, что получен вакуум– молекулы летают независимо, сталкиваясь по большей части со стенками сосуда, ноне друг с другом. В порах с размерами порядка 10−5 см вакуум достигается уже приатмосферном давлении. При диффузионном разделении изотопов необходимо, чтобымолекулы независимо пролетали отверстия в пористой перегородке: если в порах онибудут сталкиваться, получатся просто струи исходного состава.
Поэтому размеры пордолжны быть не более λ.Межзвездная среда содержит около 1 атома/см3 , так что длина пробега будет порядка 1015 см. Световой год равен 3 · 107 · 3 · 1010 ≈ 1019 см, то есть с точки зрениямежзвездных расстояний такой газ – это сплошная среда. В нем могут распространяться волны, возникать струи и т.п. Но для космического аппарата и даже для объектов сразмерами, как у звезд и планет, это, конечно, вакуум.Движение молекулы в результате соударений будет хаотическим. Рассмотрим простейшую модель «пьяного моряка»: каждый следующий шаг имеет постоянную длинуλ, но случайное направление.
На шаге N + 1: RN +1 = RN + λeN +1 , где eN +1 – единичный вектор направления данного шага. Ясно, что в среднем R = 0, так как нетвыделенного направления. Но это не значит, что нет вообще никакого смещения (такоеже положение, как с тепловой скоростью молекул, тоже в среднем нулевой). Запишемсредний квадрат смещения:222RN+1 = RN + λ + 2λ(RN eN +1 ) .Последнее слагаемое при усреднении дает нуль в силу независимости (случайности)222направления eN +1 . Получаем RN+1 = RN + λ , откуда2 = N · λ2 ,RN(5.1)√√а характерное удаление от исходной точки будет λ · N .
Из N шагов только N ведутв каком-то, заранее неизвестном, направлении. При большом N это малая доля всехшагов (тысяча из миллиона).Оценим время смещения молекулы на 1 см. Это требует N ∼ 1 см/λ ≈ 105 шагов,если двигаться по прямой, а на самом деле квадрат этого числа, т.е. 1010 шагов. Времяна шаг λ/vT ≈ 3 · 10−10 с , а всего надо около 3 с. Для смещения на метр нужно будетуже 1014 шагов, или 3 · 104 с (10 часов). При свободном пролете молекуле понадобилосьбы примерно 3 мкс для 1 см и 300 мкс для 1 м.Траектория молекулы – крайне запутанная линия; как бы в клубок размера R = λ·Nсвернута нить длиной λN 2 R. Аналогично движутся броуновские частицы, которыеГлава 5.
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА152уже поддаются наблюдению. На рисунке 5.1 изображены последовательно измеренныеЖ. Перреном через t = 30 с положения трех броуновских частиц радиуса 0,52 мкм.Ширина поля зрения 68 мкм.Длина броуновской траектории N 2 λ может бытьзаписана и как λ · (R/λ)2 , откуда видно, что размерность такой линии равна 2 вместо «естественной» единицы. Это – пример фрактальной линии, хотя здесь размерность оказывается целой. Такие оценки объясняют сравнительную медленность процессовдиффузии.Другой подход состоит в рассмотрении не отдельных молекул, а целых коллективов.
Рассмотрим поток молекул через воображаемую границу в газе.Слева с расстояния λ летят молекулы в количествеj− = (1/6)n− v− через см2 в секунду. Справа будет поток j+ = −(1/6)n+ v+ . В результате суммарный потокj = (1/6) · (n− v− − n+ v+ ). В равновесии, разумеется,Рис. 5.1.поток нулевой. Пусть теперь равновесие нарушено, иконцентрация n в газе меняется. Тепловые скорости считаем одинаковыми (температура постоянна).
Тогдаn− − n+1λvT·.j = · vT (n− − n+ ) =632λВ скобках стоит производная концентрации со знаком минус. Окончательно получаемдиффузионный поток в виде∂n.(5.2)j = −D ·∂xМножитель D, в нашем шестигрупповом приближении равный λvT /3, называется коэффициентом диффузии. Его величина для воздуха около 0,15 cм2 /с. Заметим, что припостоянной температуре и переменном n будет меняться давление, что скоро вызоветтечение газа.
Наша модель применима к распространению малой примеси. Изменениядавления тогда компенсируются основным газом.Поток j стремится восстановить равновесие, он направлен в сторону уменьшенияконцентрации. При одномерной диффузии баланс молекул в слое толщиной ∆x можнозаписать в виде∂n d(n∆x)∂n = D −D .dt∂x x+∆x/2∂x x−∆x/2Переходя к дифференциальным соотношениям, получаем уравнение диффузии:∂2n∂n=D 2.∂t∂x(5.3)5.1.
Длина свободного пробега. Диффузия153В трех измерениях очевидное обобщение (5.2,5.3)∂n= Dn .∂tj = −D∇n ,(5.4)Легко проверить, что решениями уравнений (5.3,5.4) являются функцииx2NKr2exp −, n(r, t) =.n(x, t) = √exp −4Dt(4πDt)3/24Dt4πDtПодразумевается, что в пространстве N – это полное число диффундирующих атомов,а в одномерном случае K – их число на единицу поверхности, перпендикулярной осиx.
Указанные решения описывают расползание «точечного» загрязнения, в начальныймомент сосредоточенного в начале координат1 . Средний квадрат расстояния, на котороеуходят частицы примеси к моменту времени t,2∞x =−∞x22√e−x /4Dt dx = 2Dt ,4πDt2∞r =0r22e−x /4Dt 4πr 2 dr = 6Dt .3/2(4πDt)Распространение неоднородности конечного размера R через достаточно долгое время(такое, что 6Dt R2 ) также будет описываться этими решениями. Время выхода натакой режим, т.е.
время заметного размазывания неоднородности, можно оценить какR2 /D. Такого результата можно было ждать из размерности D – единственного важного параметра: [D] = см2 /с. Ту же зависимость мы уже получали при рассмотрениислучайных блужданий.Надо сказать, что диффузионное время R2 /D для метровых размеров, не говоряуже о еще бо́льших, неправдоподобно велико. Здесь надо учесть конвекцию.
Скажем,в аудитории всегда есть потоки воздуха с характерными размерами L ≈ 30 см и скоростью u около 1 м/с, вызванные шевелением студентов. Этому соответствует коэффициент «конвективной» диффузии Lu/3 ≈ 103 см2 /с, то есть на 4 порядка больше, чеммолекулярный. Тогда на 1 м примесь распространится за 10 с, на 10 м – за 1000 с, чтоуже похоже на реальность. Переносятся не молекулы, а целые объемы. Лимитирующейстадией является перемешивание на самых крупных масштабах, движением большихвихрей с размером порядка характерного размера системы. Мелкие же масштабы размешиваются в результате неустойчивости движения границ крупных масс. Еще быстреепойдет перемешивание, если есть направленная циркуляция воздуха.Диффузия возможна во всех веществах, газ выделяется только тем, что мы можемпосчитать коэффициент диффузии.
В жидкостях и твердых телах смещения частицзатруднены, и коэффициенты диффузии гораздо меньше. Но независимо от коэффициента диффузия – это медленный процесс в принципе.1Пределом указанных решений (5.3,5.4) при t = 0 являются одномерная и трехмерная дельтафункции Kδ(x) и N δ(r) соответственно.Глава 5. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА1545.2Теплопроводность и вязкостьМолекулы при движении переносят не только сами себя, а еще и свои энергию и импульс. Поток энергии через контрольную поверхность будетq=1· (n− v− ε− − n+ v+ ε+ ) .6Теплоперенос принято рассматривать отдельно от диффузии, то есть считается n− v− =n+ v+ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
