1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 94
Текст из файла (страница 94)
а,— пзрзметры провода, ее=1, р,=1, а«=Π— параметры среды, й> и йз— соответствующие волновые числа, причем ерюз+ 14порт сз Зависимость от времени типа е-'т>. Только г-компонента вектора Е отлична от нуля: Е [О.О,Е), трез нее выражаются Нр и Не> >с 1 дЕ >с дЕ Н вЂ” — — —, Н = — —, Н О рю р дт' е ртдр' Для Е Е(р, ~р) получаем> «ге**+ Я а Н"' (й р) е'""г при р ) а, >> з (д,р> е« ч' при р Са, еде а — радиус провала, — Ут(й«а> ~т(йм>) — ««1 ~(Д«а) ут(й а> й« от= — "гт (й,а) Н"' О>«а> — й и" (йза> у рйа1 Р« (т(Ага) „Нтц (йза': ут (й>а) Хт (й>а> 82. Пусть гороид ограничен поверхностями р=а и р=б и плоскостями г= — 1 и г=!. Его можно трактовать как а>трезокз козксизла длиной 21, рассмотренного в задаче 79 Для полярнззциоиных потенцизлов П н П остаипся в силе формулы.
полученные при решении задачи 81, а для собственных функций поперечного сечения ф„и ф„следует взять выражении, приведенные в ответе к задаче 79, УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Если провод идеальна проводящий, то ~ьь (Ь»а) ам= — Рн ~, Ьм О, )Ут «Ь а) Указа н ие, Требуетсн найти решение уравнения АЕ'~'+А»Еп'=О при " с а, АЕ™+6»»Е'а=б прн г) а, причем Е1Щ=Е -«и — есэ»» удовлетворяющее на поверкносги провози р=а условиям непрерывности Е, и УХ „что дает: 1 дЕ'т' дЕ'э' Е'т'=Е'з'. — — = — прн р=а. др др Кроме того, функпия и должна удовлетворять на бесконечности условию излу- чения lди (пп $'р~ — — (Ь»и)= О р ьь ~др Решение ищется в виде (1). Коэффипиенты а,„и Ьж вычисляются из условий при р=-а, причем должно быть использовано разложение егз'» в ряд: е'"»»=»сею »се Е Я (шУ (ЬеР) ео»е.
Если провод идеально проводящий, то А,=со и граничные условия сводятся к одному: Е«я)=есэ'~с~ е-1-и=О прн р=а. Поэтому для аж получзетсн выражение Е»~ Еьн згэ» егег сь» з ~ «он ( 1)»нф (Аг) р «со 6) н=о д'и — + 62«у г д» 1 д»«/ Е = — —, ь — д дз ° йй д(г' Е, = — —— г дб' д»«Н, 1 дд»«Н Е„= — +А»«н. И,= — —, дг» ' г дгдз' ц (йви г дз' О=си, О'=го. 66. Днфракция на идеально нрозодни«см шаре, Плоская волин распространяется по нзпрзвлению полярной оси з сферической системы координат г, 6, ф, электрическое поле поляризована по направлению оси х, а магнитное пале— по направлению оси (д ОТВВТЫ, УКАЗАНИЯ И !ъВГПННИЯ и и' Функции и= — — и о= — находятся из волновык уравненяй Ли+Оса=О т и Ло+йоо=О и граничных условий д --(ти)=0, о=О прн т=а, дг которые являются следствием равенств 1 до(та) !й д Ее--- д ОО =О Е = — — -6(то)=б при =а. Е гда Ос сгьгсооз су с»от»со а дΠ— Ч' (2п+ 1) !л —.
Рл (гъи 6) сов ър, ъул (6») ' о !Ог л=з о дк о Ег= — — Ек=з!и дг ~а»соса з!ВФ д Игсооз дО (2п+ !) ърп ~, Р„о (соз 6) зю ър, !пт ад . Нг= — Ну = ми дг л=е Р" ' (саум 6) = — — Рп (соз 6). С другой стороны, д»о ' " до М(г ~), о до(гоо) Полагая й = — ~ апФл (Ог) Р',о (соз О) сге гр, л=з й= '~„Ьлъул (Ь') Р' '(созе) ип ър, сраннивая оба выражения для Е" н Нг н учитывая уравнение дъ п(п+ !) Фо ъ(тъ л — (гъР )+ Оогъу г получаем: 2л+! ъл о п(п+ 1) й Для того чтобы решить задачу, надо, ирен!де всего, найти потенциалы ио и го для палаюпгзй волны.
Поскольку электромагнитное поле полностью определяется значениями Е, и Н, то вычислим: чн ннлвнсння зллнптнчнского типа Будем теперь иснать решение задачи в виде и(г, 6, (р) = ~ а [$л(лг)+илько (ЯДР» (созб)соз~р, »=О в(г, 6, ~р) ~ а„[жл(йг)+р„~~' (дг))т Рли(созб) пп<р. »=О при г=а позволяют определить ал и Вл: Н .Гп Чрл(х) = — (хтрл (х)), трл (х) = 1/ — Х 1 (х), дх ' 2х з Граничные условия Х' '(Х)= — [хьгл (х)~> Ьгли (Х) =1~ — Ни' ~ Х. дг 1л (бо) ()» ьл (бл) 66. Лшбракцил»а лдоводяиит) с4ере. Если система ноординат н падающая волна выбраны так же, «ак и в предыдущей задаче, то искомые потеипизлы Боргниса «) У=ги и (Г'=го будут определяться вйражениями ил [тря(61г)+ил(л (61г)1 Рл' (созб)осею при г)а (асвдух), о и и «=О и= Алф, (6 г) Р»и (соз 6) сов ~р при г Са, »=О а [1)л(йгг)+Б~(ли (дгг)) Рл (соаб) япю при г)а, л=з В„~Р» (йзг) Рли (соз 6) з! п <р л=а при г «Со, рг а„— Л ') См, задачу 70, 6) [Ч'л (61о) 2л (61о) — фл (61а) гл ' (6~а)[ »в а, л Л вЂ” Ело (лги) $д (дза) — ) Ч~л (аеи) сли (д о) ре РО аналогично записываются выражения для Вл " ()л, ц — волновое число шара, д †волнов число среды.
Составляющие электрического и магнитного полей вычисляются по форму- лам (1) в (2) задачи 66. Исключение составляют выражения для В, и В,; иод д(Р Е ег дб ' (дтс д0 В„=— ы(и' дб ' ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ У к а з а н и е. Следует воспользоваться полученными при решении преды. душей задачи выражениями для потенциалов ио н оо падающей волны.
Граничные услония иа поверхности шара имеют впд 3. Гйзлучение электромагнитных волн 66. Электрический диполь о неограниченном прктранстее. Пусть Р=Рее "'/ — момент кипела. ВЫбеРем сфебическУю системУ кооРдннат г, О, чу, в начале кооРдинат поместим диполь, а ось з напуавим вдоль вектоРа Рв„ тогда можно написать: /1 /6! Е =2 оп 0( — — — ) П, г— ,) ') ч /! /6 Ев=з1п 6~ — — — — йе) Пв г 11 Н,=гй мп 0 ~й — — ) Пм г Е =И =Е!0=0.
Здесь Пч — составлятошая вектора Герца, направленного вдоль оси а, е/Лг По — — рч — е-'~. г ! В волновой зоне (йг,в 1) с точностью до членов порядка — и более выгз какого порядка малоси Ег=й Еб=оч= " з!и 0Пв. Средний за период поток энергии — „Р с ! рейза 1 = 2пгт — — Ебо,е з1П 6 йб = —. ~4п2 ч 3 Указание. См. (7), стр.
455. 87. Указание. Пуси, диполь помещен в начале сферической системы координат г, б, ф, а его момент ро направлен вдоль оси г(0=0). Тогда // =О, На=О, и где и — — решение уравнения г ли+ 6*и =О, причем /аи ~гп г р- — !Аи )=-О (условие излучения), '(дг д д —. (гич)= — О и1), дг дг д д дг дг "- (го,) = — (гог), дч 1 д" Е, — (ги)+ ля (ги), Еб = — — (ги), г дгз г дгдб 1 дз Ег= — — (ги)=О, ° дгдр (1) //и — — !6- и дб" ЧП.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Условие иозбуждения можно взять в виде рйжп 8 Не ~ Рр — прн малых г гр жп 8 Н = — Рейз — е'аг пРи больших г. ч 1 Ерагт (1 и=АЦо(йг)ом8, Дп(йг)= — — ~(й — — ), где А = й)РРр. Отсюда и следуют формулы задачи 88 для составляющих поля Е, Ее, Не. 88. Пусть дипочь с моментом р= ррр ™ направлен вдоль оси г координатной системы г„е, ф„начало которой помещено в центре сферы радиуса а Функция и и(г.
8! определяется по формуле и(г, 8]=(АЬ,(йг)+Вфр(йг)) Р,(ссв8)„ где / л фа(а) = ~/ " З 1(Х) 2х А (йзрр, (йл) йиг) (""1)+пр ' (йп) рп ° г л Н н В 'ч (йи) й Ф'(йа)+Ф (йл) р Сз ( ) 8/ 2Х „+ 3 ( ) 2 (сйр ди Н = —— 'г ры де' Н =О причем еррчы~+ (елррорм при г)а, й',= — "' +, !' при гца. ыз 1 (ал одр ср Функция =( и, при г~а, и= ир при г (а Составляющие поля вычисляются по формулам (!) задачи 87. Указание. Задача отличается от предыдущей' тем, что шресто условия излучения иа бесконечности здесь появляется граничное условие Ее=О или д дг — (ги) О на поверхности сферы прн г а.
Позтому в решении должны содержаться две линейно независимые цилиндрические функции, например нрп, и н"' 1,ж 1 ир' 1, ни' 1 их 1ит.д. мы выбираем .+ -'- .+-'' .+-' .+-' .+-' .+-" 2 2 2 2 функции г' ! и Н'" 1. Постояняая А — та же, что и в предыдущей р+.' р+ 2 2 задаче, постоянная В выбирается из условия при г=а.
69. Если выбрать сферическую систему координат г, 8, ф с началам в центре сферы и полярной осью 8 О, направленной вдоль диполя, то можно написать: дз ! дз(ги) Ег — (ги)+ 82 (ги), Ее = —, Ее — — О, г дгде ' Отпиты. укАВАния и Регпнния определяется формуламн и, = Се[о (Ьгг) Соз б, не=(РИйв (Ьзг)+Вфг (Ьзг]) созе, где ь[г' (айз) 2)1 (айг) ] г)г (айд У,,о (пйз)- Дп (ойг) Ч'~ (айз] — ЧЧ (паз) Я[о (абд Ьзрз ь[г' (ойз) Чгт (айз) — фг (айз) Х[о (ай ] рейз. — Ь[" (алг) Ч г (айз) — фг (айз] 8[г' (айд Ь[рг д и Чгг (х] = . — [хф, (х)), 8[" (х) = — [хь'," (х)[ дх дх При ог-~ со С-ьб.
В-».— ' ', т. е. мы приходим к решению задачи 88. Ч',(айз) ' Прн а -г-оз С -ч- О, В -+. О, и мы получаем решение задачи 88 о днполе в неограниченном пространстве. 90. Введем сферическую систему координат г, б, ф с началом в центре сферы и полярной осью, направленной вдоль диполя. Каа н в предыдущей задаче, В~Р=Вг=Вб=й В~=8'„т (М+Ь (ггд Вб= д ( дз(гп) гсйз дн рог дб ' где [ и, при г~а, и= из при а(г(Ь, из при г) Ь определяется вырангениями из=(р33 [Ь[" (Ьег)+ Афт (Ьег)[ соя 6, из = [Втй (Ьг)+СЦ" (Ьг]) сов 6, нз ))ь[г1 (Ьзг) соз 6 Коэффициенты А, В. С, (] находятся из решения системы следующих четырех уравнений: 62 где [Ь[о (пйз]+Афг (ойз)[ = в, [ВФ (пУг)+Се[в(ай)[, 0(зв(йаЬ) =Ь [Вфг (ЬЬ)+С([' (ЬЬ)[, )гз гр (Рейз [8[г' (Ьза) + АЧ', (Ьза)) = ВЧ', (Ьа) + С8'," (Ьа), )]8[в (Ьзб] = ВЧ г (ЬЬ)+ С8[о (ЬЬ].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
