1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Есть ли тут какое-то соответствие?Принцип Ферма́ как раз позволяет в этом разобраться. (Ферма – тот самый автор7Для 97 Tc: Физическая энциклопедия, т. 5, стр. 112; в Химической энциклопедии (т. 4, стр. 560)приводится цифра 2,6 млн лет.Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА20теоремы)8 . Согласно этому принципу, свет из одной точки в другую идет по пути, требующему наименьшего времени. Для простого движения света из лампы A в глаз B,очевидно, получится прямая. Пусть свет попадает из A в B, отражаясь от зеркала (рис.1.11). Отразим симметрично B → B ; путь из A в B равен пути AB .
Путь AB минимален, когда AB – прямая. Легко убедиться, что именно для такого случая угол паденияравен углу отражения.Рис. 1.11.Так же получается закон преломления. Пусть луч преломляется в точке C. Еслисместиться вдоль поверхности на малое расстояние x, то верхний путь луча (в воздухе) удлинится на x sin i , а нижний (в стекле) укоротится на x sin r . Если x = 0соответствует минимальному времени, то оба изменения должны компенсироваться: вминимуме производная времени по x равна нулю. Получаем x sin i/c−x sin r/(c/n) = 0 ,или sin i/ sin r = n .Как же свету удается выбирать минимальный путь, и почему бы ему не двигатьсякакими-то извилистыми путями?Правильный ответ: он именно идет всеми возможными путями, а кажущаяся прямолинейность –это суммарный эффект всех путей.
Возьмем прямую,которую мы воспринимаем как путь света. Для простоты рассмотрим пути типа показанных на рис. 1.12.Рис. 1.12.√На таком пути свет набирает разность хода s = 2 L2 + x2 −2L по сравнению с прямым,если x – высота треугольника. Очевидно, что минимум s = 0 при x = 0 .Теперь позволим свету распространяться по таким путям. Если пути равноправныи надо учесть все, остается сложить волны, прошедшие все пути, и считать окончательную волну результатом интерференции. Пусть по прямой придет свет с нулевойфазой. Соседние волны, для которых высота x мала, придут с малой разностью хода ибудут складываться амплитуды. С возрастанием x появятся бо́льшие сдвиги фаз. Найдем, когда сдвиг фаз будет π (то есть полволны). При малом x из бинома Ньютонаs = x2 /L = λ/2 ; соответствующее x1 = λL/2 . Круг радиуса x1 называется первойзоной Френеля.
Для L = 1 м, λ = 5 · 10−5 см x1 = 0,5 мм.Представим результат интерференции графически, изображая амплитуды волн,8Считается, что так называемая Великая теорема Ферма доказана Э. Уайлзом в 1993 г. «предварительно» и в 1994 окончательно.1.7. Геометрическая оптика. Принцип Ферма21прошедших разными путями, в виде векторов почти одинаковой длины. В духе принципа Гюйгенса эти векторы можно понимать как результат действия источников – тонкихколец, расположенных в средней плоскости и имеющих одинаковые площади (малые посравнению с площадью зоны Френеля).
Сдвиг фаз изображается поворотом векторов.Свет, прошедший через первую зону Френеля, изобразится последовательностью большого числа векторов, образующих почти правильный полукруг, так как фаза конечноговектора сдвинута на π (рис. 1.13). В сумме амплитуда от первой зоны будет равна диаметру круга. Далее начнется вторая зона от x1 до x2 = 2λL/2 = 1,4x1 ≈ 0,7 мм. Ееплощадь равна площади первой зоны. Сдвиг фаз, или направление векторов, изменяется в ней от π до 2π, а последний вектор приходит почти в исходную точку и даетпрактически нулевую интенсивность.
Значит, в точке наблюдения свет, прошедший через вторую зону Френеля, гасит свет, прошедший через первую зону.Конечно, общее количество света, прошедшего через отверстие радиуса x2 , вдвоебольше, но на оси пучка при таких данныхбудет темное пятно. На этот парадокс указалПуассон, когда Френель докладывал свои результаты Французской академии наук. Эксперимент показал, что именно так и есть.Дальше третья зона практически повтоРис. 1.13.ряет первую, четвертая – вторую и т.д. Однако с удлинением пути следует постепенно уменьшать длины векторов, и для большогочисла зон образуется спираль, стремящаяся к центру круга, образованного первымидвумя зонами.
Амплитуда будет равна половине амплитуды от первой зоны, а интенсивность – четверти.Видим, что свободно идущий сквозь всю плоскость свет дает в точке приема такойже результат, как если бы он проходил только сквозь часть первой зоны Френеля споперечником ∼ 0,1 мм. Поэтому у нас и возникает впечатление прямолинейности распространения света. При всей очевидности и практической полезности это впечатлениесовершенно ложное. Поместим посредине между источником и изображением зоннуюпластинку, у которой прозрачны только нечетные зоны Френеля, а четные зачернены.Тогда четные зоны не аннулируют свет, прошедший через нечетные, и интенсивность вточке наблюдения возрастет многократно (рис. 1.14).
При этом мы не добавляем новыйсвет, а, наоборот, убираем часть имеющегося. Такая пластинка называется еще линзойФренеля и действительно дает изображение, как обычная стеклянная линза9 .9В самом деле, она собирает свет от точки – источника в точку на экране. Любой предмет – этосовокупность точек.
Хорошо получается изображение нити лампы накаливания, меняющее цвета принебольшом сдвиге экрана. Цвет определяется длиной волны, для которой выполняется условие Фермапри данном расположении лампы, пластинки и экрана.22Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАРис. 1.14.Этот опыт доказывает, что свет не распространяется прямолинейно, а использует все возможные пути. Суммирование же вкладов с разными фазами обычно маскирует этот плюрализм и симулирует прямолинейность распространения. Аналогичнопри отражении свет не ограничивается точкой геометрического отражения, а прощупывает все пути, в том числе неожиданные.
Если выкрасить зеркало в области, далекойот геометрического отражения, полосками черной краски, из него может получиться дифракционная решетка, отражающая свет далеко «вбок». Подробно эта ситуацияописывается Р. Фейнманом в популярной книге: «КЭД: странная теория света и вещества». Там же затронуты более тонкие вопросы: с чем интерферирует одиночныйфотон, еще более замысловатые способы распространения света с рождением по дорогеэлектрон-позитронных пар, которые при аннигиляции опять дают свет, и т.д.Тем не менее возможен и другой вывод: законы геометрической оптики в пределахсвоей компетенции вполне пригодны. Мы можем считать, что свет распространяетсяпрямолинейно и отражается зеркально, когда на его пути нет разных хитрых линзФренеля, малых отверстий или дифракционных решеток.
Поскольку результат не зависит от наших представлений, удобно говорить о лучах света, с тем же основанием,как атомы можно представлять себе блестящими шариками.Лучами же будут те линии, вблизи которых пути света удачно интерферируют:складываются амплитуды. Это будет, когда разности хода (а в среде разности временихода) для близких путей малы, что достигается как раз для пути наименьшего времени.Для произвольного пути при малом его шевелении разность хода пропорциональнасмещению, а для минимального – квадрату смещения.Еще укажем, что реально существующие тонкие лучи света легко способны ввести взаблуждение. Они тонкие сравнительно со своей длиной, но очень толстые сравнительнос длиной волны. Луч лазера, похожий на спицу, на самом деле – плоская волна, вмасштабе λ практически бесконечная поперек направления распространения.1.8Оптические приборыХорошо бы иметь устройство, собирающее лучи из целого пучка, выходящего из однойточки, опять в точку.
Одна такая система – глаз – позволяет нам видеть. Точки предметов отображаются на заднюю стенку глаза – сетчатку. Из опыта известно, что годитсяеще выпуклая линза.1.8. Оптические приборы1.8.123Линзы, сферические зеркала. Построение изображенийПусть источник света расположен на расстоянииa от линзы, а изображение – на расстоянии b с другойстороны (рис. 1.15). Длина пути по прямой a+b , а по√√ломаной высоты x она больше: a2 + x2 + b2 + x2 .Для малого x, то есть тонкого пучка, это преобразуРис.
1.15.ется в a + b + x2 /2a + x2 /2b , что явно длиннее.По принципу Ферма, для схождения лучей в точку надо обеспечить одинаковоевремя для всех путей. Поэтому короткие пути надо сделать более медленными. Линза,в стекле которой свет замедляется, толще в середине, и можно ожидать компенсации.Берем плоско-выпуклую линзу из стекла с показателем преломления n и радиусомкривизны одной поверхности R.
Если максимальная толщина линзы h0 , то на высотеx будет меньшее значение h ; разница h0 − h = R(1 − cos α) = Rα2 /2 = x2 /2R . Уголα = x/R проведен из центра кривизны и тоже мал. Получаем h = h0 − x2 /2R .Для упрощения записи вместо времени прохождения светом по любому пути (т.е.суммы геометрических расстояний, деленных на c или (c/n)), принято употреблятьоптическую длину пути, у которой «медленные» участки внутри стекла берутся с коэффициентом n. При малых углах путь внутри линзы можно считать горизонтальным.Оптическая длина пути с высотой x будет x2x2x2 1 1 n − 1x2x2− h0 −+ −a++ b++n h0 −= a+b+(n−1)h0 +.2a2b2R2R2 a bRВ левой части вначале записаны пути «по воздуху», а затем – внутри линзы. Полученноевыражение не зависит от x при условии11 1+ = ,a bfгде f = R/(n−1) называется фокусным расстоянием.
Это и есть формула линзы. Параллельный пучок, для которого a = ∞ , как раз собирается на фокусном расстоянииот линзы. Применяется и другая форма записи формулы линзы:xx = f 2 ,где x и x – расстояния от предмета до фокуса и от изображения до другого фокуса.Она легко получается из основной формулы.Если линза имеет два радиуса кривизны, то111= (n − 1) ·+.fR1 R2У собирающей линзы один из радиусов может быть отрицательным (выпукло-вогнутаялинза), однако вогнутая поверхность должна быть менее кривой.24Глава 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
