1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 91
Текст из файла (страница 91)
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Следовательно, для р„„верна формула (1). Чтобы найти силу реакции, действующую на пластинку. надо вычислить интеграл О э гн 1 о о о а 'Ч~~'о ~1 Уг(ЕР) псРооо А( 2 [ р ~ 4йэ к 611(к) ~ 640 (ь) ъ г'ь 68. В волновой ване (при йт ~ 1) е га» ит р'=(йгроаэ — У~ АИФИ(6), е-тат 'е1 о=(дав — ~' АмФм(6), т где Ам — коэффициенты рааложения о ! о 1(р) в ряд по функциям Уо Г мр), равные а л - „',„, ~~ь)ь(~фа. Фм(6)=, ~,, тй йавшо, 2эк г (а) ~ь1 рм — корень уравнении 1ь(р)=0.
решение. Польвуясь разложением)(р) в ряд = х "-"(' — ') ° м=о находим: А ~хб( — т)рь~ ь аь О В волновой зоне е гал е а т НП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (см, задачу 56). Вычисления даютг а м и 1 п — а) о е Для нзхождения этого интеграла обратимся к формуле О Ха(сгр)ха(()Р)рг( =, . (гхх (по)(ч(()н) — Рх (()о)х (по)1. в положим здесь сг=ргагп, ()=й зйг е, т=б, тогда получим: а паз,)~ (з) )а Охр) "га (()Р) Р г(Р= а —, "га (Рт) (гг (Рт) =О) так что %г йт)а()гт)луг(з) е г г Р = гйсрапа Рт ги=-о Первый член (гп=б, ра=б) этого ряда дает решение звдачи 56 о колебании жесткого поршня в бесконечном экране з=йа Мп б, причем А„очевидно, означает среднюю скорость поршня, 3. Дифранция на цилиндре и сфере 69.
Если плоеная волна распространяется вдоль оси х, перпендикулярной к ося цилиндра (оси я), то давление в ней можно представить в внле ра=Ае гах=Ае г '~о=А /а(lгг)+2 ~ ( — Вт.г Гйг)созтгр . а =! давление в ржсеянной волне р,= ~ ВтсгнггкрНт (йг), т=е где у (до) у (. г)аг,/ (йп) Скорость в рассеянной волне гаг оа = — г ВтНт (йг) сан тгр. ПМ и-'г т=а 628 ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В волновой зоне (на больших расстояниях от цилиндра йг~.() н~ l 2 — 4(аг — -~ ял =У ~. ! Г 2 — 4(а' — — ) цт ! Ол = — ~/ — а 4 ср ~' пйг Втгт соз гшр = — Р ° срл т=е 60. Интенсивность рассеянной волны пьг гтт Г = за е,з!путе тсозтф, ге=1, ем=2, т~й, лю = О (Рл!з= ~ ~ втвл ыпУтмп'Улсоз(рт — Ул)созлнусозшу, т О а==О ут определяется соотношениями (! ((4) 16 ТО= Агг(р) ' (ау = т'! + =да А~ты (р) — А(т а (р) А( — функция Неймана. Полная мощность звука, рассеянного иа единице длины цилиндра, '1 !'О ~~ - Аз Пз= ~ г мпзут, уз ——— т=е У к а з а н и е. Пользуясь соотношениями ,(и =б,б(ут,— от+4) (ут б,б(М т — Ф +Д, нетрудно выразить ком)фицненты Вт в виде . т+! — гг, Вт= — — Авт( — В е газ(п у, где за=1, ет — — 2, ш~1; в волновой зоне имеем Г4рзсл О ! ~~ 4) "=1~' — "() ' пйг 1 Ол = ' Рл г р.
61. Если лл т,!. то в волншюй зоне будем иметь! 2Р 2йг ! О = — Р. аг ср л УИ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Интенсивность пдтаи Аа !',= — 1'а(1 — 2соа9)а ) а= ° Ег 2сра Полная мощность — а Ф бнааа 1! = — ~ЧО~Ч'~+ ... 4 где Л вЂ” длина волны (й= 2п)Л= — <а!с). ! 1олное давление на поверхности цилиндра ОЭ т имт т=а где р (у (рт — у — (р))'+Р' + (н) †)у — (р))а а~и 2 Полная *ила, действующая на единицу длины цилиндра, направленная по линни распространения плоской волны, равна Ои 4А с (ть — — ) р а сов~,~бр О т ас Фа, Если р=йа ~'1, то l! р„=А ~ — + 2!)сссв~р), Р— 2!наайА. Если р да~ 1, то р= — )~4ОЛ Ае ! ~п — ) У к а з а н и е, Следует воспользоваться приближеннымн формулами: а) прн р ~ и+1(2 /" Е и аГ2 1 ( !! аа — ~/, "та=И вЂ” —, мм )г' — > ут=р — п~щ+ — 1, б) при р=йа ~ !и+1/2 4 прт ш! /2 !и'и нт у р \ам Па, Уа, ам 1 — ), Ума~ — — ~ — ) (ж)О).
— цр ° вЂ” 4 2. ',„! ' (ир)а ~Я 62. Пусть плоская волна распростраияетсн влоль оси а: ! Им -аи~ йа' ра — — Ае = рае А, ПМ А Фа( саве Давление и радиальная скорость в рассеянной волне даются формулами р = ~ ', ВиЯ'(Ьг)рм(сааб), и О 1 др ! %т О = — — = — ~~ Ви4м (Ог! Вт(сота), !йр. й ср, Л м О ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где Ц'»' (х) 1 — Н'" ! (х), 2х м+ —, 2 В„= — А( — !) (2 +1)ф —, ! =1. ф (р) 1'"'(р) ' фм (р)= 4~ — ~ ! (р).
г 2р и+ — „ Коэффипиенты В», удобно представить в виде . т+т гр В»= А( г) (2ш+1)зш()„» где Вм определяется нз уравнений *) т) (р) — (ш+1)/ + (р)= — (2т+1)В сов б = — (2т+1))' (р), (и+1)ф (р) — тф (р)= — (2ш+!)0 зш() — (2т+1)ф' (р!.
Здесь ! -1~ — !у 1(р). Г 2р м+— 2 В волновой зоне (г-»сю) — г (໠— — )»» е жт 1 Р»= ~ В-"Р-( й. "- — ". ср, Интенсивность рассеянной волны 1 ъ~ )'»= 1'О йт — 7 (2т+1)(2Л+!! ЮП йм 21П(3»СОО(Рм — ф~) Р,~,(СООЕ)Р»(СОВЕ), и. »=О Полная мощность — Ол ът Па=уз — у (2п+1) ап»()», »=О У к а з а н и е.
Решение ищем в виде ряда р = У, Вм~м (йг) Рм (соа О), где В,„— коэффнпиенты, поллежащие определению из граничного условия =О. для нх определения необходимо получить разложение плоской волны в ряд. Докажем, что имеет место формула е О О Х С ф ® Р (сов 6), и=о ') См. (ЗЦ, шр. Зб!. ЧП. УРАВНННИЯ ЭЛЛИПТИЧНСКОГО ТИПА где См (2ш+ 1)! — «)ж. В самом деле, полагаем ! С фм(р) — — о озр (6)ая. 2т+1 г" — ! Интегрирование по частям при больших р дает: С другой стороны.
ып( — ) ф (Р)= ' — +ОД, где О~ — -!! — члены более высокого порядка малости, чем —. Из совпадения г11 Р Р асимптотики левой и правой частей следует, что Ст =(2ш+ 1) ( !уо 63. Если Р=йа~!. то А ар' I 3 1 Гаг р — ~ ~! — — соз 6~~ е Зг 1 2 1 в волновой зоне (Лг~ 1) о = — р о р о Интенсивность звука, рассеянного сферой, Роао / 3 (о г' — ')' 1,! — созе!! -1- ... 9го ' о'1 2 ! ° ° о Ао ) о= —. 2сро ' Полная мощность звука, рассеиваемого сферой, Т паоло ! 12 попо По= )'о+ " = — — )то+ ... ()г — длина волны)„ 9 "' 9 М Сила. действующая на шар в направлении з Р 2яао ~ р ( соз 6 мп 6 о(6 — 2п!а'РА, Давление на поверхношн сферы 3 . Ро = (Ро+ Ро) (о -о = А ~1 — 2 гр соз 6) + ...
при Р 'о ! . Указание. Выражения для ро и )го, По можно получить либо прямым расчетом, пользуясь приближенными формулами ф" (Р) — — ф( — à — — 4 ' — — (и<!) Р, ! мг ~о1 о 3 ° 3' Ро ' Рз либо из полученных в решении предыдущей задачи 62 обопих формул. При атом надо иметь в виду следующие приблиисенные формулы для рм и 0 632 ОтВети, ткАОАния и Решения 1 Если н,"те+ —, то 1 1 Рт ~ Р аг !т+ 1)- т Р в т 2 1 1 1 Если Р<ш+ —, то 0ав= в в Ва т — Рз. ! . 3 б... (2т — 1) (ш+ 1) Пав т.в а Р 64. Па шзр падает плоская волна — "Е Га"от в Рв — — Ае )(явление в рассеянной волне Ра = ~'в Вт~т (йг] Рт (с<и б), т=о ,и) вз ав !а За йа... [2ви — 1)(2ш+1)(ш-1-1) где МС= ) ) (Ра+Рв)г а сга бов в((), 4п где М= — азр,— масса шара, или 3 Мв% и'~ ~(Р +Ра), бв(а Граничнсе условие при г=а можно записать таким образом: 1 д — — (Ра+Рв) ! а= (зй', соа б.
йгра де Перемножая (!) и (2), исключим с и получим граничное условие иа поверхности шара 2ирг г) — — (Ра+Рв) =Раомб (Ра+РВв арв(гоаб) ми бдб, !3) 3 дг !в=а (2) где Р,(соа б) =соз б, Пользуясь разложением плоской волны по сферическнлв фуннпням Ю Р.=-Ае ' '"' = У,' А ф„(йг) Р„(гоаб). А =( — !) (2т+ !) А ви =-О и полагая Ра ~ ! Втйт (йг) Рт (соа О)в яв о в„- — ' (в~",.~'в а ав г в в,-ив~за,','в~ (тт (Р) Рагьв (Р) Рвьг! (Р) Р рв — плотность шара.
Радиальная составлякацая скорости павт У Вт(вч (йг) Р„(осе б) с(м Аы т=з (по поводу значения в)~т и Дав см. задачу 62). Решение. Уравнение движения центра тяжести шара под действием воздуха имеет вид нгг з навинния эллиптического типа получим нз (3) в силу ортогональности полипомеа Лежандра Ндйг (1 — Ргф' 'И И А прн,а Рзй(м (И вЂ” Р рь)'" (р) Вш= прв тФ1, Азфз (р) ~':" (И бб.
Рз — ~ Вмьм (Ьг) Р р (сгв В), м=с где В 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1. Уравнения Максвелла. Потенпналы. Векторные формулы Грина — Остроградского бб. Уравнения Максвелла в непроводящей среде без источников 1 дВ го( Н= — —, с д( 1 дВ го( Е= — — —, д( гйт В=О, В=РП, сйт В=О, В зЕ в криволинейных ортогональных координатах имеют вид е дЕ, д д р дНг д д 1 с з д( дк — Ьзйз — ~ = — ЬзИз — — ЬзНз, — — Ьзйз — = — ЬзЕз — — ЬзЕ„ дхз ' с д( дк, дхз е дЕз д д р дНз д д с '' д( дхз ' дх, ' с д( дхз дх, — Ьздг — = — ЬгНз — — ЬгНз — -Ьзйт — = — Ь,Е, — - -- ЬзЕз в дЕз д д р дНз д д в ' Й дх, дх, ' с д( дкг дх ' (2) Ьгд = Ь2Нз Ь1Н1 )ггдз = — ЬзЕз — — ЬгЕ1 ~ д д д дк, ' дкз - — Ьздзнг + — Ьзагнз+ — Ь1|знз — — О, дкз д д д дкз дхз — ЬздзЕг + — Ьзнг Ез+ — ЬгдзЕз = О дх, <Дз ЬЧ дг4+Ьз г( 4 +Ь г(кй), МЬ(р) — Р ~1 — и" ,1 рф~(И Вг= — Аг рз= л а=да ( ) ~ 1 з ) Р ь ) ( ) " Ь'м'(И ' При резонансе, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
