1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 45
Текст из файла (страница 45)
При оченьнизких температурах электроны по возможности занимают самые нижние позиции.Поскольку это фермионы, каждая вакансия занимается всего одним электроном. Какговорят, числа заполнения f (ε) для нижних уровней (у которых энергия ε меньше некоторого предела) равны единице, а для верхних – нулю. В предыдущем параграфе ужеговорилось, что каждое пространственное измерение вместе со «своим» импульсом составляют пару измерений фазового пространства, в котором элементарный объем равен2π. Тогда для трех измерений число состояний в объеме V будет p02Vp30 V24πpdp==N.(2π)3 03π 2 3Коэффициент 2 в числителе отражает две возможные ориентации спина. Отсюда находим максимальный, или граничный, импульс электронов p0 и максимальную кинетическую энергию µ0 = p20 /2m: 2 1/32/33π N2 3π 2 Np0 = , µ0 =.V2mVЭти границы называют соответственно импульсом Ферми и уровнем Ферми (т.е.уровнем энергии), здесь для температуры T = 0.
Считая n = N/V 1023 1/см3 , получим µ0 7,5 эВ. Поскольку плотность электронов N/V примерно такая же, как ватоме водорода, такой масштаб и следовало ожидать.Распределение Ферми – Дирака. При положительнойтемпературе порядка комнатной и даже при плавлении металла (тысячи градусов) тепловой энергетический масштабkT остается гораздо меньше µ0 (напомним, что kT = 1 эВпри T = 11600 градусов). Поэтому состояние электронного газа при любых разумных температурах остается почтитем же, как при нулевой температуре – «замороженным».Рис. 6.4.Немного изменяется уровень Ферми µ , но более важно,что числа заполнения начинают зависеть от температуры:√√1dN2dpx dpy dpz2m3εdεdN ε−µ f (ε) =,== 2 3 ε−µ, или.
(6.8)3ε−µN(2π)Nπ exp kT + 1e kT + 1e kT + 1Глава 6. СТАТИСТИКА168Вывод распределения Ферми – Дирака (6.8) имеется в уже цитированной литературе, см. также: Г.Л. Коткин, Лекции по статистической физике. Новосибирск, НГУ,2003. Форма кривой f (ε) показана на рис.
6.4. Как видно, при конечной температурепроисходит небольшое (примерно в интервале kT по энергии) размазывание ступеньки,соответствующей T = 0. Так у электронного газа появляется, например, пропорциональная температуре теплоемкость.6.4Распределение Бозе – Эйнштейна. Фотонный газПротивоположным случаю Ферми – Дирака является поведение газа частиц с целымспином – бозонов. В отличие от фермионов, бозоны нисколько не противятся попаданию в одинаковые состояния.
Например, мы не можем заставить два кирпича – наборафермионов – занять один и тот же объем, но два луча света (состоящего из бозонов)можно совместить без всякого труда.Колебания двухатомной молекулы. Этот простой пример попутно завершит обсуждение теплоемкости газа. Уровни энергии осциллятора, как показано в п. 2.3,εj = ω(j + 1/2). Колебательная статистическая сумма одной молекулыω(j + 1/2)exp(−ω/2kT )exp −=.zv =kT1 − exp(−ω/kT )j=0∞Отсюда Fv = −kT ln zv = ω/2 + kT ln(1 − exp(−ω/kT )),Sv = −ω∂Fv= −k ln(1 − exp(−ω/kT )) +,∂TT (exp(ω/kT ) − 1)Ev =ωω+.2exp(ω/kT ) − 1(6.9)Как и следовало ожидать, всегда имеется вклад нулевых колебаний (несущественныйдля теплоемкости), к которому добавляется положительная величина, отражающаятепловое возбуждение колебаний.
При низких температурах (kT ω) эта добавкаэкспоненциально мала, колебания выморожены. При высоких температурах (kT ω)можно заменить exp(ω/kT ) ≈ 1+ω/kT , энергия E ≈ kT , колебательная теплоемкостьравна k в расчете на одну молекулу и R на моль.Объем ячейки фазового пространства. Наряду со статсуммой zv рассмотрим классический статистический интеграл. Применим к молекуле статистику Максвелла –Больцмана, «забыв» о дискретных уровнях энергии:zcl =∞∞√mω 2 x22kTp22πkT22−.exp −e−P dP ·e−X dX =dpdx = 2mkT22mkT2kTmωω−∞−∞6.4. Распределение Бозе – Эйнштейна. Фотонный газ169Сравнивая это выражение с высокотемпературным пределом zv :kT,ωполучаем рецепт исправления классической статистики:zcl.(6.10)zv ≈2πКлассическую статсумму следует разделить на h = 2π, чтобы получить выражение,совпадающее с асимптотикой правильной квантовой статсуммы.
Такое деление требуется для каждой степени свободы (каждой пары координата – импульс). Этим примеромподтверждается введенный в п. 6.2 объем ячейки фазового пространства.Формулу (6.9) можно понимать в следующем смысле. Колебательная система притемпературе T содержит число f элементарных квантов энергии ω, причемzv →f=1,exp(ω/kT ) − 1или f (ε) =1.exp(ε/kT ) − 1(6.11)Это и будет простейший вид распределения Бозе – Эйнштейна.
В отличие от формулыФерми – Дирака (где перед 1 знак плюс) числа заполнения f (ε) в статистике Бозе –Эйнштейна вполне могут превышать единицу во сколько угодно раз, что и соответствует возможности существования многих частиц в одном квантовом состоянии.Фотонный газ. Фотоны, с которых и началась квантовая физика, есть колебания электромагнитного поля, и к ним также следует отнести распределение (6.11). Найдем энергию излучения в объеме V при температуре T в интервале частот dω. Фазовый объемтакого состояния запишется как 2V · 4πp2 dp/(2π)3 = V ω 2 dω/(π 2c3 ), где p = ω/c –импульс фотона, а коэффициент 2 отражает две возможные поляризации.
Умножая начисло заполнения (6.11), найдем число фотонов с частотой ω в объеме:dN =Vω2· dω ,·π 2 c3 exp(ω/kT ) − 1(6.12)а их энергию получим, умножив еще на ω:dE =Vω 3· dω .·π 2 c3 exp(ω/kT ) − 1(6.13)Это – знаменитая формула Планка, которая в 1900 году воспроизвела все детали спектра энергии излучения.Полная энергия излучения находится интегрированием по всем частотам:VE= 2 3·π c∞0V (kT )4ω 3· dω = 2·exp(ω/kT ) − 1π (c)3∞0x3 dx.exp(x) − 1Интеграл можно преобразовать, заменив знаменатель на геометрическую прогрессию:∞∞ −xx3 dx11π43−2x−3x= x e +e.+e. . . dx = 6 1 + 4 + 4 . .
. =exp(x) − 1231500Глава 6. СТАТИСТИКА170Сумма в скобках равна π 4 /90; это не так очевидно, но можно удовлетвориться ее численным значением 1,082, легко вычисляемым в силу быстрой сходимости ряда. ПолучаемE=π 2 (kT )4 V= αT 4 V ,15 (c)3(6.14)где α = 7,56 · 10−15 эрг/(см3 К4 ) = 7,56 · 10−16 Дж/(м3 К4 ) – так называемая первая постоянная излучения. Более непосредственно измеряемая величина – поток энергии настенку или из малого отверстия в стенке полости q, который отличается от плотностиэнергии αT 4 множителем cx /2, где cx – средний модуль проекции скорости фотонана данное направление, а половинка учитывает, что половина фотонов летят от стенки.
Поскольку скорость каждого фотона есть скорость света, а направления скоростей«рассеяны» по сфере изотропно,1cx =2ππ/2cc · cos θ · 2π sin θdθ = ,2откуда0cα(6.15)· T 4 = σT 4 .4Результат (6.15) называется законом Стефана – Больцмана, а коэффициент σ = 5,67 ·10−5 эрг/(см2 К4 с) = 5,67 · 10−8 Вт/(м2 К4 ) – постоянной Стефана – Больцмана.Давление можно найти, пользуясь термодинамическим тождеством (3.12):∂P∂E4σT 4T−P ==.∂T V∂V Tcq=Подставляя степенную зависимость от температуры, получаем уравнение состоянияфотонного газа в видеP =4σT 4,3cили P V =4σT 4 VE= .3c3Давление порядка q/c, чем и объясняется его малозаметность: поток энергии излучениямы ощущаем уверенно, а силу его воздействия не замечаем из-за большой по нашиммасштабам величины c.
Однако при высоких температурах давление света и веществавполне могут стать одного порядка, как это оказывается в центре Солнца.Интересно то обстоятельство, что давление зависит только от температуры, но неот объема: фотонный газ «не пружинит». Полезно найти также число фотонов:VN= 2 3·π c∞0V (kT )3ω 2 dω= 2·exp(ω/kT ) − 1π (c)3∞0V (kT )311x2 dx= 2· 2 1 + 3 + 3 ... .ex − 1π (c)323Сумма ряда в скобке равна 1,202. Число фотонов пропорционально V T 3 ; в частности,при сжатии полости при постоянной температуре N уменьшается. Поэтому фотонный6.4. Распределение Бозе – Эйнштейна.
Фотонный газ171газ и ведет себя подобно насыщенному пару: при уменьшении объема лишние фотоны уходят в стенки. Вообще равновесие излучения предполагает непрерывный обменфотонами между полостью и стенками3 .Нетрудно найти энтропию фотонного газаdE P dV16σT 3 V+, S=.TT3cЭнтропия прямо пропорциональна числу фотонов, причем на фотон приходится 3,602k.Нулевые колебания.
Обратим внимание, что мы, начиная с формулы (6.11), не учитывали энергию нулевых колебаний (которая присутствует в формуле (6.9). Если вездедобавить к числам заполнения (6.11) 1/2, мы получим ряд неприятностей. Например,энергия излучения, число квантов и вообще все величины будут расходиться на верхнем пределе. При этом вклад нулевых колебаний в области частот ω kT / вовсе немал (поскольку не мала поправка). При достаточно большой частоте наберется энергия больше любой наперед заданной величины.
Эта ситуация, однако, отличается отультрафиолетовой катастрофы, из которой произошла квантовая механика, см. п. 2.1.Вместо энергии kT на каждое колебание теперь приходится ω/2.Объяснить (а точнее, обсудить) парадокс в этом курсе мы можем только словесно.Поскольку «нулевая» составляющая ни от чего не зависит, она практически никогда неприводит к наблюдаемым следствиям. Например, из полости вырывается поток энергиинулевых колебаний, но эквивалентное количество возвращается извне, ведь эта частьпотока не зависит от температуры4 .
Точно так же не наблюдается разности давленийизлучения на поверхность. Поэтому нулевые колебания допустимо не учитывать.Одно время пытались вообще «отменить» эту половинку, считая ее ненаблюдаемойв принципе и потому все равно что несуществующей. Но в 1948 г. Казимир предложилэксперимент по обнаружению давления нулевых колебаний. Если возле плоской поверхности находится пластинка и зазор очень мал, например, около микрона, то в зазореусловия для колебаний электромагнитного поля другие, чем в свободном пространстве, в том числе другими будут и нулевые колебания. Получится некоторая разностьдавлений; при низких температурах в основном она создается нулевыми колебаниями.
Сравнительно недавно силы Казимира были измерены, причем хорошо совпали с«нулевыми» предсказаниями. Есть и другие проявления нулевых колебаний электромагнитного поля.Если нулевые колебания реальны, то они должны иметь массу (E = mc2 ) и создавать гравитационное поле. Можно ли его наблюдать, пока не ясно. Все это – показателинезавершенности теории, подобно точечности электрона в электродинамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
