1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 92
Текст из файла (страница 92)
е. прн р=рз, В, =.— Аз —. ф1(р) йез) (И Если на шар падает плоская волна. то Ат =- — Зг. Если же нет внешнего поля, то мы получаем характеристическое уравнение Ргьгз~( ) ~1 Рй) Р~ из которого определяется частота ю «свободных» колебаний шара, вызванных внешней средой. указ анне. См. предыдущую задачу. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕГПЕНИЯ Если зависимость полей от времени дается множителем с гнз, то в вгик уравнениях надо произвести замену, пальвуись соотношениями 1 дЕИ . 1 дНм . / м — — м= — (Ь»Езн — — ~= — (йзНм [Ьз ---, лг=1, 2, 3).
(3) с дт ~' с д( '1 с В сферической системе координат хг=г, ха=6, х =~у и Ь,=1, 1~ =г, Ьз=г мп 6. В пилиндрической системе координат хз=Р хз=гр хз=х и Аз=1, Ьз=г, Аз=1, У каза н не. Использовать выражения для операторов д!» и го( в крино- линейной системе координат (см. Дополнение). 67. Если зависимость ат времени дастся множителем е-™, то для вектор- ного нотенпиала и скалярного потенпиала можно написать уравнения 4п ЛА+ ЬХА — — р), мз сз Ь'= —, аз = —, 4п аз ' зр' Ьр+Вр = — — р, е причем — Гс <р= — гй» А, Ф еры т.
е. скалярный потенпиал может быть исключен (à — вектор плотности тока). Выражение для ЬА в произвольной ортогональной криволинейной системе координат имеет вид ЬА= — го( го( А+йгад сй» А, тле 1 1д Ьз(д д пй го1 А = — [ — — ' ~ — (ЬзАз) — — (ЬгАг)~— Ь Ьз [дхз Ьтйз Гдхг дхз д — — — ~ — (ЬХАх) — — (ЬзАзф г, + дх Ь Ь 1дх дхг д + — [ — '~ — "" — — " 1- Ьзй, [дхз Ь,Ьз(дхз ' дхз д — — — ~ — (Ь Аз) — — (ЬзАг)) гз + дх Ьзйз ( дхз дхз д + [ — — ~ — (ГгзАт) — — (ЬзАХ)1— ЬХЬз [дх, Ьзд, ! дхз дхг ддзГд д ("зАХ) (ЬХАз)) (з дхз Ьзйз Г дхз д, 1 дз' 1 дф 1 дф йгад ф= — — 1 + — — (з+ — — !з Ь,дх, ' Ь дхз Ь дх 1 Г д д д ф = 61» А = — ~ — (ЬзЬХАг)+ — (Ьз АХАХ) + — (ЬзЬХАз)~, Ьгйзйз ( дх, дхз дхз гДе 1, 1, (з — еДиничные напРавлающне вектоРы кооРдинатной системы, А, Аз, Аз — компоненты вектора А.
68. В однородной проводящей среде уравнения Максвелла имеют вид з) =о, р-о, го( Н= — аЕ+ — —, гй» Е=О, 4пс е дЕ (1) го( Е= — 1'— сй»Н .О. с дг' з) См, (17), стр. 420. Полагая (2) получаем аля А и 1р уравнения (4) с дИ+ Ф д( ° (5) (3') (4') 1Ы 1р д!ч А, сйт (5') т. е. прн о ~О волноное число Ф всегда комплексно. 69. Если в вакууме (а=О, в=1, И=1) нет токов и свободных зарядов, 1 дП то полагая А= — — 1р= — 41ч П, получаем: с д( ! дзП ОП вЂ” — — О.
са дта Н= — (йго(П, Е йгад4(чП+йаП, (2') (3) причем (41 УП. УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Н= — го! А, Е= — йгад<р — — —, 1 ! дА и с дт ер гГчр 4ппр др М1Р = — — + се дта са дг ЬА з)1 свА 4яор дА причем А н <р связаны условием Лоренца д)ч А+ — — +, р=О. вр др 4пор с дг Если зависимость от времени типа е 1ВГ, то д41+ йа1р О, да= — ма+!в ар 4п рено ДА+ йтА О, дП . ! о"П Н вЂ” го( —, Е=йгад д(ч П вЂ”вЂ” с д(' ст д(а ' полярнзационный потенциал П удовлетворяет уравнениго Ддя временной тависимосгв типа е 1™ имеем: ОП+йаП О. Магнитный вектор Герца П' заспится так1 Н' = Осад ддт П' — — — Е' = — — го1— ! даП' 1 дП' ст дта ' с д( 1 дП' ЬП' са дст Для временной зависимости типа е ттм имеем: Н' йгаб д!ч П'+йаП', Е' (й го( П'.
ЬП'+йаП' О. (3') (4') Отвкгы, икАзаиия и ригпииия Используя уравнения (2') и (4') лля П и П', можно формулы аля Е и Н' переписать иначе: Е=го! го! П, Н'=го! го! П'. В проводящей среде для установившихся полей ! е-гв') П и П' формальао вводятся так же, каи и для вакуума; однако в этом случае под йе надо понимать величину арют 4пор да= — + ! —. гт ст дЧ/ Š— / + АЧ7 дгт н,=о, я ма,нитного типа (Е е' =о. Г Е;!= о га(пе дт ! д*(/' — — а='г дг да ' (2) причем потенциалы (/ и О' удовлетворяет рравненшо дЧ/ ! д / д(/! . ! дт(/ —., +- . — ~мпе — ~~+ .
— +Ат!/=о, дга г'мп Е да ~ дб / гав(пай дфа нли 2 д(/ й(/+ йн/ — =- — = о, г дг а функпии и=(/г. й=(/'г удовлетворяют волновому уравнению А +йеи=а. В цилиндрической системе координат (а, ф, р) а) длв поля электрического типа (Н =0) дг(/ Ег дгт дг(/ Ер — — —, дрда' !й дН Нр — — — —, дф ' (4) — ей д(/' Ер р дч дтН' Нр дрдг ' 7(к В сферической системе координат имеем: а) аля поля электрического типа (Н =0) ! дтН г дгдб ' — !й дУ На = —.
таш Е дф ! даН +Фа(/, Е .= — =, р дфда' д(/ Н = — Й— др б) для поля магнитного типа (Еа — — О) имеем: Е' О, а Е' =!Д вЂ”, ИГ в д. г Н . ) йг(/ Н' а даа ' ' р гарда 1 дти Еч = —. г мп е дг дгр (!) гй дО Не=в г дЕ тп. кплвннния эллиптичнского типа причем и и и' удовлетворяют уравнеишо ди !д/ди! !ди — + — -- ! р — ) + — — + «си=о, дзз р др ~ др! рз дфз (6) илн Л!/+Ж/=О, и = п, и' = и'.
з' зт Отсюда сразу видно, что В сферическом случае и~п, » и чьп;. У к а з а н и е. Для доказательства основного утверждения задачи надо подставить выразкения для составляющих полей через и (или и') в уравнения Максвелла, расписанные в ортогональной криволинейной системе координат (см. задачу 66), и потребовать их выполнения; нз етого требования следует уравнение лля (/ (илн и'). /Ри ! ди !и!з ! ди' 71. Ез=«зи+ —,, Ез= — — + — —.—— дх', ' Ьз дх,дхз с Ьз дхз ' 1 дзи кзр ! ди' Ез=-- Ьз дх,дхз с Ьз дхз ' ди !«~! ди ! ди Н, «зи+ —,, Н.= — — --- — + — —, дх', ' юр Ьз дхв Ьз д.тздхз ' зс«з 1 ди 1 Фи' Н,= — — — + — —, ыр Ьз дхз Ьз дх,дх„' где и и и' †решен уравнения дзи ! Гд Ьз ди д Ьз ди! + Г + 1+«зи 0 дхз /,Ьз Гдх, Ь, дх, дх, Ь, дхз! врш' чпор сз сз йиз-!- «зиз — — О, пз — (з=1, 2). з из г У к а з а н и е.
Па границе сред 1 и 2 тангенциальные составлязошие вектора напряженности электрического поля и вектора напряженности магнитного поля, в данном случае Ев, Ещ, Нв, Нч„должны быть непрерывны, Указание. См. задачу 70. 72. На границе раздела двух сред прн г=а должны выполняться условия «з «9 «! «з — з и, = — ' из, — ' и,' = — из, ГИ Рз Рз Рз диз диз д(/; диз дг дг ' дг дг ' где значок 1 нлн 2 означает номер срелы (1 при г ~ а, 2 при г ~ а), «з н «з определяются по формуле / з азизы .
Епоз!ззте сз Функции и и из удовлетворяют уравнению згт(/з ! д / ди~ ! 1 дзи — + —.— - ~з)па — ~~+ —.— — +«зиз=О, з=1, 2, д 'шзде~. дз/ И З дчд так что ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ Н РЕШЕНИЯ 73. Ук аз анке. Воспользоваться аехторной формулой гйч !аЬ[=(Ь го1 и) — (а го( Ь) и формулой Остроградского.
74. Решение. В формуле '1 [ и' го1 го( (У вЂ” (У го! го1 иг] г(т= ~ ( (У го! иг! — [иг го( (У] ) и г(о гхаг полагаем: ИУ а), где <р — а — произвольный постоянный вектор. ВычиВ слепня дают: го! )У=[йгзб~р, а], го( го( Иг=аМФ+йгаб (а йтаб~р), (У го1 го1 Иг= а [Ьгф(У вЂ” йгай <р б!У (У]+ МУ [(о йгаб <р) (У], [)У го((У]п=[го1 (У, и] Иг [(Уго( Иг] и [(У] йтаб <р, а]] (Аа) (йгаб ~р, и) — (Айгзб ф) (ап). В силу формулы Остроградского ~ гйч [(айгаб ~р) (У] г(т ~ ((Уп)(йгад фа) бг. х Под знаком поверхностного интеграла в формуле (1) стоит выражение Уга, где Е (У(агад ир, и) — (6 йгаб гр) и — [го1 (У, и] гр+((Уп) йгаб гр= ((Уп)агабф+[йгабф[(Уи]]+[и го1 (У] р.
(3) Ппаынтетральное выражение. стоящее в левой части, имеет вид Фа, где Ф =(го( ггй (у — Ьэ(у) ~р+ гтаб ~р гйч (у. Вектор а является, таким обрамж, общим множителем для всех членге формулы (!), и так как он произволен, то на него можно сократить; в результате мы получаем формулу (4) если точка Ме не принадлежит области Т. Если же точка Ма находится внутри Т, то мы опишем нокруг этой точки небольшую п)еру Хе радиусом в и применим формулу (4) к области Т вЂ” Те, ограниченной поверхностями Е н Ха. Опеннм величину Р на Еа. Заметим, что У! 1 ! йтаб~Р (х —— !1 — — УЬ ! ~Р !х пмч — и, <Р [и ~ —.
е ! г У1 е з' ' з г Поэтому Р~и —— ~-- — !Ь [ф(е) [((Уп) и+[и [(Уп]Ц вЂ” [го1 (Уи] ф(в)~ .— У1 (У и, следовательно, !пн ] Рйг=4п(У(Ма). е зх е ЧГЬ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Поскольку 1пп ) Ф от=О, то мы получаем в пределе е ет 1 Г 0(М )= — Фо(т — — ([ Ео(о 4л ) или 1 Г (г'(Мо) = — ~ «(го( гог (г — АоЕУ) ф+йгад ф ойч Ю) о(т -ю') т — — ~ «((Гп) йтад ф+ [[и(Г) агао) ф]+[л го( О) ф) о(ои.
(б) ! 4л, 76. 1 Г Жд= — '— — — «(йод [лН] ф+ [[лЕ) йгаб ф] -]-(лЕ) йгаб ф] йт, 1 Г 4л й) Н(Мо)= — - () йгаб ф] Ео+ — «)йое . лЕ] — ЦлН] йгаб ф] — (иН) йгаг) ф) г)о. 1 Г 1 с ) 4л ~ е'аг ю .г — ю р= —, й=--т'е)г, й,= —. г ' с с где Указан н е. В обшей формуле (5) в ответе 74 положить охлвететаенно Н=Е н (Г=Н. Во втором случае справа появляется слагаемое ) ]л)]фйг, Е которое следует преобразовать к объемному интегралу с помощью формулы )г [и)] ф йт = )г « — (/ йгаб ф] +ф го( 1) йг (1) Е т Для ее доказательства надо умножить обе части на произвольный вектор а н попользовать соотношения [л)] аф= и [гл] ф. Йч [)а ф] = а ф го( / — (/ го( аф) = а (ф го1 у — [( йгад ф] ), так что )г а [и/1 фон= )г б)ч(/, аф] г)т=а ~ (фго1/ — [)йгадф]) г(с. т г Отсюда в силу произвольности а н следует (1).
2. Распространение электромагнитных волн и яолебаиия в резонаторах 76. Направим ось а пнлиндрнческой системы координат р, ф, а вдоль оси пилиндра. Пусть а, Р, о — оарзметры окружающей среды. Существуют волны вида Е Ее — ьхз+гоие — р(о) (И~О) Н=Нео + о РШ) (])) О), 640 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ т.
е. волны затухакоцне. Здесь приняты обозначения причем Ай сй Ео = —, Нов= — — Еор р' юр рю Вй Еое= Нор. Нор= —, Ас ' р' где А н  — постоянные множители, ермо 4 па)но Ао= — — 1, й = — а — 1(). со со со Если в=1, р=!, а=б (вакуум), та й= — Ао — волны вдоль такога провода с распрастран шатоя со скоростью светы Е=Еерем — а»~, Е Ай» о ° ар= Р Вйо Но = р Р Н=Н»л~нм "»', Еое=!"вр 77. Репрев не.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
