1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Энергия молекулы ε = skT /2. Выходит q = (2λvT /6) · (snk/2) · (T− − T+ )/(2λ).Аналогично задаче диффузии, получаем уравнение потока тепла:q=−λvT snk ∂T∂T··= −κ ·32∂x∂xэрг/(см2 с) .(5.5)Величина κ называется коэффициентом теплопроводности. Тепловая энергия идет, каки положено, от горячего места к холодному (что обеспечивается знаком минус). Произведение snk/2 – это теплоемкость на единицу объема, или ρCV при выражении черезобычную теплоемкость. Для воздуха κ D·5·3·1019 ·1,38·10−16 /2 = 1,6·103 эрг/(см·с·К),по справочнику 2,2·103 . У водорода больше в 7,5 раз, у гелия – в 6 раз из-за большей скорости молекул.
Правильнее рассматривать перенос не энергии, а энтальпии, с заменойсоответствующей теплоемкости. Далее предполагаем, что коэффициент κ учитываетэту поправку, а теплоемкость на единицу массы обозначаем просто C.Рассматривая баланс тепла в слое толщиной ∆x, имеемd(ρCT ∆x)∂T ∂T = κ −κ ,dt∂x x+∆x/2∂x x−∆x/2откуда аналогично (5.3) получаем уравнение диффузии для температуры, обычно называемое уравнением теплопроводности:∂2T∂T=χ 2 .∂t∂x(5.6)Величина χ = κ/ρC называется температуропроводностью. Она определяет скоростьраспространения тепловых воздействий.
По виду формулы совпадают с диффузионными, с заменой D → χ. Для газа и коэффициент температуропроводности близок ккоэффициенту диффузии (в нашем приближении точно равен). В жидкостях и твердыхтелах тепло распространяется (диффундирует) быстрее, чем вещество. Хорошо проводят тепло металлы, диффузии почти не подверженные. Для серебра: κ = 418 Вт/(м·К),cP = 25,49 Дж/(моль·К), ρ = 10,5 г/см3 , χ = 4,18/(25,49/108)/10,5 = 1,6 см2 /с.В пространстве вид уравнений также подобен (5.4):q = −κ∇T ,∂T= χT .∂t(5.7)Из аналогии уравнений следует и подобие решений.
Нагретый слой толщиной R охладится за время порядка R2 /χ, а за время t возмущение температуры распространится5.2. Теплопроводность и вязкость155√на расстояние порядка χt. Если серебряную ложку опустить в горячий чай, держасьза нее в 1 см от поверхности, то примерно через 1 с станет горячо.Наконец, рассмотрим перенос импульса. Пусть газ имеет горизонтальную скоростьтечения ux , меняющуюся в зависимости от поперечной координаты y.
Молекулы, попадающие снизу вверх, будут приносить с собой импульс px− = mux− , соответствующий«нижней» скорости. Сверху же молекулы, пролетающие через единичную площадку,принесут другой импульс px+ = mux+ . Тогда «нижний» газ потеряет (nvT /6) · mu− , априобретет (nvT /6) · mu+ импульса за секунду. Здесь vT – тепловая скорость, не путатьс u, обычно гораздо меньшей.
Сила, действующая на 1 см2 , будетτ=u+ − u−λvT∂uxλvT· nm ·=· nm ·,32λ3∂yили, без привязки к конкретной модели вещества,τ =η·∂ux.∂y(5.8)Размерность вязкого напряжения τ – как у давления, но направление – вдоль площадки,т.е. вдоль оси x для площадки, нормаль к которой ориентирована по оси y. Это принято обозначать тензорными индексами: τxy или τ12 . Слои в течении «тянут» друг друга.Коэффициент динамической вязкости η можно записать в виде η = ρ · ν, где ν – коэффициент кинематической вязкости, все той же размерности см2 /с и для газа примерноравный коэффициентам диффузии и температуропроводности.
Время затормаживаниятечения будет порядка R2 /ν, то есть в воздухе – несколько часов при расстояниях, накоторых менялась скорость, порядка метра. Реально течение чаще всего не будет слоистым (ламинарным); из-за неустойчивости слои перемешиваются и затухание будетбыстрее. Эти вопросы являются предметом механики сплошных сред.Уравнение (5.8) обобщается на трехмерный случай сложнее, чем (5.4,5.7), так как τявляется не вектором, а тензором.
Опуская подробности вывода (их можно посмотретьв томе «Гидродинамика» курса Ландау и Лифшица), приведем окончательное выражение:∂ui∂uk 2 ∂ul∂ulτik = η+− δik; сила на площадку dS : dFi = τik dSk .+ ζδik∂xk∂xi3 ∂xl∂xl(5.9)Здесь по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Выражение в скобках в правой части дает нуль при суммировании компонент с i = k (свертке), а всепервое слагаемое есть эффект чистого сдвига. Второе слагаемое, с коэффициентом второй вязкости ζ, описывает вязкие напряжения, порождаемые объемным сжатием илирасширением; на практике оно проявляется редко, а коэффициент ζ даже и определенлишь в отдельных случаях.ОБЩАЯ ФИЗИКАКурс лекций для ММФА.А.
Васильев, А. П. Ершов2 семестрВОЛНЫ. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА.МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА6. СТАТИСТИКА16 марта 2007 г.Глава 6СТАТИСТИКАДо сих пор мы обходились средними характеристиками, вроде среднеквадратичной скорости молекул. Но бывает нужна более детальная информация, например, какая долямолекул имеет такую-то энергию. Из-за молекулярного движения такие закономерности будут статистическими. В этой главе обсуждается распределение частиц веществапо их состояниям.6.1Равновесие атмосферы. Распределение БольцманаРассмотрим столб воздуха, опирающийся на площадку S, и пусть у него заданная температура T .
Вырезаем из него плоский слой толщиной dh, которыйдолжен находиться в равновесии (рис. 6.1):mngSdh = −SdP = −SkT dn .Знак минус появился, так как с высотой давление иплотность падают. Получаем уравнениеdn= −(mg/kT )dh ,n⇒Рис. 6.1.n = n0 exp(−mgh/kT ) .Для давления отсюда следует барометрическая формула:P = P0 exp(−mgh/kT ) .Показатель экспоненты можно написать как µgh/RT , или h/H, где H = kT /mg =RT /µg – так называемая высота атмосферы. Для земной атмосферы H = 8,3 · 107 ·300/(30 · 103) ≈ 8 · 105 = 8 км. На такой высоте плотность и давление должны падать в e6.1. Равновесие атмосферы.
Распределение Больцмана157раз. Она гораздо меньше радиуса Земли, почему мы и не учитывали кривизны земнойповерхности. Над площадкой S находится полное число молекул∞∞ndh = Sn0N =S0exp(−mgh/kT ) dh = S0kTn0 = SHn0 .mgИмей атмосфера однородную плотность n0 , она заполняла бы слой толщиной H. Геометрическое истолкование: площадь под экспонентой равна площади прямоугольника (рис.6.2). Формально атмосфера простирается до бесконечной высоты, но из-за быстрого спадания экспоненты практическина высотах порядка десятков H наличием воздуха следуетпренебрегать. Реально атмосфера не изотермическая, верхние слои сильно нагреты.
Поэтому некоторые следы воздухазамечаются на высотах в сотни км, тормозя спутники Земли,Рис. 6.2.и т.п.Применим на практике полученное распределение молекул по высоте. Рассчитаемсреднюю потенциальную энергию молекулы воздуха. Это будет (энергия всех молекул)/(их количество): ∞∞U =mghn0 exp(−mgh/kT ) dhn0 exp(−mgh/kT ) dh .00Разумно обозначить mgh/kT = x; dh = (kT /mg)dx. Тогда ∞∞x exp(−x) dxU = kT0exp(−x) dx = kT ,0так как оба интеграла равны 1. Как и следовало ожидать, средняя потенциальная энергия молекулы порядка тепловой.
Теперь полезно дать еще одно толкование теплоемкости при постоянном давлении CP (напомним, что это CV + R). Когда мы греем небольшой объем газа при P = const, тепло идет на внутреннюю энергию и еще на работурасширения, производимую над остальной атмосферой.
Но если греть всю атмосферу,то работать как будто не над чем – над атмосферой вакуум. Теперь ясно, что приходится увеличивать потенциальную энергию воздуха, как раз на моль надо будет затратитьдополнительно R∆T по сравнению с нагревом при V = const. Атмосфера при нагреве«разбухает».Если молекулы могут иметь потенциальную энергию U любого происхождения (необязательно в поле тяжести), тоn = n0 exp(−U/kT ) ,(6.1)Глава 6. СТАТИСТИКА158где n0 – концентрация молекул в состоянии с U = 0. Это обобщение барометрическойформулы и называется распределением Больцмана.Возможен другой подход к выводу этого распределения.
Плотность молекул спадаетс высотой. Это вызывает диффузионный поток молекул снизу вверх. В равновесии онкомпенсируется падением молекул в поле тяжести. За время τ между соударениямимолекула набирает скорость gτ , а после удара об этом забывает, и приходится набиратьнаправленную скорость снова.Равенство потоков:ngτ = ngλ/vT = −Dоткуда получаемλvT dndn=−,dh3 dh3gdnmg= − 2 dh = −dh ,nvTkTчто даст опять барометрическую формулу. Правда, эти рассуждения допускают численные коэффициенты порядка 1, но сравнение с распределением Больцмана позволяетустановить соответствие.Теперь можно распространить распределение Больцмана на более широкий класс«молекул» – броуновские частицы. Коэффициент диффузии частицы оценим как разиз условия равенства потоковnu =nmgdn= −D ,βdhгде u – направленная скорость частицы, β – коэффициент трения (сила = β·скорость).Подставляя распределение Больцмана, n = n0 exp(−mgh/kT ), получим D = kT /β.
Эторавенство называется соотношением Эйнштейна. При стоксовом режиме трения β =6πηr. Например, для микронных частиц в воде D = kT /(6πηr) = 2 · 10−9 см2 /с . Длятаких же частиц «высота» распределения Больцмана будет kT /mg = 10−5 см, то есть1/10 радиуса.В начале XX века Ж. Перрен (1870–1942) проделал такие эксперименты, наблюдаяколичество частиц в поле зрения микроскопа с малой глубиной резкости в зависимостиот высоты, и определил постоянную Больцмана k. Видно, что опыты были не такиепростые. Заметно уменьшить частицы нельзя, а то их не будет видно в микроскоп(длина волны света – десятые доли микрона). Несколько облегчает дело плавучесть(частицы взвешены в воде, и можно подобрать материал немного плотнее воды, чторавносильно уменьшению массы, скажем, на порядок).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
