1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 89
Текст из файла (страница 89)
например, б)б ОТВВТЫ, УКЛЗЛНИЯ И РИШГИИЯ Полагая о= — йгаб 0 илн з=сз1)н где 1/ — потенцнав скоростей, получим для потенциала уравнение колебаний 1/и = сад 11. Полное давление р просто выражается через конденсацию з: Р = Рз 11+ уз). Обозначая Р=Р-Рз — избыточное давление, имеем: Р = — Рзз = Раста.
УРэ Рз Отсюда видно, что иэбьаочное давлеяие Р также удовлетворяет уравнению колебаний Рм=- се бр. Если грж~и|га Х области, в которой ищется решение, предполагается абсолютно жесткой, то на ней нормальная составляющая скорости равна нулю: где и — нормаль к Х. 1 Кинетическая энергия объема дхду да газа равна — рэоздх дуда. 2 Потенциальная энергия, очевидно, дается выражением — 1рз) = — РК 1 1 2 2рзсз Полная энергия в единице объема равна з йг-- 1 оз+ рз 2 2рзст Пользуясь формулой Грина, нетрудно записать закон сохранения энергии в виде —" )Унт= — Удя, У=РФ д Р дт где Т вЂ” некоторый объем, ограниченный поверхностью 8. Вектор у=ро есть поток энергии в единицу времени через единицу поверхности, называемый вектором Умова.
Полная энергия, изучаемая некоторым источнииом в единицу времени (полная мощность), равна где о' — некоторая заики)чая поверхиошь, окружающая и~точняк. 611 У11 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В случае устав вившихся колебаний р,гчм гле амплитуда р удовлетворяет волновому уравнению бр+ йзр = 6.
В дальнейшем мы всюду будем рассматривать установившиеся акустические пронесем, т. е. иметь дело с волновыми уравнениями, опускав, как правило, временной множитель йа»». Если з=жгыг, о=о»ж', то з и о также удовлетворяют волновому уравнению, причем д=йсрз(à †амплиту. В случае гармонической зависимости по времени обычно используются величины, являющиеся средними за период значениями рассматриваемых функций. Если зависимость от времени взять в виде ег"г, то амплитуды р и о будут комплексными (черту .ад о опускаем).
Учитывая зто, получим длн среднего по времени потока знс,гни выражение 1 )»= — )ге (до»), 2 называемое также интенсивностью или силой звука. В акустике широко используется понятие нмпеданса, ((ак известно, меха. нический импедаис системы г определяетгя как отношение давления к скорости. Величина р»с называется акустическим сопротивлением излучения. Безразмерный акустический импеданс опрелеляетск отношением — или г Р рас рагс 1. Т оче чн ый источник 36. Требуется найти функпию г †» б (х, у, г, ~, т), ~)= — + о, г=)«, ~)з+(у „)з+(, ~~~.
где о — регулярное решение волнового уравнении. которое должно быть выбрано так, чтобы при г=б выполнялось одно из условий: б1» ~=6, — ~ О, дб 'дг > е г໠— и», е а) б(х,у,г, $, г), Ь)= 4пг 4пгт г, = )г(х — С)з+(у — т))»+(а+Ь)з. Решением первой краевой задачи будет: и (х У, г)= — — — ~ ) ((й+ — / — Г(в, Ф])г(вот), 2.~3~ й/ й б у»(х — $)з+(у — т))'+гз; е а» е б (х, у. г. в ГЬ ь) = 4 + 4 20* В13 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Решением второй краевой задачи будет: 1 ''е и (к, р, а) = ~ ~ 6 )~ ) ($, г)) г(~ дг)= — ~ '~ — 1[5, т)) г5 дг(. У на з а н ие.
Лля построения функпии источника 6 использовать метод зеркальных изображений. 37. а) 6 (Д(, Р)- — - (Н„г (йг) — Н)а (а т)), 6(д(, Р)= — — (Н(и (аг)+Им(йг )), 4 где Д(-)И(к, р), Р=ра. Ц), =Ф'( — )дт+(р — т))а, г =~ ( — Иг+(у+т))'. У к аз а н ие. Требуетсн найти решение волнового уравнения Лап+лап=О, до удовлетворяющее при а=О граничному условию о=б иди -- =О, иа беско. дг нечности — условию излучения 1йп Ф г( — +!До) О /глг (дг или 1пп )' г( — (йо)=Π— /де дг н имекхцее при г-1.0 логарифмическую особенность, т. е.
представимое в виде 6= — — НО '(йг)+о. 4 Мы пользуемся условием иалучення в форме (1) в связи с выбором временного множителя в форме е и'. 38. Потенциал скоростей точечного источника равен е чаг (г=ба —, 4пг ' гле ба †производительнос точечного источника, Скорость о= — йтад (Г имеет рааиалькУю составляющую Пт =(14+ — ) (Г. Лавлеиие р=(й р,и. Полная излучаемая в единицу времени мощность (среднее но времени значение) Ййгсро П йп 613 УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Безразмерный акустический импеданс !йсрз 1 (!й+-')срз 1+: — ' Если г достаточно велико, то 1 1+'+...
йг у' к а з а н и е. Для вычисленив скорости о и избыточного давления р использовать формулы уи о — — —, Р =)йсйзсГ. г дг' Поток знергни вычисляется как среднее по времени значение произведения давления на скорость — Пе бро„) 06)Ф' =% 32пзгз Полная мощность излучении П=У ° 4иге =— Озйтсра йп 69. Пусть Рз(0, О, — а) — прямоугольные коордянагы точечного источника звука, Р1 (О, О, а) — его зеркальное изображение в плоскости з О.
Потенциал скоростей равен 1 тг-!-г — г л 1 >г+( ~'г причем гз ) гт.+4аз.+4аг соз 6 где 6 — угол между !'еМ и Р Ры М(л, у, з) — точка наблюдения. На больших расстояниях от источника 1в волновой зоне) имеем! гт = г+ 2а оси 6, так что л — гзг Ц 'гзе 11 ) е — ттаа сот 6) 4пг Интенснвносп излучения у =йузз )сок(2ай сге 6)+ Ц.
Полная мошность излучения и-2! г ) зй Й- ' ~~.~. ")-и ~1.Г~), где узз н П,з-интенсивность и полная мошность излучении точечного источ. нина, рассмотренного в задаче 3$. 40. В игом случае при з 0 будет иметь место граничное условие равен е1иа нулю потенциала скоростей 4г=О, так что ЯйтсРз Г мп 2ай) ! з)п 2ай) П з Г! ~ П 614 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 41. Указание.
Требуется доказать. что (Р) ор (М) где о„(Р)-значение в точке Р решения волнового уравнения с источником в точке М, и (М) — решение в точке М, источник в точке Р. гсля доказательства следует исгользовать формулу Грина. 42. Требуется найти частные решения уравнения бчн + — + йзн = О дга дгз при условии да =О (и — потенциал скорогти) дл и условии отсутствия волн, приходящих нз бесконечности (условии излучения).
Существуют частные решения в виде бегущих волн л ил(М, г)=Алфл(М)с " (М=М(г, у)), гле уз=у й Лл~ Лл и фл(М) — собственные значения к собственные функции мембраны„имею шей форму перпендикулярного сечения 8 трубы, дефа+Лафа=О в 8, —" ~ =О (С вЂ” гранина 3).
д~'л д» )с Если Л„(йг, а Лл + ~ Аз, то сугцествует лд бегущих волн. При п~п имеем: и=Алф„(М)е ", да=ай Лл-йз — затухающие волны. Заметим, что всюду мы будем презлолагать собственные фуикпни нормированными к единице. Наибольшая допустимая длина волны, могущей распространяться в трубе, 2п деляг = =- ° =Р'Л,' для круглой трубы радиуса а йлл„, 2,613а. Фззовая скорость с оя, )с, Лл ~/)в йз Избыточное давление Р = — (дерзи. Скорость частиц влоль оси г равна о =- — (ули. Поток энергии через поперечное сечение трубы 1'л= ~- ~ Ал ) ~ ~ фл дд . йсраул 2 «гроул 4л (* б15 Ч! Е УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Для трубы круглого сечения радиуса а имеем: Л„=Лая „=-~"-- ), ( р1"1г'1 — "(а1 Уа1 Поток энергии )м а= 1Аарйсра~Гг Аа — ~ ) ю о где р~~1 — корень уравнения l„(р) 0„ Для трубы прямоугольного сечения О~к~а, О(у~о имеем; -, У амва пн1 пл ~l — сея — — «оса --у (п„гл=О, 1, 2..„,).
ай а Поток энергии 1 Г ггпз ля 1 43. а) 61М Р ~) ~ фа(М)фа1Р) хл1* 2ха а =- о б) О<М, Р . б)= У фя1")фа1');"' 2ха ° гэ —— где х, = У А„— йз: А„н ф„— собственные значения и второй краевой задачи собственные функции йеф.+Л„Ф„=О в 3, Если 3 — круг радиуса а, то ю„~( ) Рп У» 1 ~рт ПО ф ~" РО)2 (*<а1) где х„=)'Ля — йз; Л„и фа — собственные значения и собственные функции первой краевой задачи: Ьзфа+Лаф„=О в поперечном сечении Я, фа=-0 на границе С сечения 81 61 о ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где (1 прн и О, е„1 ( 2 прн птьб, р(ю — корень уравнения Уа(р) О, а р~"~ — корень уравнения Х„(р) О. Указа н не. Следует применить метод разтлення переменнык к неодно. родному уравнению йко Ьао+ — +Лто — 1 (М, г), дга где 1 — пронавольная функция, н представить решение в анде - (Ца(М, Р,*, й)((Р, й) Ь б~. Если искать о(М, г) в вале о(М г) ~ ол (г)фл (М)~ я =! то лля о„(г) мы получаем уравнение мгоа(г) ы )а (г) )л ~~ ((Р г) Ра (Р) бнр решая которое найдем: 1 г — х„)а — ь( о„— ~ " („ЮЖ л 2хл 3 ма ~ о„(г) ~ ~~ ф„(Р)1(Р, Цаарй~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
