1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Получаем известную формулу увеличения: d/a = y/b , которая выполняется автоматически,для всех положений предмета на оси.Условие Аббе для широких пучков уже нетривиально и выполняется в лучшем случае для пары точек на оси. Пример (из книги: М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики):тонкая линза с фокусом f из стекла с n = 1,5 , если мы хотим изобразить предмет, находящийся в бесконечности, должна иметь радиусы кривизны 5f и 5f /9, причем болеевыпуклой стороной обращена к предмету. Сферическая аберрация устраняется теперьнебольшими поправками к форме поверхности (кривизна несколько уменьшается с удалением от оси).
Уравнение поверхности сферы вблизи полюса x = r 2 /2R + r 4 /8R3 , а32Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАнадо взять в данном случае x = r 2 /2R + 0,26r 4 /8R3 .Бывает, что вообще не удается убрать одновременно сферическую аберрацию и выполнить условие Аббе. Например, зеркало без сферической аберрации – это эллипсоид.Но эллипсоид с очевидностью не дает одинаковых увеличений для всех углов: один егополюс делает изображение меньше предмета, а другой – больше.Всего при рассмотрении первых поправок к простейшей оптике возникает шесть видов аберраций.
Кроме сферической, имеется кома (исчезающая при выполнении условия синусов), астигматизм, кривизна поля изображения, дисторсия и хроматическаяаберрация. Поэтому объективы делаются многолинзовыми, причем исправление однойаберрации может увеличить другие. Остается удивляться хорошему качеству изображения фотоаппаратов (и телевизоров, с их электронной оптикой). Глаз почти ни на чтоне исправлен, и неискаженное изображение получается пересчетом в мозгу (что зависиттакже, видимо, от жизненного опыта).Перейдем к увеличению микроскопа. На его объективе происходит дифракция сминимально разрешаемым углом λ/d и соответствующим размером изображенияLλ/d .
По условию Аббе, для минимально различаемого размера предмета x sin ϕmax =(Lλ/d) · (d/2L) , где d/2L – синус малого угла, под которым изображению видна линзаобъектива. Получаем x ∼ λ/(2 sin ϕmax ) , то есть нельзя различать предметы меньшепримерно длины волны. Заметим, что в школьном приближении вместо синуса стоиттангенс, и ограничение исчезает. Мы хорошо видим глазом ∼ 1 мм, и для наблюденияпредмета порядка λ = 5 · 10−5 см нужно увеличение порядка 1000. Поэтому оптическиемикроскопы и не делают длиной в 10 м – в них мы увидели бы большие, но совершенноне похожие на предмет изображения.Для наблюдения очень мелких предметов нужно уменьшить длину волны (ультрафиолетовая микроскопия). Пока плохо идет рентгеновская оптика, но применяютсяэлектронные и ионные микроскопы до размеров, уже приближающихся к ангстрему(атомных). Поскольку электрон в атоме как раз локализован в таком размере, возникает новая проблема – разрушение объектов «взглядом» (точнее, освещением).Хотя форма малых предметов перестает улавливаться, заменяясь на дифракционное пятно, свет сам по себе виден, и на темном поле присутствие мелких частиц наблюдается (ультрамикроскопия).
Сейчас применяется и такой способ – освещение предметачерез тонкую трубочку размером, скажем, 100 Å, и запись отраженного сигнала присканировании. Здесь дифракционные ограничения заменяются очень сложными технологическими.Рекордно малые объекты сейчас наблюдают в сканирующих туннельных и атомносиловых микроскопах.
Первые регистрируют ток с острой иглы на поверхность подложки при напряжении в несколько вольт. Ток этот, называемый туннельным, идетпрямо через вакуумный зазор и возможен потому, что электрон – тоже волна и можетпросачиваться через потенциальные барьеры. Игла «ездит» в двух направлениях вдоль1.8. Оптические приборы33поверхности под действием пьезоэлементов. Всякий выступ, например, отдельный атом,вызывает увеличение тока, и на экране компьютера появляется цветное пятно. Атомносиловой прибор визуализирует притяжение иглы к поверхности, и тоже различает отдельные атомы. Те же иглы позволяют перемещать атомы по подложке, составляя изних рисунки и надписи.Оценим максимальное увеличение телескопа.
Сомнительно, чтобы не было никакого предела, кроме технического, определяемого отношением фокусных расстояний(или длины телескопа к f2 окуляра). На входном зрачке (линзе или зеркале) диаметраd свет испытывает дифракцию. Угол центрального максимума, в котором содержитсябольшая часть света, θ0 ∼ λ/d . Поэтому телескоп не сможет разделить две звезды, угловое расстояние между которыми меньше θ0 .
Их изображения в фокальной плоскостибудут накладываться. Увеличивая углы в Γ = f1 /f2 раз, получим хоть и большое, ноискаженное изображение.Звезда типа Солнца (диаметр 1,5 млн км) с расстояния 4 св. года = 4 · 3 · 107 с ·3 · 105 км/с = 3,6 · 1013 км видна под углом 4 · 10−8 . Чтобы разрешить ее диск, нужентелескоп с таким же отношением λ/d, то есть d ≈ 12 м. Сейчас это технически достижимо, поскольку успехи информатики позволяют объединять изображения от несколькихбольших зеркал.
Однако на Земле наблюдению мешает атмосфера. Преломление света на флуктуациях плотности приводит к размытию изображения, заметно большемудифракционного предела. Сейчас на орбите работает 2400 мм «хаббловский» телескоп,который на 1993 г. дал разрешение лучше земных (0,007 ≈ 3,4·10−8). Это выше дифракционного предела для типичного видимого света λ/d ≈ 5 · 10−5 /240 = 2 · 10−7 благодарявозможности (недоступной на Земле) работать в ультрафиолетовом диапазоне. Получается, что диск звезды виден «на пределе». Видеть же планеты, как имеющие размеробъекты, даже у ближайших звезд тем более пока невозможно.Тем не менее число обнаруженных вне Солнечной системы планет уже исчисляется сотнями (153 планеты в 134 планетных системах по http://www.obspm.fr/encycl/encycl.html на 14 февраля 2005; 199 планет на 11 января 2007 поhttp://planetquest.jpl.nasa.gov/).
Бо́льшая часть из них выявлена по возмущениям движения звезд, а меньшая – в некотором смысле видна, но способами, далекими от прямого визуального наблюдения. Скажем, замечают слабые изменения светимости при «затмении» звезды планетой. На пределе удается увидеть и отраженный планетой свет,если заблокировать свет звезды (который сильнее в миллионы или миллиарды раз);этот способ похож на ультрамикроскопию. Сейчас крупнейший земной телескоп расположен на горе Мауна Кеа (о. Гавайи). Собственно, это два десятиметровых зеркала,каждое из 36 гексагональных сегментов, разнесенных на расстояние 85 м.
Это и позволяет использовать машину как интерферометр, в частности, вычитанием сигналов«отключать» свет звезды. База интерферометра позволяет получить угловое разрешение в тысячные доли угловой секунды ( 10−8) . Планируется постройка европейскогоГлава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА34телескопа E-ELT с эквивалентным диаметром 42 м; зеркало будет состоять из 906 шестиугольных раздельно управляемых сегментов.Спутник, летающий на высоте 200 км и снабженный оптикой со входным зрачком20 см, различает углы λ/d ∼ 2,5 · 10−6 , что соответствует расстоянию между деталямина Земле 2,5 · 10−6 · 200 · 103 = 0,5 м.Интересен вопрос о соотношении яркостей источника и изображения.
Вообще-то понятие яркости определено для источников света (п. 1.5). Но изображение тоже можетбыть источником. Пусть линза собирает в фокусе свет от Солнца. Если в глаз попадают расходящиеся от фокуса лучи, или если изображение создается на белом экране,мы будем видеть маленькое «солнце» – яркий диск. Можно ли получить более высокую яркость, чем яркость поверхности Солнца B0 , раз линза собирает лучи с большойповерхности в малое изображение?Солнце излучает 4πR2 · B0 энергии по всем направлениям, и на орбите Земли черезлинзу радиуса r пройдет 4πR2 · B0 · πr 2 /(4πL2 ) эрг/с.
Здесь R – радиус Солнца, L –расстояние до него. Весь этот свет сконцентрируется в пятно площадью π(Rf /L)2 , ина единицу поверхности будет падать B0 r 2 /f 2 . Изображение должно излучать столькоже: B = B0 r 2 /f 2 , и если r > f , то, на первый взгляд, яркость экрана B в этомместе будет больше. Но заметим, что угол ϕ2 = arctg(r/f ) со стороны изображенияполучается большой, ϕ2 > π/4 , и приближение малых углов не работает. Как этоповлияет на результат?Трудно сомневаться, что на 1 см2 изображения приходится B0 · (R2 /L2 ) · (πr 2/πy 2) ,где y – радиус изображения. Как раз его мы определили неправильно: y = f R/L ! Эторавенство справедливо для тонких линз и основано на подобии треугольников, катетыкоторых R, L и y, f , а гипотенуза – луч, проходящий через центр линзы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
