1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтомуможно предположить, что выраженияp̂x = −i∂,∂xp̂y = −i∂,∂yp̂z = −i∂,∂zили p̂ = −i∇(2.2)верны всегда, а не только для плоской волны. (2.2) заменяет дебройлевскую связь импульса и длины волны. Чтобы найти импульс, надо подействовать на волновую функ12Концепцию разумного электрона (без кавычек, в буквальном смысле) отстаивает Р.С. Нахмансон.См. УФН, 2001.
Т. 171, №4, стр. 441. Насколько известно, он – единственный приверженец своей теории.2.3. Волновая функция. Уравнение Шрёдингера53цию оператором p̂ = −i∇. Шляпка над буквой напоминает, что оператор – это нечтоболее сложное, чем число.Аналогично полагаем, что энергия кванта E = ω не только для световых волн, аи всех прочих.
Тогда плоская волна Ψ ∼ exp(ikx − iωt) = exp(2πix/λ − iEt/). Отсюданаходим правило извлечения E:∂ΨÊΨ = i.∂tОператоры. В классической теории физические величины были, как правило, действительными числами. Мы видим, что в квантовой механике числа заменяются операторами. Например, импульсу соответствует оператор −i∇. Оператор действует на функцию, стоящую справа от него: p̂x Ψ = −i∂Ψ/∂x. При этом получается, как правило, другая функция (в случае импульса – производная: для Ψ = cos kx будет p̂x Ψ = ik sin kx).Координату можно считать оператором, действие которого сводится к алгебраическомуумножению: x̂Ψ(x, y, z) = xΨ; в таких случаях мы не будем употреблять шляпки.Однако для данного оператора можно подобрать такие функции, что действиеоператора сводится к умножению их на число, например: для Ψ ∝ exp(ikx) будетp̂x Ψ = kΨ.
Такие функции называются собственными функциями оператора, асоответствующие числа – собственными числами. Собственные функции для данного оператора являются наиболее удобными.Операторы можно перемножать и складывать. Например, квадрат импульса p̂2 =(p̂p̂) = p̂2x + p̂2y + p̂2z = −2 ∇2 = −2 . Однако алгебра операторов не совпадает салгеброй действительных чисел; отличия мы рассмотрим ниже (стр.
59).Уравнение Шредингера. В свободном полете кинетическая энергия электрона постоянна: p2 /2m = E. Это тождество можно теперь записать в виде уравнения: 2∂ Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ2= EΨ .·++−2m∂x2∂y 2∂z 2Если электрон движется в поле с потенциальной энергией U, естественным обобщениембудет2−Ψ + UΨ = EΨ .(2.3)2mЭто уже нетривиальное дифференциальное уравнение. По имени автора оно называетсяуравнением Шредингера (стационарным).Стационарность (постоянство энергии электрона E) может не соблюдаться.
Нестационарное уравнение Шредингера имеет видi∂Ψ2=−Ψ + UΨ .∂t2m(2.4)Стационарный случай соответствует специальной зависимости волновой функции отвремени: Ψ(x) · exp(−iEt/). Подстановка этого выражения в (2.4) дает стационарноеуравнение (2.3).Глава 2. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА54Уравнение (2.4) имеет первый порядок по времени. Задание начальных условийопределяет эволюцию волновой функции и тем самым поведение физической системы.Операторp̂22Ĥ =+U =−+U2m2mназывается оператором Гамильтона, или гамильтонианом, он аналогичен функции Гамильтона в классической механике.
Совсем краткая запись уравнения Шредингера:ĤΨ = EΨ (стационарное) ,ĤΨ = ÊΨ (нестационарное) .(2.5)Предостережем от сокращения на Ψ (как не рекомендуется сокращать буквы d в производных).Прямоугольный колодец. Покажем, как решается уравнение Шредингера, на простейшем примере. Пусть электрон сидит в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, так что U(x) = 0 при 0 < x < a, и U(x) = ∞ при x < 0 ипри x > a. Тогда внутри ямы выполняется уравнение−2 ∂ 2 Ψ·= EΨ .2m ∂x2Его решения – это попросту sin(kx) либо cos(kx), с любым k. Задавая k, мы тем самымопределим энергию E.Но не все решения годятся.
Вряд ли волновая функция (как-то описывающая электрон) может существовать в областях, где потенциальная энергия бесконечна. Подходятте решения, которые обращаются в нуль на стенках ямы, а именно Ψ = sin(πnx/a), гдеn – целое число. Подставляя в уравнение, получаем E = π 2 2 n2 /2ma2 . Только при такихвыделенных значениях энергии получается разумное решение. Говорят, что найденныедопустимые значения энергии (собственные значения оператора Гамильтона) составляют спектр системы. Дискретный спектр – следствие граничных условий. Точно так жезакрепленная в двух точках струна имеет дискретный спектр собственных колебаний.Осциллятор – основное состояние. Более сложный пример – уравнение Шредингерадля осциллятора:2 ∂ 2 Ψ kx2−·· Ψ = EΨ .+2m ∂x22Найдем решение для нижнего состояния.
Ясно, что волновая функция должна убыватьс удалением от начала координат, причем симметрично. Если попробовать решение видаΨ ∼ exp(−βx2 ), то получим−22kx2· 4β 2x2 exp(−βx2 ) +· 2β exp(−βx2 ) +· exp(−βx2 ) = E exp(−βx2 ) .2m2m2На exp(−βx2 ) можно сократить. Равенство−kx222· 4β 2 x2 +· 2β +=E2m2m22.3. Волновая функция. Уравнение Шрёдингера55выполняется всегда (что и нужно от решения) при взаимном сокращении двух посто√янных слагаемых и двух, содержащих x2 , то есть β = km/2, E = k/m/2 = ω/2.Этим подтверждается поправка к условиям квантования Зоммерфельда – Бора. Найденное решение называют «нулевым колебанием», его энергия – наименьшая возможная для колебательной системы. Точный нуль запрещен принципом неопределенности:нельзя поместить массу в начало координат и одновременно задать ей нулевой импульс.Спектр осциллятора.
Найдем всю лестницу уровней осциллятора. Для краткости будемсчитать = m = k = 1, что означает переход к некоторой системе единиц, близкой к атомной.Тогда уравнение Шредингера имеет вид−1 d2 Ψ x2· Ψ = EΨ ,+2 dx22а в основном состоянииΨ0 = exp(−x2 /2) ;E0 = 1/2 .Заметим, что основную функцию можно записать в виде Ψ0 = exp(x2 /2) · exp(−x2 ) с тем жеуспехом. Попробуем искать решение, записав произвольное состояние какΨn = exp(x2 /2) · Φn ,где Φn – новая неизвестная функция.
Вычисляем производныеdΦndΨn= x exp(x2 /2)Φn + exp(x2 /2),dxdxdΦnd2 Φnd2 Ψn2222+exp(x=(1+x)exp(x/2)Φ+2xexp(x/2)/2)ndx2dxdx2и подставляем в уравнение. При этом общий множитель exp(x2 /2) сократится, а слагаемые,пропорциональные x2 , взаимно уничтожатся:−dΦn Φn1 d2 Φn−= EΦn .−x22 dxdx2Подставляя для нулевого состояния Φ0 = exp(−x2 ), убеждаемся, что уравнение выполняетсяпри энергии E0 = 1/2:exp(−x2 )1= exp(−x2 ) .exp(−x2 ) − 2x2 exp(−x2 ) + 2x2 exp(−x2 ) − 2 2 −xΦ−Φ /2−Φ/2EΦВыгода от замены переменной пока не очевидна.
Но предположим, что мы нашли некотороесостояние Φn , соответствующее энергии En , то есть выполняется уравнение−dΦn Φn1 d2 Φn−= En Φn .−x2 dx2dx2Продифференцируем его еще раз:−d2 Φn 1 dΦndΦn1 d3 Φn= (En + 1).−x−322 dxdx2 dxdxГлава 2. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА56В правой части к En добавилась 1 из-за того, что среднее слагаемое слева содержало произведение xΦn (дифференцирование множителя x).Видим, что если Φn было решением для энергии En , то производная от Φn – решение тогоже уравнения, но при большей энергии En + 1. Далее можно еще раз взять производную иполучить новое решение для еще на единицу большей энергии, и т.д.
Таким образом, знаяисходную функцию Φ0 = exp(−x2 ), получаем целый набор:Φn =dn exp(−x2 ),dxnдля энергииEn = n +1.2В этом и состоит смысл на первый взгляд нелогичного преобразования Ψ ⇒ Φ, с выделением множителя exp(x2 /2) (казалось бы, разумнее выделить exp(−x2 /2)). Все функции Φ получаются последовательным дифференцированием, а спад на бесконечности обеспечиваетсяповедением Φ ∼ exp(−x2 ). Для нормальной функции Ψ получаемΨn = exp(x2 /2)dn exp(−x2 )= exp(−x2 /2)Hn (x) ,dxnгде Hn (x) = exp(x2 )dn exp(−x2 ).dxnНемного подумав, можно убедиться, что Hn (x) – это многочлен степени n, так как экспоненты после дифференцирования сократятся. Функции Hn (x) называются многочленами, илиполиномами Эрмита (франц.
Hermite).Таким образом, мы получили сразу много решений уравнения Шредингера, спадающих набесконечности благодаря множителю exp(−x2 /2). Энергии состояний действительно эквидистантны, соседние отличаются на 1, или в размерном виде на ω. Правда, мы не доказали, что√это – все возможные состояния.
Вдруг имеется решение с энергией, допустим, 17? Установлено, что при всех других энергиях волновая функция не спадает, а стремится к бесконечностис удалением от начала координат и поэтому не может описывать физической ситуации13 .Интерпретация волновой функции. Мы еще не знаем даже размерности волновойфункции, а значит, не вполне понимаем, что находили, решая уравнение Шредингера.Впрочем, основное достижение пока что – энергетические спектры, на которые умножение Ψ на любой коэффициент не влияет. Но чтобы двигаться дальше, надо придать волновой функции четкий смысл. Попадание дифрагирующего электрона в данное местоэкрана – случайное событие; вообще квантовым явлениям свойственна случайность.
М.Борн впервые предложил вероятностную интерпретацию Ψ: вероятность обнаружитьэлектрон в малом объеме ∆V есть |Ψ|2 ∆V = ΨΨ∗ ∆V . Поэтому волновую функциюназывают еще амплитудой вероятности (часто, ради краткости, и просто амплитудой).Квадрат модуля, определяющий «засветку», выступает как аналог интенсивности дляклассических волн. Теперь можно установить нормировку волновой функции: вероятность находиться где-либо равна 1:|Ψ|2 dV = 1 .V13См. Л.Д.
Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика.2.3. Волновая функция. Уравнение Шрёдингера57Например, для прямоугольного колодца ширины a вероятность найти частицу в интервале dx вблизи точки x равна (1/2a) sin2 (πnx/a)dx, а нормированная волновая функция√есть (1/ 2a) sin(πnx/a) для состояния с номером n. В атоме, как мы увидим, вероятность экспоненциально убывает с радиусом. «Размер» атома – это расстояние, накотором заметно убывает вероятность найти электрон (как говорят, электронная плотность).Зная распределение вероятности, можно находить средние значения физическихвеличин. Например, в состоянии, характеризуемом волновой функцией Ψn , среднийквадрат импульса равенp2 =Ψ∗n p̂2 Ψn dV .Часто используют обозначения Дирака, записывая Ψn = |n, Ψ∗n = n|, p2 = n|p̂2 |n.Для колодца, заменяя p̂2 на −2 ∂ 2 /∂x2 , получим p2 = (πn/a)2 , а средняя кинетическая энергия p2 /2m = (πn/a)2 /2m совпадает с энергией состояния, см.
стр. 54.В отличие от волновой функции, средние значения могут измеряться в эксперименте. Вычисление средних возвращает нас в макромир, поэтому средние величины называют еще наблюдаемыми. Отметим, что без усреднения кинетическая энергия «вточке» колеблется от нуля до удвоенной энергии уровня. Это не нарушает каких-либоважных законов, так как «локальная» энергия не является наблюдаемой величиной, вчастности, ее нельзя измерить, не повлияв на состояние системы. Допустим, мы поймали электрон в маленький ящик. Это сразу разрушит состояние, поскольку жестколокализованный электрон необходимо имеет огромную энергию, согласно соотношениям неопределенности (2.1).Обобщением средних значений являются так называемые матричные элементы. Дляоператора Â матричный элемент, соответствующий переходу из состояния n (Ψn = |n)в состояние m (Ψm = |m) естьAnm ≡ n|Â|m = Ψ∗n ÂΨm dV .Как и средние, матричные элементы относятся к наблюдаемым величинам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
