1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 97
Текст из файла (страница 97)
гиперболоида). Каждой точке (х, у, г) соответствует только одна система значений Л, р, щ Параметры х, Л, х=р, «зг ч и называются эллипсоидвльиымн координатами. Координаты х, у, г выражаются явно через Л, р, щ (Л+аз) (р+ аз) (ч+ аэ) (Ь' — а') ( ' — а') ==~/ ~~г~')) +~х"+~~ у (с — Ь'Ца — ') ) (Л+сз)(р+гз) (и+ох) (аэ — сь) (Ьэ — аэ) Координатные поверхности Л=сопз( и р=сопз( представляют собой пересекающиеся параболические цилиндры с образующими, параллельнымн осн г. Связь с декартовымн иоординатами дают формулы дополнкннк Комффициенгы Лзмз равны з — из — ч ь — х~-ч 'й У )('(д) ' й )' )('(р) 1 н/ (ч — л)(ч — И й )' )сз(ч) где ))(з) ( + ') ')( + э) (з =Х р, ч).
Оператор Лапласа можно представить а анде Г д ( дп1 йи=— (й — р) (й — ч) (р — ч) 'ь ~(р — ч) )1 (й) — ~)((Д) — ~ + дЛ '1 юг' д г ди1 д / ди11 +( — йИ (р) — ~В (р) — )+(Л вЂ” р) В (ч) — ~Л (ч) — Я. др'1 М д3 дД Частное решение уравнения Лапласе, зависящее только от Л, У 0(Х) дается формулой и-л ~ — +в, 1' дь 3 )((й) где А и  — проиавольные постоянные.
У. Вырожденные вллипсоидальные координаты а) Вырожденные эллипсоидальные координаты (а, (3, ф) для вытянутого вллипсоида вращения определяются при помощи формул я=с Мп )3 соз ф, у =с мп сс мп (3 зш ф, г = с сЬ сс сов (3, где с — масштабный множитель. О~а.ссо, 0~(3(п, — и <ф(и. Координатные поверхности: вытянутые зллипсоиды вращения о=сопя(. двухполостные гиперболоиды вращения (3 сопз1 и плоскости ф=сопз(. Квадрат линейного оператора дается выраженном дзэ = сз (зЬ» сг+ зшэ О) (дсгэ+ дбэ) + с' зйз сг з3пз О д рз, откуда для метрических коэффициентов получаются значения йг=йз=сф зйэсг+мпзй. да+Де — — сзЬаниф, Уравнение Лапласа имеет вид ье(зйэа+з3пч (3) (з1нх да ( до) + ~п (3 д)3 ~ () А) + б) Система вырожденнык эллипсоидальных координат (и, )3, ф) для спаосиутого зллипсоида вращения определяется с помощью равенств х = с сЬ и ап (3 сов ф, у = с сЬ а мп (3 ып ф, г с зЬ и схв ф, О~а<со, 0~()~п, — пСф<п.
Координатные поверхности: сплюснутые эллипсоиды вращения и=сопя(, однополостныЕ ГиПЕрболоиды вращения ()=сопзг н плОскости ф сОпз1, прокодящие через ось г, 672 дополнение Квадрат линейного элемента и оператор Лапласа в рассматриваемой сн стене ююрдинвт имеют вид дФ = сз (сЬз я — з(пз Р] (да~+ яда]+ сз сЬз а ыпз Р д рз, 8. Тороидальные координаты Система торондальных координат (а, Р, ~р) определяется при помощи ф рху сзЬясОВф сзЬя мп ф сяп Р х= г= сЬа — амР' сЬа-созР' сЬа — яиР' где с — масштабный множитель Ом сс«<со.
— паде и, — п~~р~п. Координатные поверхности суть торы а =сопз1 с уз (р — с с(Ь а1з+гз=( — ) (р= ртзз+рз), сферы Р =сонэ( с (г — сс(я Р]з+рз=( —. (Мп Р( ' плос«ости ф = сопз1. Квадрат линейного элемента в тороидальной системе щюрдинат имеет вид дзз= (даз+дРз+зЬзадфз) (сЬ я — соз Р)~ метрические коэффнциен ты равны с сзйа ~я Я Р сЬсс созР м сЬа совР и оператор Лапласа дается следующим выражением: и ( зЬя ди] д( зЬя ди'1 1 дзи да ]сея — созР да/ дР']сЬа — совР дР( (с]зсз — созР)зЬя дсрз Удобно вводить вместо и новую функцию о с помощью соотношения ~2 при этом уравнение би=О приводится н уравнению 1 1 оов+эрр+о с(Ь я+ — о+ — о О, 4 зева 9.
Биполнрные координаты в) Биполврные координаты на плоскости. Переменные х, а, хз Р, ха =а называются биполярнымн координатами, если имеют место равенства о зЬ а з]п Р х=, р г г сЬ сз — соз Р ' сЬ а — ссм Р' Метрические иоэффинненты раины ]Ь-)исЬа — созР' б73 дополнннии б) Бисферические координаты х, а, ха=[). хз=ф определяются при помощи формул с $!и Я О:в ф с $!п ю $1п ф с $Ь [! х= р= г= с(! б — сова ' СЬР— сов ст ' с! [3 — сове! ' где с — постоянный множитель О<а<В, — со< О<со, — п<ф<п.
Этн формулы можно представить в компактной форме г -1- !р = с ! С(2 — (р = ргкв+ св). а+!б 2 с 1$ (р — се(йа)т+ гз сферы [) =сопз! 1$ рз+(г — се(й б)в=~ — (1, ( йб/. плОскОСтИ р=СОП51 Выражение для квадрата линейного элемента в пространственных биполярных координатах имеет вид две= [йхз+ <1бт+ $(пз а д )Р), [сз откуда следует с сз!По: Ь,=йз= На —— са) — с(м а ' СЬ [! — сова н уравнение Лапласа приннмае! внд д ( $(па ди) д ( з!па ди) дс! [СЬ [! — сова да/ да ~С(! [) — созе! дб/ $(п Прн решении Лапласа удобна подстановка и = Р' 2с)! [! — 2 созе! о.
Тогда для функпии о получается уравнение 1 ! "аа+ОРР+ Оа с!Я а — — о+ —. 4 мпво 1 дви а (СЬ [) — с<м а) дфз О =О. 10. Сфероидальные координаты а) Вытянутые сфероидальные координаты ха= р. хв=йь х св(в р с У()в — «(1 — рв) сов !В а=с )'(аз — «(1 — рз! вп ф! Х)1, — 1<р<1, О<ф<2п, — „,. й- у —,, ц= р'(дв — «(! — рз) ° б) Сплюснутые сфероидальные координаты хв и хг=р хз=ф к=сХр $(п !р, д с р (вз — «(1 — рз), г СЗ(х соз ф.
Координатные поверхности суть: веретенообразные поверхности вращения а сопз(! дополнкнын Поверхности Л=сопв( — сплюснутые сферонды, р=сопв1 — однополостные гиперболоиды. Метрические коэффициенты ГЛ -рв ГЛ Ь, с "[»', Ь,=с 1.»:, Ь„=сЛр.
)»г Ла 1 )» ! рз ~ 11. Параболоидные координаты Переменные х,=Л. х,=р. хз=ф, определяемые соотношениями 1 х=Лрсгм»р, у Л(а миф, г= — (Лз — рз), 2 называются параболоидными координатами. Метрические коэффициенты равны Ьв='г'Лз+р', Ь =Лр. Коордннатггые понерхностн Л=сопв(, р=сопз( являются параболамн вра. щения вокруг оси симметрии Ог. 1!. Кеаоторые формулы векторного анализа Обозначения: а †векторн функция, и †скалярн функпия* Иар) с) =(ас) Ь вЂ” (Ьс) о, [а [ усЦ = Ь (ас) — с (аЬ), угад (ио)=и угад о+о угад и, д(ч(иа)=а ягад и+и д(то, го( (иа) = [а я»ад и) -(-и го1 а, д)ч [аЬ[ = Ь го! а — а го( Ь, го1 го( а=угад д(ч о — йа, угад (аЬ)=а дгч Ь+Ь д!ч а+ [а го1 Ь)+[Ьго! а), го( [аЬ) =а дгч Ь вЂ” Ь дгч а+(Ьр) а — (ау) Ь, (ЬУ) =Ь вЂ”.+Ь вЂ” +Ь вЂ”.
да да да "дх "ду ' дг" П!. Спецяальиые фуинции 1. Тригонометрические функции 1 1 1 сов г = 1 — — г'+ — г' —.- — — (ггг+» ") =сЬ ((г). 21 4! "" 2 1 1 ! вк! а=г — гз+ — гз —... — (г»т-г-гг) — г вп (Ьг) 31 51 "' 2( В сгв (х+у)=созхсову — ип к зю у, в(п (х -1- и) = з(ох мп у+ сов»г мп у, ! 1 сов х см у = — сге (х+ и)+ — сов (х — у), 2 2 1 аш х в)п у= — сгв(х+у)-[- ав(х — у). 2 2 дополыинин 2.
Гиперболические функции 1 1 1 сЬ г=-1-1--- гг+ — г'+...= — (г +е-г)=ан(!г), 2! 4! "' 2 1 1 1 ан г=г+ — гг+ — зг+... — (г' — е-г)= — ( мн ((з), 3! б! '" 2 сЬгг — эЬгг=1, сЬ (х+у) сЬ х сЬ у+ сЬ х сЬ у, зЬ (к+ у) = зЬ х сЬ у+ сЬ х зЬ у. 3. Интеграл ошибок г Ф(г) = ~ г г(а. 2 о. )- 3) Разложение з ряд при малых г 2 У гг гь Ф (г)==~а — — + — — ..). $'гл ~ 1! 3 21 5 Аснмнтотическое разложение при больших г г — «/ 134433 Ф(г) =1 — '=' ~1 — — + — '- — +--).
угл г 2гг (2г)4 (2г)г В таблице 1 даны значения Ф(г) для О~г(2,3. 4. Гамма-функции Г(г)=)г г г(г гй(йег О), Г(г+1)=гГ(г), Г(л+1)=л), Г(1)=1, Г ! — !! = )' л, /1! 1И= 2Яй-1 / Г (2г) = — 1' (г) Г~г+ — ~ Г(г) Г(1 — г)=— мн лг ! г —— Г(г)-г У2нз г-' для г3ь1ь Бэта-функция 1 В(х, у) И г(1 — !)г 'М= Г(х) Г (у) Г (х+у) 2 ~ з(цех ггусогтг ггуйр (((ех>О Кеу>О» дОполнннин /те (г), а — (1п г — 0,115%), л О, 2 (л — 1)! /2)и /!/и(г) — о — ( — ), л=1, 2 3, ..., / .„ (г» = ( — 1)д /д (г).
И „ (г) =( — 1)д /Уд (г). 2 Хд (г) /тп (г) — Хи (г) )т'и (г) = Л (Хд, Фи) = —- (определитель Вронского), /!/д ! (г)'/д(г) — /тп (г) /д-! (г]=/! (ед /"и)= —, /и(г)е /ма, /и(г) = — 1 е *" т+ пчлф -', „=, 1 -'* '-. 2н,! « -сд — д и'и (г) /„(г)+//ч„ (г) = ~г/ — е 1 а а ), е — !ии|ие (л — целое число), Ренуррентные формулы 2л — 2 (х) Я -+2 -, 22' (х)=Е - — Х и и — ! д+1 и и-! и+! илн (~ г) ~Хи (к)1 Зп+! —.("Зд(к))=. З„м — ! " 1=— Зй = — 2!. (кЯ! (х)Г = хне (х), 1 З;( ) Н.= — 2 "(2)( )+2;( )), Лй (ак) х !/х = — к'(У.' (ах) — 2, (мх)Е~ ч; (с!к)).
Здесь Яи (х) =А /и (к) + В/ти (х) — любое решение уравнения Бесселя — — (к — и) + (1 — -) Хд — — О. Фуниции мнимого аргумента (-.")" а=о 1 .д~! и ..и Гг! (и — 1)1/2 1и К (х)= — и/ /и'и 1/к) — —, тт/ — е- К (х)— д 2 и — и а)/ 2к . и .т о (-) +..и л~о, / и(т)=/д(к), Кд(к)=К д(х), дополнении 1„(х) К'„(х) — 1„'(х) Кл(х)=Л(1„, К„) 1 1„!х) К„~(х)+1л-т(х)К„(х)= — Ь(1л, К„) 1 х' 2п 1л !(х) — 1„ы(х)= — 1л(х), 1„,(х)+1лы(х)=21л(х). х л ! Хп+ — Хп — ! 1+ — )Ял — — О, 2„=1„или Ел— - Кл. л= Некоторые интегралы е-"7„(Ы) — = — „(~'Р+ Ь вЂ” )". Ж 1 о лл (2Ь)лГ а+ — ) 1! 2) Г~ — ) (аа-1- Ьл) 2 лл с-агд! (Ь1) Ф= )п +) а + Ь (а, Ь выцественны )' ох+ Ьа о и положительны).
7. Пол и номы Лежандра Уравнение И! — те)у')'+п(а+1)у=О ( — 1(х(1), т — ! — ) Рл(созй) прн г(ге, Й Ьгглл+ г' — 2ггл соа б 'к. 7' — Ж" Р„(ССЕ6) Пр«) Ггл ЛЛ Г !Г1 (л=о лл Р„(х)= — ((,~ )У*) 2ла! ахл (а-1-1) Р„, (х) — х (2а-1-1) Р„(х)+ар„т (х) =О, Уравнение присоединенных функций гпе ((1 — хл) у'!'+(а(п+1) — )у=.О, ! Р!т) ( ) Р(~1(х) ! 2 (и+го)1й Ь ~ 1, Ь=а, ! у~лов (Х) =(1 — Хл] а — Р„(Х), Кетх) — „— о — ~1п -+С)+..., С=О,5772...— посгояняан Эйлера. дополнкник вго' в ~ ( +!) ф (Р)Р„(сове); / л фа(Р)= ~/ ф ! л (Р) л "+в ~', ( + 1) Ь (Рл) фв (Р) Р (аи В). и=о 'У' (2н+1) фн (Рв) ~а (Р) Р„(сов В), г ) гел н=о Ь-(Р)- ~/ — "Н„+ л (Р)л Я )г гл-)- гл — 2гг„сов В, р=уг, рв=ягв.
ф. (Р) 1.н" (Р)-Р."ф; (Р) = —,, влн Р 1 Ипр фв (Р) —, фл (Р) — ! — ссе Р), Р Р! Р ,'( -Л,'( -% ~, й" (Р)= Ва'(Р)= ! — — 1) 8. Ги нергео метр нческая функд ия Р(а, (), у) Уравяение в (1 — а) у" +(у — (а+Д+ 1) в) у'-а!)у=О, у у, Р(сс. р. у, в)=1+ — в+ а8 а(а+1) 8(()+1) 1 ° у 1 ° 2-у(2+1) вв+" л у=ус ' тР( — 2+1. () — у+ !. 2 — у, а), Р„(~)=Р( — и, +1, 1, — 1! =( — 1)" Р ! — и, +1, 1, — 11, Р!т! (а) (я+ т)! в у 1 — вл 2тт( (н — т)1 (1 — вв) Р~т — п, т+н+1, т+1, 2 г" Кснфяювнтиая (вырожвенная) гинергеоллегрнческая фуякция Р=Р(а, у Р)=!+ — -Р+ ' +"' +-' 1 у(у+!)а( олР ИР Р + (У Р) — — ар=О. с(рв с(Р ДОПОЛНЕНИЕ !3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
