1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если фиксировать электрон в точке (другимисловами, точно измерить координаты), импульс его станет полностью неопределенным.Но ведь в камере Вильсона электрон оставляет явственный след, искривление которого в магнитном поле – стандартный способ измерения скорости и импульса? Опять дело в чрезвычайной малости постоянной Планка. Если толщина следа электрона (цепочки капель воды) 1 мкм = 10−4 см, то ∆p ∼ 10−27 /10−4 = 10−23 в СГС. Импульс же в про√дольном направлении при энергии 1 МэВ p ∼ 2mE = 2 · 0,9 · 10−27 · 106 · 1,6 · 10−12 5·10−17 СГС на 6–7 порядков больше. Поэтому траектория как бы и есть, пока она достаточно «толстая».
Но если переходить к истинно малым (для такой энергии – ядерным)масштабам, от траектории ничего не останется.Поучительно применение соотношения неопределенностей к оценке размера атома. Поскольку электрон локализован внутри атома, для него искомый размер a естьнеопределенность координаты. Тогда электрон должен иметь неопределенность импульса δp ∼ /a. Энергия атома будетδp2 e22e2E=−=− .2ma2ma2aПри малых a преобладает первое, положительное слагаемое; при больших – второе, отрицательное.
Найдем размер a, отвечающий минимальному значению энергии:dE/da = −2 /ma3 + e2 /a2 = 0, откуда a ∼ 2 /me2 ! Получается то же самое значение:0,5 ангстрема. Польза от нового «вывода» та, что здесь ни о каких орбитах не было иречи: сразу видно, что размеры атома примерно одинаковы во всех направлениях.Более четкий смысл соотношениям неопределенности придает квантовая теория,развиваемая в следующем параграфе. Вместо оценок по порядку величины можносформулировать неравенства10 :δpx · δx 10См. уравнение (2.8),2δpy · δy ,2δpz · δz ,2Глава 2.
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА50причем равенство достигается для волнового пакета с гауссовой огибающей. Неравенство же может быть сколь угодно сильным (бывают пакеты и с бесконечным произведением δpx · δx). Правда, в последовательной квантовой механике как принцип, так исоотношения неопределенности не особенно нужны, так как она не оперирует с понятием траектории.Волны или частицы? Трудно преодолеть прочно усвоенные догмы, вроде того, чтоэлектрон – это маленький твердый шарик.
Но это надо сделать тому, кто хочет понимать, как устроена природа. Например, в дифракционном опыте электроны попадают,конечно, в определенные места экрана, то есть на каждый электрон отзывается определенный маленький датчик. В этом смысле электрон – частица, неделимый квант. Нов разные места попадать они будут с разной частотой, точно соответствующей распределению интенсивности дифрагирующей волны. И такое распределение интенсивностисохраняется, даже если электроны заведомо летят поодиночке, например, попадая наэкран раз в секунду.
Значит, электрон все же волна. То же верно для света (фотонов),нейтронов и пр.Такое свойство назвали корпускулярно-волновой дуализм. Упрощенно говоря,электроны – и волны, и частицы одновременно. Для облегчения восприятия этой противоречивой ситуации можно рекомендовать следующую картину мира11 :1. Существуют только волны различной природы (свет, электроны и т.п.) Те песчинки, пули и планеты, с которыми мы привыкли иметь дело, тоже волны. Но ониразмазываются крайне слабо, и мы не замечаем у них волновых свойств. Нашанеспособность заметить дифракцию пуль, вылетающих из автомата, и есть основание для возникновения концепции частицы – чего-то, что занимает пространствои летит по определенной траектории.2.
Но все существующие волны – квантовые. Они поглощаются, отражаются, рассеиваются, и т.п. исключительно поштучно, индивидуально. Во вспышке светачастоты ω может быть пять или семь таких порций – квантов с энергией ω каждый, но никогда не 5 целых и 7 десятых. У некоторых квантов есть и другиеотличительные признаки (кроме единичности), как заряд или масса у электрона,которых фотон не имеет, но это не «основа», а как бы отличительная раскраска.В такой картине, разумеется, есть недостатки. Не ясно, как волна «стягивается» в точку, когда электрон попадает в экран. Единичность и локализованность мы относим катрибутам не волн, а частиц.Опыт уже более чем 100 лет развития квантовой механики показал, что такие«нестыковки» неизбежны. Наш здравый смысл не работает в квантовой области.
Всякоеописание на основе макроскопических представлений будет неполным. Поэтому предложенная выше волновая парадигма носит предварительный характер. Она полезна,11Конечно, не единственно возможную. См. примечание на стр. 52 и заключение п. 2.3.2.2. Атом Бора. Волны де Бройля. Принцип неопределенности Гейзенберга51поскольку готовит почву для волнового уравнения, которое рассматривается в следующем параграфе.В отличие от «частиц» типа камешка или пылинки, электрон нельзя разрезать накуски. Уже это показывает, что квант и частица не одно и то же.
Люди изобрели понятие частицы, отправляясь вовсе не от электронов, но от макроскопических тел, размеры которых не существенны в данной задаче. И хотя пули тоже попадают в мишеньпо одной целой штуке, вполне возможно это нарушить (скажем, разрезать их в полетелучом лазера). Значит, то, что есть общего у квантов и пуль – это скорее случайныеи второстепенные признаки. Поэтому проще признать, что частицы – это антропоморфизм.
В микромире «живут» квантованные волны. Из комплексов таких волн (атомов)построено вещество.И все же электроны и протоны принято называть частицами. Нет смысла плытьпротив течения, но надо понимать условность терминологии и признать, что это словов применении к электрону значит совсем другое, чем в бытовой речи.Кроме того, одно дело – принципиальность, другое – практика. Массу задач можнорешить, не задумываясь о волновых свойствах электрона и даже представляя его себемаленьким шариком. И раз задача облегчается, надо этим пользоваться, вспоминая одлине волны там, где она реально нужна.Парадокс дифракции. Дифракция электрона на двух щелях совершенно подобнаоптической, то есть на экране электронный пучок даст «забор» интерференционныхполос.
В минимумах засветки интенсивность нулевая, туда электроны не попадают.Но если закрыть любую из щелей, бывшие минимумы оказываются «освещены», туданачинают прилетать электроны! Это ясно показывает, что электрон взаимодействует собеими щелями, а не ограничивается пролетом через какую-то одну. Открываем сноващель, чтобы дать ему дополнительную возможность достичь экрана, а он отвечаетчерной неблагодарностью и вообще перестает в какое-то место попадать.Уже в обычной оптике такое явление удивительно. Но там мы могли сослаться навзаимодействие волн, прошедших различные щели (принцип Гюйгенса). В микрофизикеположение еще поразительнее тем, что электроны (как и фотоны и пр.) дискретныи даже отдельный электрон дифрагирует. Можно запускать их по штуке, и они современем нарисуют ту же самую картину.
При этом, конечно, каждый электрон делаетне весь забор, а маленькое пятно, например, микронных размеров. Наложение же всехпятен, когда набирается статистика, и будет дифракционной картиной.Как же может электрон взаимодействовать сам с собой? Никак: по современнымпредставлениям, интерферируют не «куски» электрона, а пути, возможности его движения (скажем, пути через две щели). Очень грубая аналогия – «разумный» электрон,который «ощупывает» пространство перед собой, прикидывает «экономические» затраты для каждого пути (вроде S = pdx), записывает амплитуды вида exp(iS/), суммирует эти экспоненты для всех путей, находит квадрат модуля суммы, разыгрываетГлава 2.
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА52точку финиша в соответствии с величиной этого квадрата модуля и приходит в такуюслучайно выбранную, но зависящую от взаимодействия всех потенциальных затрат точку. То же делает фотон; S = pdx – это что-то вроде x/λ, и мы узнаём принцип Ферма:когда по близким путям фазы одинаковы, эти места и называются «луч света»12 .2.3Волновая функция. Уравнение ШрёдингераДе Бройль в своей гипотезе исходил не только из формальной симметрии, но и изспектра атомов. Он отмечал, что в физике известен только один класс явлений, длякоторого характерен дискретный спектр, а именно волны.
Простейшие примеры такогорода – колебания струны, закрепленной в двух точках, колебания столба воздуха вдуховых инструментах и т.д.Когда работа де Бройля стала обсуждаться, в Цюрихе П. Дебай поручил своемуассистенту Э. Шрёдингеру рассказать о ней студентам и сотрудникам университета.
Врезультате Шредингер, пытаясь понять работу сам, смог придать четкий смысл качественным идеям де Бройля.Волновая функция. Раз электрон – волна, он должен описываться чем-то непрерывным в пространстве. Волны на воде задаются высотой h(x, t); электромагнитныеволны – компонентами полей E и H. То, что «волнуется» у электрона, Шредингер назвал волновой функцией и обозначил буквой Ψ; сейчас употребляется также название«амплитуда». Ее смысл стал ясен несколько позже.Волновые процессы подчиняются дифференциальным уравнениям. Подход де Бройля, с его длиной волны, явно недостаточен: ведь длина волны λ = 2π/p определена хорошо только для свободного движения, когда импульс p фиксирован. Если жеλ сколько-нибудь меняется с координатой (из-за изменения импульса при движении вполе), то в этой самой степени теряет смысл.Импульс и энергия в квантовой механике.
Начнем со свободного движения, пытаясь получить нечто, пригодное для более общего случая. Естественно связать свободноедвижение с плоской волной: Ψ ∼ exp(ikx − iωt) = exp(2πix/λ − iωt). Импульс электронас длиной волны λ равен px = 2π/λ = k. Поэтому Ψ ∼ exp(ipx x/ − iωt). «Вытащить»импульс из этой формулы можно, взяв производную: px Ψ = −i · ∂Ψ/∂x. Производнуюможно вычислять уже не только от функции, описывающей плоскую волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
