1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Попринципу Гюйгенса, щели рассматриваем как два источника, излучающие когерентно:точно в фазе. Что будет видно на втором, удаленном на большое расстояние L, экране?Выберем угол θ отклонения лучей. При удаленном экране ( L d ) лучи, сходящиесяна экране, практически параллельны и имеют разность хода ∆ = d · sin θ . (На рис.1.3 экран не удалось достаточно отодвинуть, и кажется, что лучи не сходятся в однойточке; здесь отдано предпочтение параллельности лучей, а не их сведе́нию, чтобы яснеепоказать ∆). Поскольку расстояние L велико, на ослабление волн от обоих щелеймалая разница ∆ не влияет, т.е. на экране складываются волны одинаковой амплитуды.Однако различие фаз этих волн k∆ = 2π∆/λ учитывать необходимо (так как длинаволны λ мала).

Если разность хода равна нулю или целому числу n длин волн, то1.3. Дифракция. Дифракционная решетка9Рис. 1.3.волны от двух источников имеют разность фаз, кратную 2π, и будут складываться.Наоборот, когда разность хода равна λ/2 + nλ, волны будут друг друга гасить.

Поэтомуна удаленном экране будет не две светлых полосы на расстоянии d друг от друга, как,скажем, от двух окон, а чередование большого числа светлых и темных полос. Угол θдля первой темной полосы: sin θ ≈ θ = λ/2d , положение ее на экране y = Lθ = Lλ/2d .При y = Lλ/d будет светлая полоса, дальше опять темная, и т.д.Найдем распределение интенсивности. Вместо тригонометрической удобнее комплексная запись волны. Пусть волна A · exp(i(kx − ωt)) приходила бы по направлениюθ на экран из источника, находящегося точно между щелями.

Тогда от верхней щелипридет сигнал A · exp(i(kx − kd sin θ/2 − ωt)) с более ранней фазой, а от нижней придетA · exp(i(kx + kd sin θ/2 − ωt)) с запаздыванием по фазе. Складываем:A·exp(i(kx−ωt))·(exp(ikd sin θ/2)+exp(−ikd sin θ/2)) = 2A·exp(i(kx−ωt))·cos(kd sin θ/2) .Возвращаемся к действительной записи: 2A · cos(kx − ωt) · cos(kd sin θ/2) . (Это, скажем,электрическое поле в точке экрана, определенной углом θ). Чтобы найти интенсивность,возводим в квадрат и усредняем по времени:I = 2A2 · cos2 (kd sin θ/2) .Заметим, что при θ = 0 наблюдается центральный максимум, как раз где должна бытьгеометрическая тень. Первый нуль будет при kd sin θ/2 = π/2 или sin θ = λ/2d , смыслчего разъяснен выше.Как и в задачах переменного тока, иногда удобно сложение волн изображать графически. Волну от одной щели в точке наблюдения рисуем в виде горизонтальногоединичного вектора, а от второй – вектора такой же длины, повернутого на угол, соответствующий сдвигу фаз (рис.

1.4). При разности хода λ/4 сдвиг равен π/2, при λ/2уже будет π, и т.д. Далее вся конструкция вращается против часовой стрелки с угловойскоростью ω. Амплитуда в точке наблюдения будет суммой векторов. Видно, что онаможет меняться от 0 до 2, а интенсивность – от 0 до 4.Сколько же будет полос от двух щелей? Одна щель тоже дает дифракцию. Пустьширина щели a, представляем ее как набор линейных источников, дающих в точкеГлава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА10наблюдения амплитуду, пропорциональную их ширине dz.

Суммируем сигналы:a/2exp(ikz · sin θ)dz =exp(i(kx − ωt)) ·−a/2ika sin θei(kx−ωt)sin(ka sin θ/2)ika sin θ· exp.=− exp −= a · ei(kx−ωt) ·ik sin θ22ka sin θ/2Интенсивность получим, усреднив квадрат амплитуды:I∼a2 sin2 (ka sin θ/2).·2(ka sin θ/2)2При θ = 0 – главный максимум, при 0,5 · ka sin θ = nπ – нули. При этом разностьхода от верхнего и нижнего краев щели a sin θ = nλ : края должны интерферироватьв фазе. Зато верхний край уничтожается с серединой, и т.п. Главный максимум вдвоешире боковых (например, между π и 2π).

Величина первого бокового максимума около5% от главного, остальные еще меньше (рис. 1.5).Рис. 1.5.Рис. 1.6.В геометрическом представлении (рис. 1.6) амплитуда в направлении точно вперед – это суммамногих малых амплитуд, вытянутых в линию. Считаем, что длина этой линии 1. Под углом θ максимальная разность хода a sin θ , фазовый сдвигϕ = 2πa sin θ/λ . Если первый из маленьких векторов горизонтален, то последний будет под углом ϕ,Рис.

1.4.а образуют они дугу окружности длиной опять же1. Амплитуда будет хордой этой дуги, то есть 2R sin(ϕ/2) , а дуга 1 = Rϕ . ВыражаяR, получим ту же формулу: I ∼ (sin(ϕ/2)/(ϕ/2))2 . Первый нуль будет при ϕ = 2π ,когда дуга загнется в полный круг, и амплитуда станет нулевой. Отсюда легко оценитьпервый боковой максимум: надо из единичной веревки свернуть полторы окружности.Диаметр будет 2/3π = 0,2122 , интенсивность (2/3π)2 = 0,045 .

Чтобы получить более1.3. Дифракция. Дифракционная решетка11точное значение 0,0472 из формулы, надо приравнивать нулю громоздкое выражениепроизводной интенсивности.Угол на первый нуль θ = 2π/ka = λ/a . Здесь, как и в прошлом примере, светне идет по прямой, а согласно своей волновой природе разбегается в стороны. Уголрасхождения, или дифракционный угол, всегда порядка (длины волны)/(поперечникисточника). Интенсивность в максимуме ∼ a2 , его угловой размер ∼ λ/a , и полная энергия, попадающая на экран, пропорциональна ширине щели a, как и следовалоожидать.

Вклад боковых максимумов – несколько процентов.Разумеется, дифракция от двух щелей будет наблюдаться, когда дифракционныепучки отдельных щелей накладываются. В частности, поэтому мы не видим таких эффектов в комнате с двумя окнами: при макроскопическом отверстии угол расхождениямал2 ; на стене будут видны два ярких пятна даже при когерентном освещении. Еслиже от достаточно узких щелей главные максимумы пучков перекроются, то в областивзаимодействия и будут, собственно, полосы интерференции; их количество ∼ d/a .

Отметим, что лазер для наблюдения интерференции необязателен, иначе бы ее не открылЮнг в 1807 году. Мы часто наблюдаем дифракцию, не подозревая об этом. Например,если смотреть на яркий точечный источник, зажмурившись, можно увидеть цветныеполосы; это дифракция на зазорах между ресницами, а экраном служит сетчатка глаза.Пусть в экране много (N) щелей. Тогда получается дифракционная решетка.Она дает главные максимумы тех же направлениях, что и две щели с тем же разносом d: при d sin θ = nλ все щели работают в фазе. Однако если чуть увеличитьθ, прибавив всего одну волну на нижнем краю решетки, амплитуда уже обратится внуль.

Как и в случае одной щели, при этом взаимно гасятся волны от первой щелии от щели с номером N/2 , от второй и N/2 + 1 ... В геометрическом представленииполучится замкнутый N – угольник, при большом N почти окружность. Видно, чтоглавные максимумы решетки очень узкие ( ∼ λ/Nd ), зато яркие: в них интенсивность∼ N 2 , а суммарная энергия, разумеется, пропорциональна числу излучателей N. Между ними находятся ≈ N мелких боковых максимумов, относительная интенсивностьпервых из них такая же, как в картине дифракции на одиночной щели.

Нетрудно получить и распределение интенсивности от решетки подобно уже рассмотренным примерам. Складывая сумму видаexp(ikd sin θ ·n) , пользуйтесь формулой геометрическойnпрогрессии.Дифракционные решетки полезны при исследовании излучения, содержащего волны с разными длинами, позволяя разобраться в его составе. Спектром излучения называется набор всех составляющих его волн, для математика это – набор компонентразложения Фурье.

Например, спектр волны вида cos(δk · x − δω · t) · cos(kx − ωt),рассмотренной в п. 1.1 на стр. 4, содержит две компоненты с частотами ω ± δω. По2Не надо путать дифракционное расхождение с размытием границ при освещении протяженнымисточником (полутени от Солнца, лампы и пр.)Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКА12сле взаимодействия с дифракционной решеткой каждая компонента образует свои дифракционные линии. На экране (обычно это фотопластинка) получится набор полос,напоминающий наложение двух гребенок с разным шагом.

Нулевые главные максимумы (n = 0) совпадают, но уже первый максимум (n = 1) на фотопластинке распадетсяна две близко расположенные линии. Это и покажет, что спектр содержит ровно двекомпоненты. Чем больше штрихов у решетки, тем лучше ее разрешающая способность– линии спектра получаются яркими и узкими.Рентгеновские лучи – это свет с малой длиной волны (например, у меди есть линия λ = 1,54 Å).

Характеристики

Список файлов лекций