1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 13
Текст из файла (страница 13)
эВ при n = 2, 3, 4, 5, 6, 7...Действительно, у водорода есть такие линии в спектре, а вся последовательность называется серией Лаймана. Даже минимальная частота серии Лаймана попадает в ультрафиолетовую область (максимальная длина волны 1220 Å), так что эти линии ненаблюдаются в видимом свете.При падении на уровень 2 получим ωn2 = En − E2 : 13,6 · (1/22 − 1/n2 ) =1,89; 2,55; 2,86; 3,02; 3,12;...
⇒ 3,4 эВ при n = 3, 4, 5, 6, 7...Это – серия Бальмера. Заметная часть этой серии (простирающейся от 6560 до 3650ангстрем) соответствует видимому свету, почему она и стала известна раньше. И сноваполучилось точное соответствие измерениям. Теория Бора, аккуратно предсказывающая такие замысловатые зависимости, заслужила Нобелевскую премию уже в 1922 г.Нагретый газ излучает линии при падении электронов с верхних состояний на нижние.
Наоборот, из нижнего состояния электрон может подняться на верхнее, поглотив соответствующий квант. Тогда будет наблюдаться спектр поглощения, подобныйспектру испускания, но «негативный» – темные линии на светлом фоне. Его можнонаблюдать, например, когда свет Солнца проходит через его верхнюю атмосферу, сравнительно холодную.Остановимся еще на скорости электрона в атоме. В нижнем состоянии v = e2 / =2,2 · 108 см/с. Полезно записать v в виде v = c · (e2 /c) ≈ c · (1/137). Видно, что элек-Глава 2.
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА46трон нерелятивистский. Безразмерная величина e2 /c называется постоянной тонкойструктуры. Удивительно, что ее обратная величина – почти целое число: 137,036...С ростом n атом увеличивается в размерах, энергия электрона стремится к нулю(снизу), скорость замедляется. Из космоса к нам иногда приходят кванты «света» отатомов водорода, у которых радиус орбиты достигает сантиметра. В земных условиях,разумеется, такой атом долго не протянет.Теория Зоммерфельда. Позднее, в 1914 г., Зоммерфельд рассмотрел некруговые орбиты. В кулоновском поле притяжения, как и в гравитационном, финитные траектории– эллипсы, которые определяются двумя параметрами, например энергией и моментом импульса. Существенны как угловое, так и радиальное движение; значит, надо дваусловия типа боровских.Вращение, конечно, снова задается моментом L. Но радиальное движение нельзязадать, скажем, импульсом pr , так как он колеблется.
Обобщение Зоммерфельда выглядит так:Ldϕ = 2πl,pr dr = 2πnr (l, nr − целые) .Подобные интегралы от импульса по соответствующей координате, взятые по периоду движения, известны как адиабатические инварианты. Первый интеграл, так как Lсохраняется, эквивалентен условию L = l. Второй для эллиптической орбиты, заданной моментом L и эксцентриситетом ε, равен −1 2π dr −1drd2 r −1dr2 dϕ 1 dr· 2 dr = L−· r +L r·dϕ =dr = −Lm dr = mrdtdt r dϕdϕdϕdϕ201−ε cos ϕdϕp·dϕ = −2πL + L= 2πL √− 1 = 2πnr .=L1 + ε cos ϕp1 + ε cos ϕ1 − ε2Из решения кеплеровой задачи ε = 1 + 2EL2 /(me4 ). Отсюда следуетE=−1me4·.22 (nr + l)2Значит, энергия состояния определяется суммой n = nr + l.
В простейшей теории Бораnr = 0, l = n. Но зависимость от n точно такая же, как у Бора. Новое – в том, чтосостояний с одинаковой энергией несколько. Например, при n = 2 может быть (nr = 0,l = 2) и (nr = 1, l = 1). Целые параметры n и l называют квантовыми числами.Далее Зоммерфельд показал, что с учетом малых релятивистских поправок энергиисостояний с данным n начинают слегка различаться (как говорят, уровень расщепляется).
Расщепление по порядку величины получилось близким к тому, что наблюдалосьв спектрах.На таких идеях была основана «старая» квантовая механика (примерно до 1925г). Теория Зоммерфельда буквально так же неверна, как боровская. Неправильно то,что электрон не летает по эллипсу (да и по кругу). Ведь тогда атом был бы плоским.2.2. Атом Бора. Волны де Бройля. Принцип неопределенности Гейзенберга47Жидкий водород имел бы огромную плотность. А на самом деле его плотность говорито том, что атомы – скорее шары, чем тонкие диски.Но имеется и рациональное зерно: условия квантования Бора–Зоммерфельда естьразумное приближение при больших квантовых числах.Квантование осциллятора. Покажем работу условий квантования на примере осциллятора – массы на пружинке.
Классическое решение имеет вид x = A sin(ωt),p = mAω cos(ωt). Интеграл Зоммерфельда будетpdx = mA2 ω · cos(ωt)d sin(ωt) = mA2 ω 2 · cos2 (ωt)dt = mA2 ω 2T /2 ,где T – период колебаний. Так как Aω – это амплитуда скорости, то mA2 ω 2 /2 – этоэнергия колебаний E. Получаемpdx = ET = 2πn ,так что уровни энергии в параболической потенциальной яме: En = nω. Как говорят,колебательные уровни эквидистантны – соседние отличаются друг от друга на одинаковую ступеньку ω. Колеблющаяся молекула в принципе способна излучать кванты,соответствующие перескоку с данного уровня на любой нижележащий.
Но переходына отдаленные уровни, для которых энергия кванта была бы 2ω, 3ω..., происходяткрайне редко (как говорят, они «запрещены»), а типичны переходы между соседнимиуровнями. Поэтому в спектре каждое колебание дает одну-единственную линию, а не«гребенку», что и облегчает анализ колебательных спектров9 .Точное решение задачи об осцилляторе дает En = (n + 1/2)ω. Поправку 1/2 мыобсудим ниже.
Видно, что условия Бора-Зоммерфельда тем точнее, чем больше номерсостояния n.2.2.2Волны де Бройля. Принцип неопределенности ГейзенбергаСхема Бора явно противоречива. Следующий решающий сдвиг в умах произвел Луи деБройль в 1923 г.Волны де Бройля. Раз Планк и Эйнштейн не побоялись приписать свету дискретность, свойственную частицам, хотя бы пулям или крупинкам соли, то де Бройль решил, что возможно и обратное: частицы имеют волновые свойства.
Будем исходить изаналогии. Известно, что для света E = ω, а ω = 2πc/λ. В то же время (из теорииотносительности) E = pc. Тогда импульс светового кванта p можно связать с длинойволны: p = 2π/λ. Но это выражение не содержит никаких следов того, что дело идет освете: здесь выпала скорость света c. А почему бы не выполняться тому же и для электрона: λ = 2π/p = 2π/mv? Оценим характерную длину волны. Кинетическая энергия9Гребенки в спектрах тоже бывают, но они получаются из-за вращательных переходов (вращательные уровни не эквидистантны).48Глава 2. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВАэлектрона в атоме p2 /2m = 13,6 эВ.
Тогда p = 2 · 13,6 · 1,6 · 10−12 · 9 · 10−28 ≈ 2 · 10−19 ;λ ≈ 3 · 10−8 см. Выходит близко к атомным размерам. Если еще вспомнить, что сама λвеличина не очень характерная, а более интересна λ/2π ≈ 0,5 · 10−8 см, то это попростуборовский радиус атома!Эксперимент Девиссона и Джермера. Проверить, правда ли электрон – волна,можно в дифракционных экспериментах. В 1927 г. Девиссон и Джермер поставили опыт,в котором пучок электронов отражался от поверхности металла. При энергии в десяткиэВ длина волны порядка межатомных расстояний, так что металл работает как отражательная дифракционная решетка. Оказалось, что электроны успешно дифрагируют, икроме главного «зеркального» максимума наблюдаются боковые в полном соответствиис формулами де Бройля.
В том же году Дж.П. Томсон получил дифракцию электроновна тонкой металлической фольге.Позднее волновые свойства прямо наблюдались и у атомов (главным образом легких – водорода и гелия). Чем тяжелее атом, тем короче его длина волны при даннойскорости или энергии, тем труднее ее измерить. Люди тоже имеют волновые свойства,но их трудно заметить, так как длины волн будут крайне малы (10−27 см при импульсе1 г·см/с).Стационарные состояния. В духе концепции Де Бройля можно вернуться к истолкованию правила квантования Бора. Среди всех возможных орбит особенно важны те,на которых длина волны укладывается целое число раз.
Тогда, повернув атом на 2π,мы не получим никаких изменений. Можно сказать, что на такой орбите электрон «интерферирует сам с собой».Это и есть стационарные состояния. Представим себе электрон на круговой орбитерадиуса a. Чтобы на ней хорошо умещалась волна, должно выполняться равенство2πa = nλ, или pa = n.
По форме это не отличается от исходного правила Бора, такчто ничего пересчитывать не надо. Но смысл совершенно другой: n это не величинамомента импульса, а число волн, укладывающихся на орбите.Поэтому электрон и не падает на ядро. Волна не может стянуться в точку. Хотябы одна длина волны должна размещаться на самой нижней орбите. Волновая природаэлектрона объясняет также одинаковость атомов. Заметим, что и «пространственность»атома теперь можно понять лучше. Волна имеет протяженность во всех направлениях,и если мы еще рассуждали здесь о плоских орбитах, то больше по инерции.
Разумеется,эти объяснения все еще слишком приблизительны. Но мы увидим, что общий вывод верен: основное состояние есть минимальное собственное колебание, наиболее компактноерешение волнового уравнения Шредингера, описывающего атом.Принцип неопределенности. Волновые представления привели Гейзенберга к формулировке принципа неопределенности (1927). Именно, к электрону неприменимо понятие траектории. И действительно, какая может быть траектория у волны? Соотношение неопределенностей Гейзенберга выражает эту невозможность количественно.2.2. Атом Бора.
Волны де Бройля. Принцип неопределенности Гейзенберга49Пусть плоская волна (все равно, свет или электроны), распространяется в направленииx. Монохроматическая волна вовсе не локализована в пространстве, поэтому рассматриваем волновой пакет, составленный из волн с немного различающимися волновымичислами: в интервале порядка δk возле среднего значения k. Импульс монохроматической волны p = 2π/λ = k.
Тогда импульс пакета имеет неопределенность δpx δk.В п. 1.1 мы видели, что неопределенность x – компоненты пакета, то есть его ширинаδx, порядка 1/δk. Из очевидного соотношения δk · δx ∼ 1, если де Бройль прав, следуетδpx · δx ∼ .(2.1)Разумеется, такие же оценки годятся и для направлений y и z. Получается, что у электрона нельзя одновременно задать координату и соответствующий ей импульс. Еслификсировать координату, например, пропуская его через узкую щель, неизбежно «разбегается» импульс поперек этой щели.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
