1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Здесь приняты обозначения Чгт (х) = [хфг (х))', 8[" (х)= [хч[" (хЦ'. Указа и не. Потенциалы и„, из, из удовлетворяют уравнениям Ли +А~и =-О (з=(, 2, 3), йт=йз=йз, Ьз=и, УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА и граничным условиям йз йззиз = — из, р д д — (и«г) = — (изг) ) дг дг Аз " =аз«из. р при д д Г=Ь. — (гиз) = — (ж«з) дг ' =д. при г=а, Функция и, прн г(а, а, при г~а удовлетворяет волновому ураянению йи+йзи=б, где Г ыз ззз= — прн г(а, сз Аз= при г~а. с' На сосерхностн сферы г=а должны быть непрерывны тангенциальные составляющие вектора Е и вектора рр, т. е.
Ее и рте« дз дз — (ги«) = — (гиз), дг дй дг дй ' др р дй Эти условия будут выполнены, если потребовать, чтобы были непрерывны д йз — [ги) и — и: д д — (ги,) = — (ги,), йз прн г=а. ййи« = ««з р з«ззи функция ги„очевидно, имеет н источнике особенность типа —, где )( 1 с«ззл )«=)«ггзз+г'- — згг' созе ((г, 6, «р) — точка наблюдения), т. е. и й а а з«з'л Г!олагая и,=аз+о„где й,= —,из —,— (с« — нормировочный мно.
г' г.' йз)« житель, который будет определен ниже), получаем для о, и и: ао«+й(о«=О прн г(а, бит+Азиз=б при г)а, д д д — (го,) — — (гиз) = — — (гйз)« ~ дг ' дг " дг йз прн г=а, лаз(о, +«тз) = —. и рЬ~ и, [' — й),)=О, О выборе выражений для я,, и„из см. предыдущие задачи, 91. Р е ш е н и е. Введем сферическую систему координат г', 6, «р с началом в центре сферы, диполь находится в точке г г'. 6=0. Поле не зависит от угла «р и определяется через скалярный потенциал и [г, 6): дз 1 дз(ги! Е = — [г««)+Аз(ги), Ее=в дгз дг дй Е =О, Р),=О.
у[а=о, И [сйз ди )ыз дб ответы. РЕАЗАния и Решения Частные решения нмек'т вид о; =(А,ф (бв '+ Щ'(богДР„(ожб), ,„=(В„Я" Ь)+Воф.(йг))Р,(с 6). В силу ограниченности фуикпии ит нри г=О коэффнпиент Ао=О; нэ условия получения при г-ьсо следует, что Во=О. Поэтому о~ (г, 6) = ~ А„ф„(бог) Р„(соэ 6), (2) ио(г, 6)= ~ Вооа™~ (Фг)ро(соэб). Лля определения коэффициентов А„и В„иэ граничнык условий при г=а, используем раэложения фундамейтвльного решения ио в ряд по полиномам Лежандра: ~ а„('и'(бог)Р (с 6) при г)г'. и=а 'е~ь'л (йо(г (3) ~ б„ф„(а,г) Р„(соо 6) при г ~ г'. а=о а„=[2а+1)фи(бог'), Ьо=(2а+1) ~о (бог').
При г' — ь О должно выполняться условие ао-г и=(роаоогчо (бог) Р, (сов 6) (ро — момент диполя). Учитывая, что первое слагаемое при а=О в (3) следует отбросить, таи как для него Но=Ег=ВО=О, и эамечая, что 11ш а" =) при а )1, прк и= 1, 2 (лоа) Ал 1у бо ) (1аа~ находим а=2(робо. Подставляя и условия (11 прн г=а выражения (2) и (3) (при г=а г'1, получаем Р „2.'о (би )+ А. Р.
(й. ) = В.го' (Ы), 4 (ао((йио' (боа) + Аофо (боа)) — В 4оо (Да), р 2о'(р)=Мо'(р)Т. ф. (р)=(рф. (р)1'. В= — ", = — "'~. Отсюда наясднм А ! 21 (боа) ьо (ба) — ьо (боа) 2оо (аа)1 1. 6(р В =( (боа)2о (боа) — (о'(6 а)7 (боаИ ( ", й = фа (аоа) 2ли' (йа) —, Ьи' (Да) Чги [аэа). /гоар Если а-гоо(й-ьсо), то В„=О, уп. нндвнппия эллиптичнского типа из= ~', А»ф,(йг) Р„(сене), » о вне земли (г)а) еечьн и,=й — + 1 В„1»н(И )Р,(с е)- (йьВ (фаей+В») ~» (Иег) Р» (сов(0 »=е ~ [ВЬ»зр»(йег)+В»ф'(Изг)) Р„(созВ) (г ) г'1, (г ( г'1, »=о где Й'(Иа ) Ч'. (Иаа) — Ь(И") 2Т (ИМ) А» —, (щ (Иеа) Ч»(йа) — У»п (Иза) зр» (Иа) О» (Иа) зу» (Иьа) —, з)» (Иьа) 'К» (Иа) И) В » Им рь„ Иьк ф'(И,а) Ч „(Иа) — г»и'(И,а) Ч, (Иа) 2(рддр а+И а»=(2л+1)з)» (Изг )ю Л» (йа+1) (я (Иег ) Если земля идеально проводщцая, то Ч~»(Иоа) А =О, В„= —,"и ВИ», гп'(И ) В результаты и =О, г.'н (И,а) Сьь задачу 91.
93. Вертикальная електрическая антенна ка сферической земле, Антенна помещена в точке г'=а, 6=-0 на поверхности земли. Внутри земли (г~а) 2рьИ, 'ч~з (2»+ 11 ~»и (Иоа) "з — азйь,Г,,~, (И,)[2»~(Иза) В 1'Ь(йг)»( '1 »=о и мы приходим а решению задачи о диполе, помещенном в точке (г'„О, а) внутри идеально проводящей сферы. 02. Вертикальная електрическаз антенна над с4ерической землей. Антенна (точечный диполь) помещена з точке г'=а+И(И)О), 6=0 и ориентирована вдоль оси 0=0.
Л1омеит днпоза Равен Р Рье им. ВРеменной множитель и ьзм мы всюду опускаем. (г Для потенциала и= — имеем: г внутри земли (г (а) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вне земли (г ~о) 2рв 1т (2п+!) ~» (Иег) Здесь Ся обозначает выражение С„= й Р" (И') ~" (Иео). т(Ы (Ио) У к а з а н и е. Необходимо в решении предыдущей задачи совершить пре. дельный переход при И-:О.
В процессе вычислений использовать выражение для вронскиана 1 в вР» (х) Сл ' (х) — Гп ' (х) »Р» (х) = —. Предельный перехоч при И-ьй дает; ! пп (о () + Еа) = 2рв 2п+! з-с " " оз ф— 2во'(Иа) 4. Антенна на плоской земле О(. Вводится электрический вектор Герца П. направленный вдоль антенны. В цилиндрической сиоп.ме координат р, ~р, г имеем: П,=П„=О, П,=П. Поскольну задача обладает аксиальной симметрией, д»П д»П ! д ! дП! Е Е О Е +И»П ..
(р ОП+И»П О дрдг ' е ' дгв р др (! др г!' — ° (сйз дП Н Н О, Н= — — —. ы др На поверхности земли при г О И»П» И П дП» дП дг д в где ыв Пв, И,'= — соответствует г ) О (атмосфера), са еыв+(4паш П, Ив = соответствует г ( О (земли) св ( =!) Момент днпаля р=г(л ГНГ, рв — — (; множитель»"Гты всюду опущен. йй. Элентромагнитнае пале выражается через магнитный вектор Герца, у которого отлична от нуля лишь составляющая вдаль оси антенны П»=П, поэтому Е» О. В силу аксиальной симметрии ы дП Е=О, Е =! —— с др' д»П, д»П И =., Н, =О, Н =(г»П+ —. уп. крявннния эллиптичнского типа Потенциал П удовлетворяет уравнению соо ~А$ — при г ) 0 се 1 ЛП+й»П=О, где йз= ~ вью+ )алого при г(0, с' и условиям сопряжения на поверхности земли дП дП П,=П, — ' — при г О, дг дг причем ыон Г)о= + Г)о»тор )Г ан + 11»оор )Г где ГГ= усто+го.
Первые члены в ваших выражениях означают потенциал Герца для дипаля в неограниченной среде с соответствующим волновым числом Гй или (го), По„ор и П„„р — вторичное излучение. 96. Введем систему координат хо у, г, направив ось г перпендикулярно к поверхности земли, а ось х — вдоль антенны, Е=ягаб спи П+йоп. Н= — — го) П, П=(пх, О, П ), Гаго где Пх и П удовлетворяют волновому уравнению д ГдПх дП»1 д Гдпх дП» 1 Гои+. ' х+ о~ В ' х+ дхт дх дг )' ду'1 дх дг д /ди дП Г Гсао дП Гс)го /дП„ОП ~ Голо дП Граничные условия при г=0 Гиа поверхности земли) аоп =доим о з )л,— = йо— диох дП„ о д д о о о дП»о дП»о дП» дП» й)П =дои„, ° + ° ° + дх дг дх дг Обычно вместо По вводится функция Гц дуо РУ, др И= о,и,=' дх ' Гго дх' Г!ервое и последнее граничные условия дают: дро "о у =у, п„+ — =и„+ — —.
да Ггз дг ' ОУ, Пуси рамка с таком помещена в плоскости х, а, так что нормаль к рамке направлена вдоль оси у. Векторы поля выражаются через магнитный ьоктор Герца Е=à — гоГП, Н=йоп+Ягабб)чио ОО в. аь втло» о ар. Отпиты. укдзлыия и Решнния у вектора П отличны от нуля составляющие Пг н П, так что (ы (дП, дП„) гы дП с ~дд дг!' с дк д ~дпв дП.~ Н,=йтП,+ — ( — '+ ) дг ~ ду дг ) а дП с дк дП Граничные условия прн г О П =П„йяп,„=йзп,, дПсг дПг дПсв дПст дПв дП дг — — + — — — +— дг ' др дг др дг Если положить дРс дР П с г к )рг то вместо первого н четвертого условий получается; дРз дР Р,=Р.
П,„+ — '=П+ дг " дг ' 98. Помещаем в антенну начало координат. Тогда над землей 2ла гв,л У Пф — „— + ~ )в(ь)уа(Ь)е- "з дл (г)О), о в земле 2Л,' вган П= — + )(А)Х (Хг)е+~ Я ыгд), (г(О), Ля+ йв д э с 2л-Аз Х фй+ фз )Я~2 2$ 2я)лт Х 7( д'УЛ вЂ” д;+й)Уайт ' УХ вЂ” йя — у'д — дт Х) ц+йз уХ вЂ” йт д )гд — ге +2) )гМ,~в ' )г=Угз-(-г ° Воспользуемся интегральным разложением первичного потенциала Р е ш е и и е. Вводим согласно задаче Я4 влектрнческий вектор Герца П=(О, О, Пк П), причем зньл 2ь) згьл П,=,, — +П„,, П=,, — +П,, УН.
УРАВНВНИЯ ЭЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА н будем искать вторичное возбуждение в виде Пв втор=) гв (А) lв(Хг)в ~ д)т (з)0) УА' — ~~ 6 П„,р=) ((Х))в(дг)е'ж а" дД (з~о). Ь П, р и П„„р, представленные этими интеграламн, очевидно, удовлетворюот уравяенинм й()в втор+А»()в втор=0 йПвтвр+А Патер Требуя выполнения граничных условий /гвП»=йвП, — в= — при з О. дП дП дх =дз получаем: ) тт )[т! '"„— в+лат] т-~ (~"„— „' »АЧ1ти >в а и ( (р ( (~)+р)(А)) у (Аг)д)г=б (р=)т)в-йв), е где Р»=У вЂ” йт, Рв=)тв — Ат». Отс1одз и находим ) йод )" рв р й;+ й' Рв й'Рв+А»Р' ай)йв )т рв — р ~+И р йтрв+йввр' т)асгные случаи: 1) й=сю, земля — идеально проводягная, РД.)=0.
)»(Ц= —, йх рв егаал рв П=О (в земле). Первичное возбуждение антенны отражается от поверхности земли. х) й=йв, антенна в однородной среде (в воздухе). В атом случае ),(Ц-о, )(Ц=б, авл П вЂ” во всем просгрзнстне, )( 22» ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 99. Магнитный вектор Герца П=(О, О, П) определяется следующим образом: над землей егаей Пз = '„+ ~ ). (Л) Х, ( ) — * лЛ (, О), о в земле е *ц + ~ ((Л)уа(Лг)ен'г(Л (ак(9, )( в где (з ()") = —, — —, ! (Л) =.=-- Р Рз Р ьгЛз йй р ° з Рз Ре+Р Р Р+Ре Вырангения для Пз и П згожно записать иначе: Пз=-~ е "' Лг(Л при я)0, г' 2/о(Лг) Р+ Рз П= ~ ' сп Лгй, прн з<0. 2Уо (Лг) Р+Рз В случае идеально проводящей земли й=.со, Р=со и П=Пе=-О.
Дей стане магнитной антенны компенс руется викревыми токами, возникающими в земле. Указание. См. задачи % н 98. !00. Вели антенна направлена вдоль осн х, то в соответствии с задачей 98 вегиор Герца П==(Пк, О, П ), где Пз = „" е ' Лг(Л при з)0, Г 22я(Лг) М' Пк= —," ', ег"Лг0 ВРи з(0, Пз =2(йа — йз)созгу — ', е пт Ляг(Л, а~О Г У;,(Лг) П = — '.(й' — й„')гонгу 1 — ',, еп'Лзг(Л, а~О, М =Р+Рз М=-йзРз+й)Р Р=) Л вЂ” й ° Ре=') Л '«1. Указан не.
Функция П„определяется уравнением йи+йзп 0 и тра яичными условиямн йтзПе йзП йз — ' = йз при з=О, йп к,г)Пк ек к~ з 8 УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ггг Отсюда видно, чта функции Пок и —; П„совпадают с выражениями для Г(, и к йг к П в решении предыдущей задачи 99. дГ Для функции П,= - — имеем: дк дйо й„' дг Р =Г, П к+ — - = П„+ — »в дг йз дг при г='„ Полагая го=с! (»(Л)»о(ЛГ)е и»*ДЛ (з) О), б Р=( р(Л)У,О )еи»дЛ ( ~О) в и пользуясь уже найденными выражениями дла П,, и П, получаем: Функция П вычисл ветен по формуле дРА др, Аг дР По = — о=сазгр- — о, П = — созгр —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
