1631124647-66d575907c0c0646a184b8c463ba4648 (848584), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В частности, вероятности переходов из одного состояния в другое пропорциональны матричнымэлементам возмущения (поправки к оператору Гамильтона, описывающей внешнее воздействие). Матричное представление физических величин введено Гейзенбергом в 1925г., еще до открытия уравнения Шредингера; каждый оператор Â представлялся матрицей Anm , что позволило построить первую последовательную формулировку квантовоймеханики.
В частности, рассматриваемая ниже некоммутативность операторов в матричном представлении соответствует некоммутативности матричного умножения.Суперпозиции состояний. Первые нормированные волновые функции осциллятора√212Ψ0 = √· exp(−x /2) exp(−it/2) , Ψ1 = √· x exp(−x2 /2) exp(−3it/2) .44ππГлава 2. СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА58Любая линейная комбинация этих функций, например, Ψ = c0 · Ψ0 + c1 · Ψ1 , где ci –вообще говоря, комплексные коэффициенты, тоже является решением нестационарного уравнения Шредингера. Следовательно, осциллятор может находиться и в такомсостоянии; его называют суперпозицией состояний с энергиями 1/2 и 3/2.
Рассмотримнормировку Ψ. В силу нормированности Ψ0 , Ψ1∞∗22Ψ Ψ dx = |c0 | + |c1 | +−∞c∗0 c1∞−∞Ψ∗0 Ψ1dx +c∗1 c0∞Ψ∗1 Ψ0 dx .−∞Легко видеть, что «перекрестные» интегралы равны нулю. Значит, суперпозиция нормирована, если сумма квадратов модулей коэффициентов равна 1. Например, можновзять c0 = 3/5 , c1 = 4i/5. Волновые функции с определенными значениями энергиианалогичны единичным базисным векторам в так называемом гильбертовом пространстве (имеющем бесконечное число измерений, соответственно бесконечному числу уровней энергии); суперпозиция – это разложение произвольного вектора по компонентам.Базисные функции являются ортонормированными ( Ψ∗i Ψj dV = δij ).Средняя энергия суперпозиции двух первых состоянийE = Ĥ = (c∗0 · Ψ∗0 + c∗1 · Ψ∗1 )Ĥ(c0 · Ψ0 + c1 · Ψ1 ) = |c0 |2 E0 + |c1 |2 E1 .При c0 = 3/5 , c1 = 4i/5, E0 = 1/2 , E1 = 3/2 получим E = 57/50 = 1,14.
Однако при измерениях никогда не получится именно такое значение, а будет выходить 1/2 либо 3/2, свероятностями 9/25 и 16/25. После измерения вектор состояния всегда «смотрит» точновдоль какой-то оси: получается энергия какого-то определенного уровня, хотя заранеенеизвестно, какого. Опыт показывает, что вторичное измерение всегда даст уже именноэту энергию. Следовательно, после измерения волновая функция меняется: из линейнойкомбинации компонент получается одна из них. Говорят, что измерение проектирует«смесевую» волновую функцию в одно из чистых состояний.
В другой терминологии,измерение приводит к редукции, или вызывает коллапс, волновой функции: из многих составляющих остается одна. Постулат редукции, введенный Дж. фон Нейманомоколо 1932 г., придал квантовой механике определенную степень завершенности. Долгое время этот уровень считался достаточным, хотя редукция воспринималась многимикак несколько чужеродный элемент. В последнее время ведется активная работа надпроблемой измерения. В общем подтвердилось, что редукция происходит, однако изложение ее «механизма» выходит за рамки данного курса.Можно раскладывать волновую функцию по состояниям с заданными моментамиимпульса, импульсами и пр., как бы используя разные системы координат.
Например,при прохождении плоской волны через щель в экране шириной d из состояния с нулевым поперечным импульсом приготавливается сумма (суперпозиция) состояний с различными значениями поперечного импульса, лежащими в интервале около /d, или,2.3. Волновая функция. Уравнение Шрёдингера59что то же, выйдет набор плоских волн, отклоненных на углы в пределах λ/d. Хотяэто новое состояние известно с максимально возможной определенностью, места попадания в экран будут случайными. Таким образом, источник квантовой случайности– перемешивание нескольких или многих состояний, каждое из которых имеет вполнеопределенное значение измеряемого параметра.
Проявляется же случайность при измерении, то есть взаимодействии квантовой системы с некоторым прибором. Подчеркнем,что вероятностные исходы определяются не нашим неполным знанием, как это бывало в классической физике. Смешанное состояние известно вполне точно, но точнопредсказать исход измерения нельзя, предсказать удается лишь вероятности.
Если приклассическом измерении мы узнаём реальность, то при измерениях, применяемых кквантовым системам, реальность создается (точнее, модифицируется).Коммутаторы. Рассмотрим подробнее свойства произведения операторов. Начнем сдвух произведений: xp̂x и p̂x x, отличающихся порядком сомножителей. Результаты ихдействия на любую функцию не одинаковы:xp̂x Ψ = −ix∂Ψ;∂xpx xΨ = −i∂(xΨ)∂Ψ= −ix− iΨ .∂x∂xКак видно, умножение операторов, вообще говоря, не перестановочно.
Говорят, что координата не коммутирует со «своей» компонентой импульса. Для выделения этогосвойства определим коммутатор – разность двух произведений:[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂  .(2.6)В частности, для пары (x , p̂x ) и подобных ей[x, pˆx ] = [y, pˆy ] = [z, pˆz ] = i .(2.7)Разумеется, бывают и коммутирующие операторы, например p̂x p̂y = −2 ∂ 2 /∂x∂y =p̂y p̂x , т.е. [p̂x , p̂y ] = 0; аналогично [y, p̂x] = 0, как и прочие «перекрестные» коммутаторы.Если два оператора не коммутируют, невозможно подыскать волновую функцию,которая была бы собственной функцией обоих операторов. Действительно, если бы такая функция существовала, при любом порядке применения операторов (ÂB̂ или B̂ Â)функция просто умножалась бы на произведение собственных значений операторов, икоммутатор обратился бы в нуль.Если Ψ есть собственная функция некоторого оператора  с собственным значениемa, то среднее значение величины, определяемой этим оператором (короче – среднеезначение оператора) в состоянии, описываемом указанной функцией, равно a:∗ = Ψ ÂΨ dV = a Ψ∗ Ψ dV = a .Рассмотрим квадрат отклонения от среднего:( − a)2 = Â2 − 2a + a2 .Глава 2.
СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА60Легко видеть, что среднее значение этого выражения по данному состоянию равно нулю. Это значит, что отклонение отсутствует, т.е. измерение данной величины в данномсостоянии всегда дает одно и то же значение a. Другими словами, в состоянии, описываемом собственной функцией оператора физической величины, эта величина имеет вполне определенное значение, совпадающее со средним. В противном же случаеизмерения всегда будут давать квантовый разброс вокруг среднего значения. Можнопоказать, что верно и обратное: состояние с определенным значением величины естьсобственная функция ее оператора.В частности, (2.7) есть запрет на существование общих собственных функций у координаты x и импульса px .
Значит, координата и импульс не могут иметь одновременноопределенных значений. Легко узнать в этом ограничении принцип неопределенностиГейзенберга (п. 2.2.2).Получим точную нижнюю оценку произведения неопределенностей координаты и импульса. Пусть средние значения x и px равны нулю (этого всегдаможно добиться выбором системыкоординат и системы отсчета). Тогда ∆x = x2 и ∆p = pˆx 2 . Рассмотрим операторQ̂ = βx + ipˆx = βx + d,dxгде β – действительное число. Пусть имеется произвольная нормированная волновая функцияΨ(x).
Результатом действия Q̂ на Ψ(x) будет функция βxΨ + dΨ/dx. Запишем интеграл отквадрата модуля этой функции по всей оси x: dΨdΨ∗∗∗βxΨ + dx =βxΨ + f (β) = (Q̂Ψ) (Q̂Ψ) dx =dxdx=β2∗ 22Ψ x Ψ dx + dΨ dΨ∗dx + βdx dxdΨdx +Ψ xdx∗dΨ∗xΨdxdx.Первое слагаемое есть βx2 . Второе, интегрируя по частям, преобразуем к виду22 2dΨ ∗d 22 ∗ dΨ ∗d Ψ∗dΨ = Ψ−dx=ΨΨdx=Ψ∗ p2x Ψ dx = p2x .Ψ−idxdx dx2dxЗдесь вертикальная черта означает подстановку пределов интегрирования ±∞, где функцияобращается в нуль. Аналогично преобразуются остальные слагаемые f (β): ∗ dΨ∗∗ dΨ∗∗ ddx + xΨdΨ = βdx + xΨΨ − Ψ(xΨ) dx .Ψ xβΨ xdxdxdxСнова проинтегрированная часть выпадает, и остаетсяdd∗−x Ψ dx = iβ Ψ∗ (xpˆx − pˆx x)Ψ dx = iβ Ψ∗ (i)Ψ dx = −β .β Ψ xdx dxТаким образом, f (β) представлена в видеf (β) = β 2 x2 − β + p2x .2.3. Волновая функция.
Уравнение Шрёдингера61Минимум f (β) достигается при β = /(2x2 ) и равенfmin =22222−+p.=p−xx4x2 2x2 4x2 Функция f (β) неотрицательна (интеграл от квадрата модуля), откуда и получаем неравенствоp2x x2 2 /4 , или(2.8)∆px · ∆x .2Задача. Показать, что равенство в (2.8) достигается для гауссовой функции Ψ ∝ exp(−βx2 /2).При выводе (2.8) естественным образом возник коммутатор.
Можно показать14 , что и длялюбых некоммутирующих операторов Â, B̂ произведение неопределенностей величин ∆A · ∆Bопределяется их коммутатором.Необычные свойства квантовых величин могут, и даже обязаны, внушать определенное беспокойство. Как понимать такую принципиальную разницу между классической механикой, где все величины – действительные числа, с коммутативным умножением, и квантовой, где импульс и координата не коммутируют?Ответ в том, что и в классике умножение некоммутативно, но мы этого не замечаем:коммутатор [x, px ] = i настолько мал, что его невозможно почувствовать в макромире.Классическая механика получается из квантовой предельным переходом → 0.Другие интерпретации квантовой механики.
Более или менее последовательная «волновая» идеология, изложенная в конце п. 2.2.2 (стр. 50 и далее) – не единственно возможная.Многие придерживаются традиционной точки зрения, по которой существуют только частицы (электроны, фотоны и пр.). Сами они никакие не волны. Волновому уравнению Шредингера подчиняется не электрон, а всего лишь его волновая функция, которая к самой частицеимеет косвенное отношение.
Такой подход, разумеется, возможен, но в его рамках трудно понять, почему электроны дифрагируют (управляются волновой функцией): это их свойствовыглядит случайным и навязанным извне.В последнее время стала популярна многомировая интерпретация квантовой механики.Считают, что реальность состоит из бесконечного числа миров, из коих мы в каждый моментвоспринимаем только один. Всякое событие с несколькими возможными исходами (грубо говоря, бросание игральной кости) порождает «вилку», открывая различные пути эволюции мира.Эта вилка приводит в уже существующие миры, а не создает новые; событие только распределяет миры по классам согласно результатам опыта.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
