1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. k0 +δk, считая известной зависимость ω(k).Применить комплексное представление, а суммирование заменить интегрированием:k0 +δkexp(i(kx − ωt))dk .exp(i(kx − ωt)) =⇒k0 −δkПоказать, что при линейном разложении ω(k) вблизи k0 результат пропорционаленexp(i(k0 x − ω0 t)) ·sin (δk(x − (dω/dk)t)).δk(x − (dω/dk)t)Первый множитель – это основная волна, а второй – ее амплитуда, или огибающая.Нарисовать, как эта огибающая выглядит. С какой скоростью распространяется волна?1.2Интенсивность. Интерференция. Принцип ГюйгенсаМы не воспринимаем отдельные световые колебания. В предыдущем параграфе демонстрировалось, что частота света по нашим масштабам огромна, а период колебаний мал( T ∼ 10−15 c). Аналогично мы не различаем отдельных максимумов в звуковой волне,частота которой на много порядков меньше. Тем не менее мы видим свет и слышимзвук.
Очевидно, ощущается какая-то усредненная характеристика. Среднее электрическое поле волны равно нулю. Разумно назвать интенсивностью волны средний квадрат поля: I = A2 · cos2 (kx − ωt) = A2 /2 для монохроматической волны. Угловыескобки подразумевают усреднение в каждой точке пространства по времени, большомупо сравнению с периодом волны (для человеческого восприятия – за доли секунды, т.е.порядка 1014 периодов).
Интенсивность – это энергетическая характеристика (вспомним, что для электромагнитных волн – света – энергия как раз E 2 /4π ).Сложим две волны, фазы которых отличаются на константу ϕ (как говорят, сдвинутые по фазе):A · cos(kx − ωt) + A · cos(kx − ωt + ϕ) = 2A cos(ϕ/2) · cos(kx − ωt + ϕ/2) .6Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАВыходит волна, амплитуда которой в зависимости от ϕ может быть от 0 до 2A. Интенсивность этой суммы будетI = 4A2 · cos2 (kx − ωt + ϕ/2) · cos2 (ϕ/2) = 4 cos2 (ϕ/2) ·A2.2Она может меняться от нуля до учетверенной интенсивности одной волны.Явление взаимного гашения или, наоборот, непропорционального увеличения интенсивности при сложении волн называется интерференцией.
В быту интерференциюдвух источников получить не просто. Допустим, что фазовый сдвиг ϕ сам изменяется, скажем, с частотой 102 Гц. Именно с такой частотой «мигает» лампа накаливания,что нам незаметно. Тогда надо усреднить суммарную интенсивность еще и по ϕ. Тогдаcos2 (ϕ/2) тоже даст множитель 1/2, и суммарная интенсивность будет равна суммеинтенсивностей отдельных волн 2(A2 /2) . Заметим, что в этом примере стабильностьϕ сравнительно с основной частотой огромная: порядка 1013 .Чтобы получить интерференцию, надо очень жестко зафиксировать фазовый сдвиг.Поэтому, включив две лампы, мы всегда получим удвоенную освещенность, а не учетверенную либо нулевую в разных местах: фазы волн от ламп случайны и быстро колеблются. Говорят, что для интерференции волны должны быть когерентны, то естьих фазы увязаны между собой.
Например, вторая (сдвинутая) волна может получатьсяразделением пучка одного источника зеркалами и т.п. В акустике нет такого запасапорядков величины, и нетрудно заметить интерференцию от разных струн расстроенного рояля («плавание» звука). Потому-то волновая природа звука очевидна давно, адо света дело дошло только в начале XIX века.Но часто люди наблюдают интерференцию без всяких приспособлений, не осознаваяэтого.
Например, мыльные пузыри или масляные пятна на воде переливаются разнымицветами. Это не потому, что они так раскрашены: при смещении глаза перемещаются ицветные полосы, это самая настоящая интерференция. Если где-то глаз видит красноепятно, значит из этого места идут интерферирующие с усилением красные лучи. Болеетого, всякий объектив, в том числе хрусталик глаза, есть прибор, сводящий расходящийся из точки пучок лучей в другую точку, что и означает интерференцию (подробнеемы рассмотрим это далее, п.
1.8.3). Видеть предметы – это значит регистрировать интерференцию исходящих от них лучей.«Положительная», или конструктивная интерференция, при которой происходит рост интенсивности выше ожидаемого, может вызывать сомнение по энергетическим соображениям.Откуда берется учетверенная мощность, когда мы включаем два одинаковых источника? Разумеется, не менее важен случай «отрицательной», или деструктивной интерференции, но она нетак поразительна: к потерям энергии мы психологически готовы. Поэтому разберем вариантусиления. Выделим два крайних случая:• Если источники работают независимо друг от друга, то вместе они испускают двойную мощность единичного источника. Тогда учетверенная интенсивность возможна, но1.2.
Интенсивность. Интерференция. Принцип Гюйгенса7отнюдь не повсюду. В одних местах амплитуды будут складываться, но в других – вычитаться, и интенсивность будет варьироваться в пространстве так, что в среднем получится удвоенное значение. Пример такого неоднородного распределения рассматривается вследующем параграфе (дифракция на двух щелях).• Можно организовать такие два источника, которые смогут давать учетверение интенсивности во всем пространстве. Например, рассмотрим магнитный диполь в виде катушки из двух одинаковых витков, очень близких друг к другу, по которой проходитпеременный ток.
Эта система излучает электромагнитную волну двойной амплитуды посравнению с одновитковой катушкой при таком же токе, соответственно интенсивностьвсюду учетверенная. Однако мощность, которая требуется для возбуждения такого тока, также в четыре раза больше мощности N1 , необходимой при одном витке (мощность,как следует из электродинамики, равна V I = LIdI/dt, а индуктивность L пропорциональна квадрату числа витков). Если же питающий генератор неспособен выдаватьучетверенную мощность, получится меньший ток.Еще интереснее совмещение двух одинаковых витков с раздельным питанием.
Поляудваиваются, интенсивность учетверяется, хотя каждый генератор, на первый взгляд,производит мощность N1 . Здесь следует учитывать взаимную индуктивность контуров.Магнитный поток Φ1 , созданный каждым генератором, пронизывает и «свой», и соседний контур, то есть поток через каждое кольцо равен Φ = 2Φ1 . Напряжение на выходегенератора, пропорциональное производной dΦ/dt, также удваивается; следовательно,каждый из двух генераторов вынужден развивать двойную мощность, хотя они изолированы гальванически (не связаны никакими проводами). Магнитная связь не менеедейственна.Между этими двумя крайностями и лежит в общем случае ответ на парадокс.
В той степени,в которой возрастает интегральная интенсивность по сравнению с примитивным суммированием, всегда имеется взаимное влияние источников, повышающее их выходную мощность.Принцип Гюйгенса в простейшей форме гласит, что каждая точка фронта волныявляется источником сферических расходящихся волн. Огибающая семейства этих волнчерез малое время даст новое положение фронта, и т.д. Это положение можно доказать,рассматривая решения волнового уравнения, а с другой стороны, оно очевидно почтидо степени тавтологии. Например, волна на воде – это поднятие уровня.
Ясно, чтовозвышение подействует на соседнюю воду и приведет ее в движение. То же самое дляакустики – изменившееся давление толкнет соседний газ, и для оптики – поля E иH на фронте создают такие же поля впереди, а вовсе не фонарь, зажженный где-торанее. Вообще волновые процессы явно предполагают близкодействие.В более детальной форме принцип Гюйгенса – это приближение, которое применяется в задачах дифракции. Рассмотрим плоскую волну, падающую на непрозрачныйэкран с отверстием. Отверстие можно рассматривать как источник, от которого черезмалое время в центральной части волна продвинется, оставаясь плоской, но загнетсяпо краям.
По мере продвижения огибающих вдали от отверстия получим волну с почтиГлава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА8сферическим фронтом. Это не значит, что отверстие эквивалентно точечному источнику: амплитуда волны на фронте, как мы увидим, отнюдь не одинаковая. Память обисходном параллельном пучке сохраняется, но часть световой энергии распределяетсяв стороны. Эту способность волн загибаться за края препятствий и называют дифракцией. Строго говоря, эта задача требует решения уравнений Максвелла с граничнымиусловиями на экране и на естественных границах (например, слева от экрана источниксвета, а справа другой экран, на котором наблюдается результат прохождения света).При этом надо знать свойства материала обоих экранов, источника и, возможно, условия еще на каких-то границах. В частности, правый экран отражает свет налево, этотсвет проходит в отверстие и влияет на источник, и пр.Такие сложные задачи крайне редко удается решить точно, и очень трудно решатьих численно.
Но в случае, когда размеры отверстия гораздо больше длины световойволны, волновые свойства света проявляются слабо, и достаточно учесть их в первом приближении. Именно, считается, что поле в отверстии такое, как создавал быисточник в отсутствие экранов, а на остальной поверхности непрозрачного экрана поле точно нулевое. Каждый элемент dS площади отверстия есть источник проходящейсферической волны, амплитуда которой пропорциональна произведению dS на амплитуду падающей волны и спадает обратно пропорционально расстоянию, как положеносферической волне.
Это позволяет записать поле прошедшей волны в видеexp(i(kR − ωt))u ∝ u0dS ,RSгде dS – элемент поверхности отверстия S, R – расстояние от dS до точки наблюдения,u0 – амплитуда падающей волны.1.3Дифракция. Дифракционная решеткаПусть плоская волна, то есть параллельный пучок света, падает на непрозрачный экран,имеющий две щели, ширина которых гораздо меньше расстояния между щелями d.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
