1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Пусть е». р», а,— характеристики провода, в», ро, нов карактеристики окружающей среды. Выберем цилиндрическую систему координат (р, 42, х), направив ось а вдоль асн цилиндра и поместив начало координат иа асн цилиндра. 2 Обозначая П =и, П» о и предполагая, что зависимость и и о от а дается множителем ерт-, т. е. и=и»о'т', о=ооерт» и т. д., получаем после сокращения на этот множитель о о ру дио (о42 доо о дио (ыр доо Е»=Р»ио. Еор= -- — — — —, Ер=(у — +— рд(р с др' др ср др' о о !А»с дио 17 доо о (й»с ! дио дпо Н", р»„о, Н'„',— + ... Н,",— +17 тор др Р дор' ир Р дру др' где Р' й' — уо, А'= — — 1, функции оро22 .
4нарго со с" но=а(2(Р, Ч! н по= 0») (Р, 2Р), где и и () — постоянные, »р(р, ор) — решение уравнения 1 д! д2)1 1 д»2) — — ~р — 1+ .; —, + 221=0. р др( др/ ро д2ро Отсюда находим частные решения вида ( Хо(РР1е'ов ант»Ри цилнндРа, (Н„" 0»Р)еоое вне цилиндра. р'е»р»ио+ 1бноаороюо+ арюо и= 2со Ео — — (Ео„, Ео, О), Р' е»рооп+ )бп»пор»о!2 — врио 2со 2 Но=(Н»р Ное О) ОГГ, УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧРСКОГО ТИПА ПодставлЯЯ выРаженне дла зул в фоРмУлы (1) и (2), полУчаем.
внутри цилиндра Ео а роу (р р аглч Но и р»у (» р) оглв Ео ~ — — а )л (ргр)+ ар~щ 6 Х„'(р,р)1ег~е, ул (й",срг ар~ Ео =( з"~ й Х (р р)+ гур а о' (р р)~оглв ср йоса '=~ — а'( р)+ ~'(р+™т соргр вне цилиндра Е",=а,р„н„(р~) сг Н;=й,р";Н„г~(р р)агле, Ее ( ~ (хн (рхр)+(ур а Н (розг)е е йосп Нов=~ — сс Н~~' (рЯ+(ур бзН'„~г (р р)~ сын, 1-!а границе при р=а должны быть непрерывно тангенциальные составляющие Е н Н. Это дает четыре однородных уравнения с четырьмя неизвестными аг, ао, йг и ро.
Приравнивая определитель системы нулю, получаем дисперснонное уравнение относительно у где з=р,а, Ч=рзо, а в радиус цилиндра. Зто уравнение имеет бесчисленное множество корней у„ (см [Зо), стр. 460) для основной волны л=й днсперснопное уравнение распадается на двз уравнения: ЧНоо (т)) (;рг Соо (С) Н(о(Ч) й)р о М) ЧНО' (Ч) рт (о(о(ь) (6) Н',о(Ч) Н ог(с) Первое из ннх определяет допустимые волны магнитного типа, в второе— волны электрического типа. 78. Пусть 2 — поверхность трубы, 3 — ее перпендикулярное сечение. С— граница 3.
Направим ось з параллельно образующей трубы. Зависимость от времени е-гмг. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РРШИНИЯ Любое поле внутри аолновода можно представить в виде суммы полей электрического типа (11»=О) и магнитного типа (Е»=О), каждое иэ которых определяется г-компонентой соответствующего вектора Герца (см. задачу 69) Если О»=0, то, полагая П» = П, получаем задачу для скалярной функции АП+я»П О внутри 2 ~й= — 1, от' П О наХ Если Е» = О, то П' = П' и АП'+й»П' О внутри Х, дП' — =0 на 2.
дт Сушествуют частные решения вида П(М. г)= ф„(М)е " „П' (М, г) =ф„(М)г т»*, где у»='ггй — ) у»=1' й — и А н задач йэф„+).„ф„=О в Б, Аа — собственные эначеииЯ кРаевых Аф„+$,„ф„О в 2, и Аз )йэ дли л=)у+1, )у+2, ..., то из которых распространяется с фазовой Если )ч ) й», то бегуших волн в трубе не может быть. »г»» Если П(М, г)=А»ф»[М)е ", то поток энергии через поперечное сечение равен сй 1'» =!»(» Р— у»Д 'Оп При этом предполагается, что фз(М) нормированы к единице ф» д2 1. Указан не.
Если ввести прямоугольную систему координат, го л»П Е»= — + е»П, дг» д"'П д»П Е» —, Еч — ° дкдг ' дудг" Н„= — (й —, На=(й . дП дП вЂ” О О др ' Задача, полученная для П', аналогична задаче 42 о распространении аиу. стичесиях волн в цилиндрической трубе с жесткими стенками (см. [7(, 528). Если з» ~йт для п=1, 2, ..., »1 сушествует АГ бегуших волн, каждая скоростью йс и„ уз ф„=О на С, д4м — =0 на С. дт глг. унлвнеыня ВллиптическОГО типА 79.
Бегущие волны могут существовать при ныполненни следующих условий; а) ЕСЛИ Х „=~рг(о)1 (а, тО Сущсетзуст СТОЛЬКО бЕГущИХ ВОЛН, СКОЛЬКО имеется линейно независимых решений волнового уравнения для й „, удовлетворяющих этому неравенству: здесь р("1 — корень уравнения го (ро) Ио (ра) в этом случае могут быть волны электрического типа, б) Для всех собственных значений )оо,о, для которых выполняется нера- венство Д .=~р( 1~а~да, где й~~) — корень уравнения Г'„( ) Н„'(рд) — г„'(рб) Н„'( ) =О, существуют бегущие волны магнитного типа (Е =О), Длн основной волны электрического типа (л=б) имеем: П,=П=А„,И,.(р)е'(тм' — ), у„,=йф 1 где Ам — коэффициект, )(м (Р) = го (ртр) Но (Рмп) )о (Рто) Но (родэ) рм †коре номера т уравнения го (Рн) Аоо (рь) — )о (М Но (ро) = О.
Поток энергии через поперечное сечение равен Составляющие поля даются формулами Е =Х,„П, Е, =О, Е =(у,„А,„Н,(р)о Но=О, Не —— — Аг,(АВи(Р)е ( оо ), Но — — О, й Нч —— — -- Еэ. ум У к а ванне. Следует воспользоваться результатами задачи 78, предло. ложия, что область Я имеет форму кольца с радиусами а н Ь. Собственные функции кольцевой мембраны с закрепленными н свободными границами даны соствегственно в ответе к задаче 27, ЕО.
Пусть начало сферической системы координат (г, 6, ф) находнтся в центре сферического резонатора. Зависимость от времени типа е-ооя, Колебания электрического типа определяются по формулам до 1 оч (ги) 1 до(ги) Ег — — (ги)+Аз(ги), Ее = — —, Е г дгз г дгдб ' и г миф дгдф ' — Рядн . д и =О, Н,- — —, Не=(А —, з(пб дф' е дй ° где и а ,„ †собственн функция краевой задачи Ли+дои=О, н= О прн г а, ОТВЕТЫ, УКДЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ определяемая формулой и „(г, В, тр)=ф„(А „г) ут«о(В, ф) («=1, 2, ...; лт О, .+-1, Ео2, .„., чпп) где А,„= -' — ' — собственное волновое число, являющееся корнем уравнения пль л с Х т (Аа', л+, ,(, (Аа) ф (р)=1~ -7 (И г 2р «+- 1(ля колебаний магнитного типа (Е,=О) имеем: (А до Е,= — О, ЕВ = —.
а)ВВ дф' Н,= +Аз(. ). (УВ= — —, да(го) ! дз(го) дг' г дгде ' до Е = — РА —, е да' 1 д'(,Р) и,= — — ' г дгдф ' где о=о =тР (А г) )гт (В, гр), причем А ,„ определяется из уравнения , (Аа)=О. «+в х При п-О получаем: е, з = фа (А г), где птп и А«,— — —, ы,=с —. о . а указание.
Ср. с задачей 25 о собственных акустических колебанннх сферы, й1. Рассматривается отрезок пилиндрнческого волновода пронзытльного сечения, ограниченный двумя плоскостями г=-~-1 (ось г параллельна абра зуюптей пилиндра, см. задачу 78). Колебания электрического типа (Н,=О) П~ П~ 4«««ф«(Л4) сов 2( (1 — х), где ф„(М) — собственная функпия краевой задачи Лгф+Хлф«О в 3, ф„=б на С. Собственные частоты ы«ь„= — с ~г )ч,+( — ) .
у(ы) (В, ф)=Р'„'«т (сов В) . пнр — сферическая функция. Самая низкая собственная частота соответствует «=О: аль«(г)=тра(ймг), причем А, определяется из уравнения ут (Аа) з 7 т (Аа) х т. е. (й (Аа) = Аа оп. ввдвнвния зллмптмчвского типа Колебания магнитного тупи (Е =0) пт Й» = Пп, л (М. з) = Ат. лфл (М ) мп — (1 — з), И где фп(М) — собственная функция краевой задачи йзфи+лифл О в 3, — и=О на С дфи дт Собственные частоты ют п=с )/ лп+ ("й) ) .
Средняя аа период электрическая энергия в стоячей волне равна среднему аа период значению магнизной энергии 1 4 ли Ул Сйф"л 1 "(л Полная энергия стоячей волны не меняется ао времени н равна 1 й = - ИЛи(яп (з. Для резонатора с круглым или прямоугольным сечением формулы для П остаются в силе; туда следует лишь подставить нонкретное выражение для собственной функции а) аля прямоугольного сечения со сторонами а и Ь: - ° /4, шп . лп фл(М) фи т(г у) ~/ ' зш 1зш у * ' ° / етзл пгл пл фи(м]=фи т(х, у)= з/ — ь — ом — хсоз — у, ел=2, А~О, г =1; аЬ а э б) для круглого сечения радиуса а имеем: ил~ г)соз 1рл.т(г Ю= — — "— . Лф ж"- Р (рги1) МП /)г<ю> пф, /„~р~" 1) мп "т: .з/ ал рт фи т(г~ ч') у' а ' -'В'Г"'1'-" (п) )з где р †коре уравнения и'и(р)=О, л „ = †, †, р †коре уравнения <л1 " (и) Х; („)=О.
Приведенные выше функции фт,л и ф, „нормированы к единице„ У к а з а н и е Функции П и П удовлетворяют волновому уравнению Ли+язв=б и следующим граничным условиям: дП П=О на Х; — =0 при з=-е 1, дз д() — 11 нз Х; П 0 прн 2=-3-1. дт Прн вычислении энергии во всем объеме следует воспользоваться формулой Грина (см. (7), 548 — 554).
ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РИ>ППНИЯ соз лф 1'т'" (р) тп тр' фт.л(р ф) Ет.з(р) где о (р) — у (рю>р) >у (рт>а) у (р! >а) >у (рю>р) Е.,. (р)=МФ') Н'(р("> )-У; 1рй>а) Ез(ИЮ>р), р("> и р~"> определяются соответственно из уравнений >7,„(Ь)-О. Фт.(Ь)=О. Собственные частоты колебаний раины «рт.л — с ~/ [рт| +(21) ю ют.а ф [рщ[ +( ) ° Ук з за н не. См. задзчу 81. 88. Лтррак>>ия на >(аландрз. Ось цилиндра направлено по оси г; плоская волне распространяется вдоль оси х. вектор напряженности электрического поля в издающей волне направлен параллельно оси цроводз. Обозначим з, р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
