1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 96
Текст из файла (страница 96)
дг дг ° г= йг дг 10!. Используем все обозначения задачи 97. В щом случае пале Е и Н выражаются через магнитный вектор Герца П =(О, П„, П ), где П„= —,Х,(Л»)е и"ЛдЛ при г)0, Г 2й„"- Пе — — ~ —,„," /о(ЛГ)еи»ЛдЛ при г(0, ГУ 1 П 2 (йг йг) »1п ф о е н»гЛ» дЛ при г О " зо (Лг') — .г . а П, = 2 (йо — йг') з1п гр ~ — ',, еи»Лз дЛ при г С О. 1' У:(Лг) Е=йгад ГПУ П+й»П.
Н- — !Аго1 П, Для потеицлала П П, прг г)п, Г1» нря 0~» ~а Значения йг и )г" даны в ответе к задаче 100. 102. Поляризационпый потенциал 1! =-(О, О, П» П) определяет компоненты алектромагнчпюго поля с помощью формул Отпиты. ркАзлиия и Рпшпния палучаевп Пв=Пвперв+Пвввар» в Пвверв+Пвеваре Пваерв= в) 1е()">')е * * ° рв Пвв, р ) ().)1е(З )г '"'*+" рв Пвпере=~)в())уе(вг)г * е П,(г гы )В й)В рв П...=11.().))1е( ) -"И*+"'~. рв а рв= )Ъ' — йвв,' рв УХ~ — )в,' Используя граничные условия дП, дП авПв = «веП, — ' — в при г и, дг дг аГ), а также — '=О при г=О, находим дг Азер, — ав)вв Гп р,а й))и+А)р,(пр, ' б йег и~ее+ иве+ пег» й РВВ )'®=1'(Б)=~Ц~йр, +р,й) йр, ' !ОЗ.
Пусть 1 1е((г)е нм(Г(з))1) — сила тока в прямолинейном проводнике — 1~а~( длиной 20 Цилиндрическая система координат выбрана так, чта линейный ток направлен вдоль оси г н симметричен относительно начала координат. Вектор Герца П=(0, О, П) определяется формулой ! П(р, ф, г)= — е„~ ~ Пе(р, ф, г; $, Ф Д)(()Щ, евай где Пе —, )т — расстояние между точками (М (р ф).
г) и (Ме(е. Ф). ь)е 11 ' Е=йгабд(тП+явП, 11 — (гго(П. Сопротивление излучения равно е К- —,) ~ П(("+ИЦ И вЂ” П)' ~), если 1( — 1) 1(1)=0. 21 Указание. ))ормировка П получается из условия Не~ вблизи така, ср шт. хнлвнения эллиптического типа Входное сопротивление линейного тока определяется следувицсй Люрмулой метода наведенных ада 3 1 Г ) Е*(Ме Мь а)/(а) да 1,1 — г Подставляя сюда вместо Е выражение Ек — +ИП дтЛ дхт и ишегрнруя по частям, получим приведенное выше выражение для Я. 104. Бели диполь полуволновой, то У=(з)(г) прн — 1чег~1, где ) (г) соз Фа, й — ° 4 П ' ~Пе(М,М„а — ~)созй~д(;, — Йс — ! входное сопротивление полуволнового диполя 1 Г 1 — сова Г з)па Е= — да — 1 ~ — да с Ц а а с Активная составляюшая входного сопротивлении или сопротивление излучении ен 1 г1 — ана, Й» е Реактнвнаи сосшвляющая илн реантанц 1 т" а(па ~Ь,— — — ' — д .
с) а д'П Решение. Для вычисления Я используется Е, — +йяП где дгх Š— а ~ ~ — +йзПо(М, Мо) а — ()1)Яд~. — ! дзПч дьПа Учитывая, что — —, и интегрируя в дальнейшем по частям получии1 дае дКз ' Е (М, Ме, а) — з ~ Пь(М, Мь а — Ц Ц'(~)+аз)[~)) Л(+ (-Пе(М, М;, 1+а)1 ( — 1) — Пе(М, Мы 1-а)) (1)). Зто возможно, если )' (я) кусочно-непрерывна, ответы, укязииия и Решения йля полувслнсвого диполя ) (г)+лэ)=0, )(-ю- 1)=О, Г'( — ()= — )'(()=й. Поэтому Е, (М, М„; г)= — э (Пэ(М. Мз, (+г)+Пэ(М, М .„[ — г)).
Псдстансвка этого значении Е» в формулу 1 р и= — — -- ')Е»(М» М»' г)/(г)1(г (э 1 К= — — ~ П" (Ме, Мз; (+г)1'(г)1(г, 2( с ег" Це»' Пэ(Мэ Мэ' (+г)= (+г Полагая (+г=м, после несложных преобразований получаем приведенную выше формулу для Ю. В частности, в практической системе единиц р ! — сова г мни И=30 0( — аа — ( — ях ом. а а о 105. Пусть ось г совпадает с осью волновала„ а диполь находится в пло. скости г=~ в тачке М„ и направлен параллельно асн г. Поле определяется одной лвшь г-кемпонентной электрического вектора Герца П=(О, О, П), где П= — —, П»(М, М,; г — ~), р»=)з( — маме~~ дкполя, тпрз — (ас М и ̄— тачки в плоскости перпендикулярного сечения, Пз (М, М, — Ь)= Х И~И» (Мэ) е Рл Ц 2р» »=1 р„=)~Մ— й', А=И)с, Մ— собственное значение, а фз — нормированные собственные функции краевой задачи бэфз+);ф»=0 а Е.
ф„=О ° С, 3 — поперечное сечение волновода, С вЂ грани области 8. Сопротивление излучения 1('~' = 1.п1 —, ~ — (Е»»») г(о Ц,)~ 4й З + кп. килнцпния нллиптичисдого типа равно л 4. ° у Х„ф„(М,) где Ж вЂ” максимальное число бегущих волн в волноводе, так что Хм йз, Х,~ ) йз. Если диполь находится на оси круглого яолновода радиуса а, то уа~ ч (1 12 рма сйзоз'1 а,) / а т=! уз( ) ~/ где ям †коре уравнения Хе(р)=0. 4пдч тек а за н ие.
Формула П= — ". Па следует нз общей формулы для П, — (йс приведенной в о~веге к задаче 103. Функция источниса П' для волнового уравнения Ли+а„б в произнолщюй цилиндрической области с нулевыми граничными условиями была построена в задаче 46. Прн вычислении дищ использована формула яш'= Ищ Л Ц (Е Нк' — „и") /йр') ° -сю 4ц(о т+З-» и первая формула Грина. 106. Лля произвольного линейного чоха 1=1„7(х) при — 1(а~1 функция Герца П= "" ~па(й(, и,1 х ().(г)лг, — (йс -1 где Па(44, 1Иа; г — Ь), даетсЯ фоРмулой (1) ответа задачи 105.
Мощность излучения )р,=цй"", где ) См. (7), стр. 542. ОТВЕТЫ. УКАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ В общем случае для полуволнового диполя в волноводе произвольного сечении 8 получаются формулы а 4п»Д»)ял (Ме) (1+ свен )» ! Ть с л,з )»~ уг) Т» ф» (М, ) (! ).з-я ~У"~» 1) ) „)/1„— 1 ч л+~ 1+ сов и )Г! — у' » я~> у»( )р»»»1 Т» реактанц р»о 4 чт с и»=- 1 ) „» )/1 Т»ч с у~( )» )»»Т~ ! ° рм где у" †„ р †коре уравнения » (р) О. о †ради еолновода. '» е )»й' ю3 з !0(Ь Пусгь Б(0(к~а, 0(у~а) — сечеяне волновода. а) бесконечно малый диполь ориентирован вдоль оси у н находится в точке Мз(»), у„).
Сопротивление излучения етого диполя дается формулой з я гь=Г и» з я=с / 4 ню нп ф (М)=ф „(х, Р)= 1Гà — з)п — х мп — Р, фя(м) ф (х, р)= 1»' м "соз — хсоз — У (я)=( оЬ а Ь ~ =~В, — 2 гл»» ч» ! .=~Л, и „-~/)р — )", )-О,) ) чь0/» Ьфз+Зяфя 0 в 3, фя 0 иа С, ~ ф»»(о 1, Т'„—,, С вЂ” РРаница 5, Ум~ )'л Ь ° ц1, Т)т+ ) 1. См. задача 45 н 103. 107, Для полуволнояого диполя, ле»нашего на оси круглого волновода, имеем: активная часть входного сопрогивления УП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА фте=О, т)зз(х. У)= ф — сОз — х, А, =~ — ~ )~ ой и для 1(<а' получаем формулу Слэтера — мне — с( ,='(-) (2] (формулы ()) и (2) даны в практической системе единиц). б) Пусть полуволновой диполь ориентирован вдаль оси р, а сто концы Х н ваходятси в точках Лз(д, у,) и Ма(д уе) причем ра — уз= — = —.
Распре- 2 й' деление тока в диполе дается формулой 1 = 1а а)ц й (У Рз). Сопротивление излучения равно Х— мпе — т( ома — (уз+1-) стнз ™ -1 -~7И дш~ = — й йн с (дал ~ й') 1шз лз) т ), л=О, р =$' ьума:чз, йма=пз~ — + — ~, еа=) (аз Ь" 1" " ( 2, лчьо. Верхние пределы суммирования находятси из условия А „(йа. Пределы й( и )У', А' н Ж' таковы, что Хлм.. 1л и,— наибольшие собствент 1 т ( ные значения, при которых нм„н хна веществейны, В наиболее интересном для практики случае волны 11зе имеем: ДОПОЛНЕНИЕ 1.
Различные ортогональные системы координат Лй!й Л,(й Ц(й д д д дхй дхй дхй ЛйАй ЛйАй ЛйАй го( А=— ! йф,Ц где йы йм !й — единичные базисные некторы, йА =(Ао Аз, Ат) — проиэиольный вектср, й — скаляр, Ай=А,(х,, хй, хй), х=1; 2, 3, и=и(хй, хй, хй).
1. Прямоугольные ноординаты «,=у, «й=.х, Л,=!. Лй=.1, Лй=1 дп дп ди дА„дАа дАй йгаб и= — — !+ — )+ — Л, д!т А = — + — а+ — ' дх ду да ' дх ду да ' Л д д д дх ду дг А, А„Ай Лн= "хх+ "эз+ "й ° е ини ные некто ы осей где й, у н Л вЂ” направляющие д ч р х, у, х. Пусть х, у, й — декартовы координаты некоторой тачки, а х„хй, хй — кри- волинейные ортогснальные координаты этой точки. Квадрат элемента длины выражаетсн формулой дай = дхй+ дуй+ дхй = Лйдхйй+ Лй йдхйй+ Лйй(хйй, где Лг=~/ ~ ~) +( — «) +~ — ) (й=1, 2, 3) — метрические коэффициенты, или коэффициенты Лама. Ортогональная коор- динатная система полностью характеризуется тремя метрическими коэффи- циентами Л, Лй, Л .
Приведем общее выражение для операторов угад, д)т, гог и оператора Лапласа Ь в ортогональной крнвоаинейнсй системе ксордипам з %т 1 дн угад и= у — — 1, Л Л)дх; г' 1=.! дса 4= „Ч ~ — (Л Л А )-1-.— (Л ЛйАй) ! (Л,Л А )~ 1 Гд д д ДОПОЛНЕНИЕ 2. Цилиндрические координаты Х,=Г, Хз=ф, Ха=а связаны с прямоугольными координатами уравнениями х=гсовф, р=г з)п~р, г=г.
Координатные поверхнсктн; г сопя! — цилиндры. ф=согв! — плоскости, а = сопя( — плоскости. Метрические козффнциенты равны дз=г Дз=! ди ! дн ди ягад и= — 1,+ — — гз+ — Гз, дг г д~р дх 1 д ! дАз дАХ д)ч А = — — ( А,)-1- — — '-(- — ', гд ' г60 дх' ! 1 дАХ дАз) /дАз дАз'1 Г ! д 1 дАз) то1 А = — — з — — ' ) 1!+ ~ — ' — — ~ ) (з+ ~ — — (г А,) — — — '~ )з, ! д( ди! ! дзи дзи ди = — -- ! г - — )! + — — + —. дг ') дг) з арз дат .
3. Сферические координаты хд=г, ха=В, хз=м связаны с прямоугольнымн координатами формулами х=г мп 8 соя ф, р= г зю 0 з)п ~р, а =г с!и В. Координатные поверхности: концентрические сферы г сопя!, плоскости <р=сопз(, конусы 6=соне!. Метрические коэффициенты равны йг= !. Йз=г, йз — — г ип 6, так что дн ! дн ! дн Втаб и= — Г,+ — — 1з-1- . — 1з, дг г дВ тяп В 66( 1 д 1 д ! дАХ 61ч А = — — (гзАз)+ —. — (ап ВА !+ —.
г" дг гмпдд0 гяп0 дф' 4. Эл лип тнчес к не к опрд и н а ты хз Л ха=(х, ха=а сцределяются с помощью формул преобразования х =сЛГь р =с Фг(ЛХ вЂ” 1) (! — рт), а=*, где с — масштабный множитель, ! Гд дАз1 ! Г ! дА, то! А= ~ — (мпВАХ) — ~~1,+ — ~— гз!ЛВ!Гдб дн~ ' г! мпз дм д — — (гАХ)11з+ дг 1 Гд дАз1 Г М, ~1 г Ьдг 681 ' ДОПОЛНЕНИЕ Метрические коэффициенты равны Координатные поверхности: Л=сопз( — цилиндры эллиптического сечения с фокусами в точках х -+-с, у=0, р сопз( — семейство конфоквльных гнперболическик цилиндров, г=сопз( — плосиости.
5. Параболические координаты Если г,  — полярные хоординаты гочки на плоскости, то параболические координаты могут быль введены с помощью формул — В х) — — Л= Р 2г мп— 2 ° В х =р=ф 2г сов — х,=г. 2' 1 х= — (рэ — Лэ), у=Лр. г=г. 2 Метрические коэффициенты й,=(Н=)гЛэ+рэ, Ь,-(. 6. Эллин со вдаль )) ые координаты Вводятся с помощью уравнений (а Ь)с). хз уэ гз а'+Л Ьэ+Л с'+Л вЂ” + — + — =( (Л~ — сэ) (уравнение эллипсоида), к) )л гэ (уравнение однополостного — + — '+ — =( ( — ~~р~ — Ьз) аэ+ р Ьз+ р сз+р. гиперболоида), „э уз гз (уравнение двухпочосгного —,+ + ) ( — Ьз)ч) — аэ) аз+ч+Ьз+ + "+.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
