1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Следует сравнивать угловой размер изображения Y /b с размером X/L25 , подкоторым смотрел бы невооруженный глаз на расстоянии наилучшего зрения L25 = 25см. Из подобия треугольников с катетами Y и X (рис. 1.18) получаем отношениеXXYXL25Y=≈ , откуда увеличение U =.=bafbL25fЛупа должна иметь по возможности малое фокусное расстояние (большую «силу»).Линза с фокусным расстоянием 2,5 см увеличивает в 10 раз (обозначается 10× ). Дляблизоруких, у которых расстояние наилучшего зрения меньше, меньше и толку от лупы.Рис. 1.18.Левенгук изготовлял однолинзовые микроскопы (попросту лупы) с увеличением всотни раз, для чего надо f ∼ 2,5 мм. Поскольку поперечник линзы должен бытьзаметно меньше ее радиуса кривизны, ясно, какая требовалась ювелирная работа.Сейчас имеются микроскопы с увеличением ∼ 103 .
Поскольку одна линза не позволяет этого добиться, не поможет ли еще одна? Очевидный прием – создать изображениеодной линзой (объективом), а затем рассматривать его через другую линзу (окуляр).Пусть предмет размера X находится чуть дальше фокуса объектива и создаетдействительное изображение размера Z на расстоянии L. Увеличение Z/X = L/f1 .Далее, окуляр дает изображение с увеличением Y /Z = L25 /f2 , так что в итогеY /X = (LL25 )/(f1 f2 ) . При L ≈ L25 , что примерно и выполняется для микроскопов,увеличение порядка квадрата величины, характерной для одной отдельно взятой лупы.На рис.
1.18 проведен луч, явно не проходящий через первую линзу. Такие лучи темне менее можно использовать для построения, воображая, что линза продолжена вверхи вниз на сколько нужно. Этим несколько улучшается наглядность для второй линзы:она «видит» расходящийся из нижней точки изображения пучок, а добавочный луч покрайней мере не идет мимо.28Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАУ близко расположенных линз складываются оптические силы. Рассмотрим оптические свойства разнесенных линз. Как ни странно, система из двух линз f1 и f2аналогична одной тонкой линзе, свойства которой зависят от f1 , f2 и расстояния между линзами d.
Единственно, что расстояния A и B надо отмерять не от линз, а отнекоторых главных плоскостей.Найдем положение главных плоскостей и фокусное расстояние пары линз. Пусть для определенности расстояние d < f1,2 . Пустим слева параллельный пучок. Первая линза собираетего в фокус f1 . Но стоящая на дороге вторая загнет лучи еще сильнее (рис. 1.19). Для нее «источник» находится на расстоянии −(f1 − d) ; знак обозначает правую сторону второй линзы.По формуле −1/(f1 − d) + 1/b = 1/f2 .Рис.
1.19.Получаем положение точки сбора лучей относительно второй линзы b = f2 (f1 − d)/(f1 +f2 − d) . Теперь продолжим преломленный луч до пересечения с продолжением исходногопараллельного оси луча. Расстояние от второй линзы до точки E пересечения ∆2 = bf1 /(f1 −d) − b = df2 /(f1 + f2 − d) . Если пустить параллельный пучок справа, аналогичная точка будетна расстоянии ∆1 = df1 /(f1 + f2 − d) от первой линзы.Вот это и будут главные плоскости: параллельный пучок для внешнего наблюдателя какбы преломляется один раз – в точке E – и дальше идет прямиком в фокус. Фокусное расстояниетакой системы F = b + ∆ = f1 f2 /(f1 + f2 − d) симметрично по отношению к перестановке линзи, значит, не зависит от направления пучка.
Сумма ∆1 + ∆2 = d(f1 + f2 )/(f1 + f2 − d) >d при принятых ограничениях (когда линзы не слишком далеко), так что между главнымиплоскостями имеется область «перекрытия».Правила построения в системе с различными главными плоскостями (рис. 1.19): параллельный оси луч ведется до главной плоскости, затем прыгает к другой плоскости и дальшеведется через фокус; луч, проходящий через фокус, доходит до главной плоскости, перепрыгивает на другую, сохраняя расстояние до оси, и идет параллельно. Все как в тонкой линзе,только выбрасывается расстояние между главными плоскостями.Надо еще убедиться, что для составной системы выполняется формула линзы, то есть1/A + 1/B = 1/F , где A = a + ∆1 и B = b + ∆2 отмеряются от главных плоскостей. Дляэтого используем уже известный факт фокусировки параллельного пучка.
Если луч на любойвысоте h от оси приходит в фокус, то можно записать равенство оптических путей осевого ипробного луча:h2= ∆(0) + F ,∆(h) + F +2F1.8. Оптические приборы29где ∆(h) – разность хода, которая набирается в системе для пробного луча (по построению мыможем считать, что это происходит между главными плоскостями), ∆(0) – для осевого, h2 /2F– геометрическое удлинение пути пробного луча.
Теперь пускаем луч из точки A и допустим,что он приходит в точку B:h2h2+ ∆(h) ++ B = A + ∆(0) + B .2A2BСравнивая с предыдущим уравнением, немедленно получаемA+111+= ,A BFчто и требовалось. Для двух тонких разнесенных линз можно получить то же самое и прямымотображением в линзах по очереди, но вычисление довольно громоздкое.В существовании главных плоскостей легко убедиться, выкрутив объектив фотоаппарата и фокусируя удаленный объект (типа Солнца).
Отмерив от фокусов по 50мм, увидим, что порядка сантиметра внутри объектива еще остается. Несмотря на внушительные порой размеры, объектив работает как тонкая линза (с учетом раздвижкиглавных плоскостей)! У одной тонкой линзы обе плоскости совпадают с самой линзой.Если вернуться к микроскопу, то удобнее букву d заменить на длину тубуса L.Аналогичное построение для случая L > f1 + f2 даетF =f1 f2,L − f1 − f2∆1 =f1 (L − 2f2 ),L − f1 − f2∆2 =f2 (L − 2f1 ),L − f1 − f2причем главные плоскости расположены снаружи микроскопа вблизи фокусов окуляраи объектива (при f1 = f2 точно в фокусах). Так как обе линзы короткофокусные,F ≈ f1 f2 /L, и микроскоп аналогичен лупе с таким фокусным расстоянием.Интересная комбинация линз – телескоп.
Простейший кеплеровский телескопсостоит из двух линз, фокусы которых совмещены (d = f1 + f2 ) . Поскольку он применяется для рассмотрения удаленных объектов, играет роль угловое увеличение. Еслипараллельный пучок света идет под углом ϕРис. 1.20.к оси, он сфокусируется в фокальной плоскости объектива (рис. 1.20). Дальше лучи расходятся как бы из этой точки, и из второйлинзы выходит опять параллельный пучок, но уже под углом ϕf1 /f2 . Действительно,проведем пунктирный (на самом деле несуществующий) луч через общий фокус параллельно центральному лучу пучка. Этот вспомогательный луч после окуляра идетпараллельно оси. В задней фокальной плоскости окуляра он должен пересекаться спреломленным центральным лучом, что и помогает направить выходящий пучок.Делая окуляр короткофокусным, а объектив длиннофокусным, получаем большоеугловое увеличение f1 /f2 .
Например, угол ϕ может быть между двумя звездами, илидеталями на поверхности Луны.30Глава 1. ВОЛНОВАЯ ФИЗИКА И ОПТИКАТакой телескоп переворачивает изображение, что неудобно почти всегда (например, в военном или морском деле). Исправить этот дефект можно, взяв третью линзус фокусным расстоянием f3 и увеличив длину телескопа на 4f3 . Третья линза будет«связывать» фокусы окуляра и объектива, находясь на 2f3 от каждого. Поскольку увеличение для расстояния 2f3 равно 1, она будет только переворачивать изображениееще раз, устраняя неудобство простого телескопа.
Получается очень длинная подзорная труба. В биноклях изображение переворачивается двумя призмами, отчего на нихзаметно характерное «колено». Объективы наиболее крупных телескопов (до 5 – 6 м вдиаметре) делаются зеркальными, так как большие стеклянные линзы деформируютсяпод собственной тяжестью.Галилеевский телескоп состоит из длиннофокусного объектива и рассеивающейлинзы – окуляра, помещенной на расстоянии f1 − | f2 | (рис. 1.21).Объектив пытается собрать параллельный пучокв фокальной плоскости, общей для обоих линз, а окуляр делает опять параллельный пучок, но идущийуже под углом к оси, увеличенным в f1 / | f2 | раз.Здесь вспомогательный луч проведен через центрокуляра и должен пересекаться с продолжением центрального луча в передней фокальной плоскости окуРис. 1.21.ляра.
Изображение не перевернутое; третья линзаили призмы не нужны. Поскольку к тому же фокусные расстояния не складываются,а вычитаются, то система получается короче и используется, например, в театральныхбиноклях и в других случаях, когда компактность важнее качества изображения.Оценить увеличение бинокля или зрительной трубы можно также, как отношениедиаметров объектива и окуляра, исходя из того, что весь параллельный пучок долженпопасть в глаз.1.8.3Пределы увеличения. Условие Аббе. Возможности оптикиВыясним ограничения на увеличение микроскопа. В формулу увеличения входит длинатубуса, при тубусе длиной 10 м и фокусных расстояниях объектива и окуляра 1 смувеличение будет 25000.
Еще имеется некоторая свобода для роста увеличения.Поскольку для большого увеличения предмет следует располагать близко к фокусу,а фокусное расстояние делать по возможности малым, надо рассмотреть особенностиизображения широкими пучками лучей. Для источника, находящегося на оси, желательно, чтобы все лучи, а не только близкие к оси, сходились в точке изображения.Ясно, что зеркало или линза со сферическими поверхностями таким свойством не обладает – имеется сферическая аберрация. Особенно очевидна она для зеркала, скажем,в виде полусферы.
Для зеркальной фокусировки параллельного пучка подходящая по-1.8. Оптические приборы31верхность – параболоид, а для двух точек – эллипсоид вращения, у которого источники изображение являются фокусами. У линз тоже можно компенсировать сферическуюаберрацию, немного регулируя кривизну поверхности.Но сферическая аберрация – это не единственная неприятность.
Для неискаженности изображения все точки предмета, или хотя бы близкие к оси,должны изображаться резко любыми лучами, в томчисле сильно наклонными. Другими словами, всечасти оптической системы должны давать одинаковое увеличение. Возьмем «предмет» в виде малогоРис. 1.22.отверстия в экране, с центром на оси линзы, освещаемого слева параллельным пучком. За линзой получится перевернутое изображение(рис. 1.22). Лучи 1 и 2, прошедшие от краев предмета через центр линзы, проходят доточек изображения одинаковые оптические пути (не потому, что они интерферируютмежду собой – они идут в разные точки изображения – а просто из симметрии).По принципу Ферма, такими же должны быть оптические пути всех лучей, попадающих в концы изображения.
Возьмем пару лучей от краев источника, идущих подуглом ϕ1 к оси и проходящих, возможно, вблизи края линзы. Перед линзой у нихбудет разность хода d sin ϕ1 (нижний луч 4 длиннее). После линзы лучи пересекаютсяв фокальной плоскости и приходят на изображение с разностью хода y sin ϕ2 , но ужедлиннее луч 3. (Считаем пучок тонким, так что углы лучей 3 и 4 к оси оба практическиравны ϕ2 ). Линза сама не дает разности хода, так что эти отклонения должны взаимнокомпенсироваться. Путь 3 должен интерферировать с путем 2, а путь 4 – с путем 1:d sin ϕ1 = y sin ϕ2(условие синусов Аббе́). Оно должно выполняться для всех углов, в том числе максимальных.Для школьной геометрической оптики с близкими к оси лучами, то есть когда линзы не только тонкие, но и маленькие, синусы можно заменить углами или тангенсами.Тогда условие переходит в dh/a = yh/b , где h – высота прохода луча через линзу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
