1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 88
Текст из файла (страница 88)
0'=пз И, )'= -'- — '"--" — 3 'з«Г и' ~» (~~~~ а): и' п ~р~"')2 $( ь'(р1"212~' г'„'-'~р~"~ь) ( 2(р("212 В частностя. прн «=О имеем ...(Р)=',((,",~ .(р."р)б(»- .(. Р)), где б ( ) = г„(р~"~а) — ~"„,~„(р~„"~ ), б (Ь) = р„()ф~ь) + Ь г„(р~"~ь), рм б(а)=И„(р'"1а) — Ь„, И„(рж>а), б(Ь)=И„(р'"1Ь)+ ~„И„(р<)ь). рм рт ()О) 1) ом. о Р = рп ( ом.
е (2 = у) (ор,.»') — Л (Ьр.'"') (~ ) 1) (ьрм») до до я) Третья краевая задача: — †до прн р=а, — + Ьо =О прн Р=Ь, др др Г сснмр, оеь«(Р <Р)=он «(Р) ГР«ОР) Ф«ОР)=( ( мппф, „(Р)=у„(р'"1р) б (а) — б(а) И ()2'"'Р), (О) УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА О(веты( а) Первая краевая задача для секторе (л> Рлв ( . ПЛ о,л(р.
(р) /ли~ — р]ап - — вр(т, л 1, 2...,), — о ((ч ,„=~"'-"')', где р(л' — корень номера л( уравнения г (р) =О, Ев и. в-фР.'.(вг)~. б) Вторая краеван задача для сектора (л> ( рлв п „,(Р, ф Уил~ — Р~соз — (Р (л=о, 1. 2, ...; Я(=1, 2, ...), — ч>в (и)(2 Хи,„=~ — ) в Р(л) — коРень нОиеРа гл УРавненин,/ (Р)=0в (л! в „„„( в)~ .,л.
в) Третья краевая задача для сек(ора (л( о,. (р ° р)= у.. ~ —, р)'р. (Ч) чл сся тлЛв+ +Лв ип ти9 «рр)= в )в' чв+Л1 (и((2 где та в иоле(кисельный корень уравнения (к чврв=- (Л(+ Лв) т л р(и( — корень — Л,Л уравнения рl, (р)+адов' (р)=0, тл Л ((ив 'ва ( 1+ 2)( и+ ( 2) ( р)~ ~1+ „)У (р ))2 ОТВНТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕГПЕИИЯ 29. Ипгегся решение уравнения ! д! до1 1 г)зо — '(Р--)+ —,— +Ло=0 (п(Р(Ь. 0(ф(ЯЧ), рбр( М Раъ' удовлетворяющее однородным граничным услонням а) первого рода, б) второго родаг н) третьего рода.
а) Первая краевая задача: е =0 при р- †-а, Ь; ф=О, ~рц, оаь а (Р ф) = )Гг». а (Р) Фа (ф). Фару)=мп — ~р (л=1, 2....), грз )7 .«(Р)=7 ((гшгр) )у (рш)о) — г,(Р.'",'а) (у . (Р'"гр), чч ч:е чь а или Л а=[р)„1) — норень номера ш уравнения (Р ) АГпй(ра) Огв) )у (РЬ) Н о, а !Р= ( Фа Р М ))м, а Р 2 6 А'ж, а Р.
Выражение дла 1)7ж, а ()з см. в задаче 27 (формула (4) с заменой заказ Вг l Подобйым же образом получаются выражения для случаев б) и в). 30. а) Требуегся найти собственные колебания для области а~рч-Ь, 0(г(1, если о=О при Р=О, р=а и г=О, г=1. Собственные функции огз, а. а (Р ф г) = йт. а (Р! Фл ОУ) да (г) где Фа (ф) =( (л = О, 1, 2,,), Г созшр жп лф пд 2а(г) ап — г (в=1, 2,,), (р(агр))У ((г(агп) У (1 (аго) ЛГ (см, ответ к задаче 27), р(ч) — корень уравнения г, (Ра) йа (Ра) .~„~рЬ> ж (РЬ) ' Л „=(р~"1)'+~1), п( (ож,,„а((з= — аа(я, а)з. УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Выражение для ) А', л)з см.
в ответе к зккаче 27 а!. де до б) В этом случае — О при р=а, Ь, — =О при г=О, г=(, так что 'дг= Флйр)= ' (л=О, 1, 2.. ), з!и шр пй Ез (г) = соз — г ! (й О, 1,2,...), )гльл (р) дано в ответе к задаче 28 б), ! ( [л))е+ ~пй) и! ) от.л.з)'= †за) )щ,л)' всегда положительна, а при малых е равна 2 1 1 А)ч = ) - — +...=7,41 азг) А)а аз!п Ф йее 2,4048г где члены более высокого порядка малости относительно е отброшены. Из этой формулы видно, что Вш М,=О.
е в Решение. Наименьшее собственное значение л) жестко закрепленной по границе р=а круглой мембраны определяется из уравнения .Г, ()').;а) = О, а первое собствениге значение лт кольцевой мембраны ер(а с хлестко закрепленной границей определяется из уравнения 7 (У),1е) !т',(УКа) — )з()Г)ча) !Уз(Р ).1е)= О. (1) Полагая ~Ъ, =)ГА)+а, так что адг 2)гЦа, и Учитываа, что I~()г)че)=1 —..., )У~()Г)че) — 1и )'Х,е+..., )т» (гг)га) = !Уз (Уг)) а) — гУг (У)за) аа, ле О' йта) = уз (г' )Ра) — у, (р ца) аа = — аа/, ()/Хоа). Иэ уравнения (1) получаем: л Аа(Р'Ца) 1 2а У ()' 'А! а) )' Цв 31. Если Х, †перв собственное значение кодьцевой мембраны (е( рПа) с закрепленной границей, а А) †перв собственное значение круглой мембраны р (а с закрепленной границей, то поправка бйг =Х, — Х) ОТВЕТИ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Воспользуемся теперь ныражением для определителя Вронского у (х) й/е (х) — Хе(х) )уа (х) 2 так как Хе Ц/)(оа)=0, то отсюда находим ф. ()/Цо) = 2 и)/)хха/х(р ) хха) 1 1 а= )/ ! х ое г х ()/) хи) 1п = )/Цз Ьйх ~ 7.41 1 ах 1п 32. Если нагрузка М мала, то Цго )х )„о ы о 1 Ых Хх — )хх х (п— е Если нагрузка М велика, то 1пп )хх=0, (пп )ха=ах, ы сю м а) )„= 2чС вЂ” -1-,. 1 и где С равно 1 1 С= — =— 1п— Р где е Р=— а так что 2п 1 )х, = — — + 1 И !и— Р Р е ш е н и е.
Уравнение колебаний мембраны имеет вид 1 х( / х(и! — --(р — /!+Ми=О для в(р~а, рб~ бр! где б — плотность массы. Гранина р=а закреплена, так что и (, О. е Обозначим У)хба=х, )/йб е=рх, р= —. а Так как первый корень уравнения (х(р) = 0 равен рх = 2 4048 и Хх(рхх) =0 5!91, то ОП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ))ля получения второго граничного условия изменим задачу, заменив нруг радиуса е с центром в точке О абсолютно жесткой пластинкой оюссы М, для которой уравнение двюкенин имеет вид тя Г ди о(и Р = з — р и р=2пе — (в), 3 г)р г(р о=о — )гМи 1, =2пеи' (а), так как и= — Хи. Обшее решение имеет внд =ЛУ. (Уйбр)+ Л У, ()ЪВР) или г' х !х и=)уо (х) уо ~~ — р/ — /о (х) Фо ~~ — р).
Условие при р=е дает нам уравнение для определения )и уо [Рг) (то 1х) — га (х) А~о (Рх) 2Р Хз (Рх) Йо (х) — Жо (Рх) Хо(х) Б [х), где 8=, х=)' Аби. Решение дисперсионного уравнения (1) моигег быть найдено графически. График функции 3 гх) имеет вид рнс. 59. Рис. 59. Здесь ьо. йг йо — ксрни знаменателя функюги 3[х)„а пунктирная кривая — парабола 1 3= — - хз 1пр. 2 бодаазя значение М (но рис. 59 оризон~ аль Алй наиден соотвегствую- Шис корни дисперсно,нного уравнений. Ответь<, умлзйния и Решения При М-ьсо горизонталь АВ стремится к оси х, первый корень стремнтсн к нулю, остальные корни стремятся к значениям Ц, Л",, Лет, ..., которые являются корнямн числителя функции Ю(х).
Величины Ль|, Л), Л), ... отличаются от я„ А, йм ... на величины, имеющие порядок везйчийы емкости круга рахн)чз в С= —. 1 е (ив а Для больших масс М первый корень будет мал. Раазожим цнлниарнческие функции возле нуля: Уз<с)=! — „, .! <х) = — х+..., Ьз (х)=1п (х)+..., Д<г (х)= — — + ... 1 1 Подставляя шн выражения в равенство (1), найдем: 2л 1 1 Лг — ° — = 2иС вЂ” + ..., М вЂ” 1пр М 1 а где С= — —, р=— 1пр' а 33. Пусть внешняя гранина калымной мембраны е «р.» а является свободной, т. е.
Оо — (а, ф)=0. 'Тогда 2 12,3 ОЛ вЂ” Л Ле— +.. ФЮ атлет, ()~Л(а) !и — а" 1п— )' Л<в 3,83а грт<т где Лгг.=<1 — '), Ртг — пеРвый коРень УРавнениЯ Ут (Р)=0, Рьг=3,83. 3ч. Задача о собственных колебаниях круглой мембраны. натянутой на отверстие сосуда объема (ге (барабан), приводит к следующему уравнению: Ь.гь=гг ~ (чггч (1-~), если предположить, что скорость поперечных волн значительно меньше, чем скорость звука в вгвдухе. Здесь бе †плотнос воздуха в с суде, с, †скорос звука в воздухе при давлении и температуре в сосуде, соответствуюц<их неподвих<ной мембране, I т с=1)г —, Т вЂ” натяжение мембраны, а — ее радиус.
Интеграл справа означает добавочное давление, создаваемое колебаниями воздуха в сосуде (см. (38), стр. 217). Из (1) и ортогональиости тригонометрических функций на (О, 2л) следует, что прн а~О собственные функции мембраны , ~р.),)(-Р, не меняются, несмотря на наличие присоединенного объема воздуха. Ин. ИРАВИЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧБСКОГО ТИПА Собственные фуиицвн, обладающие цилиндрической симметрией (ц О), имени вид зм(Р) зз( о- Р) зз(рм) ~Д,з/ ° (3) где Рм — НоРеиь УРавиениа Уз(р)-- — У (Р).
Х рз цбзс(а' Узт (4) ( 0,8373 при 2 1, а 0,5570 прн )( 5 и соответственно рт 2,442!. рт 2,9618. 35. Основная частота юз1м 1520 ген К Онв может быть увеличена в 1,45 раза, если присоединить воздушный объем Уз ~ 2()18 слз О( 1О). Ун звание. См. задачу 34. 9 5. Расирастранение и излучение звука Уравнения акустики, кан известно «), имеют вид ог —— — с ксали з, зг+6(ч е О, Р Рз где в — пентор снорости частиц газа, з — — конденсация газа, с Рз ° Гуре =- У вЂ” — — сноРость зерна, Рз и Рз — нвчальнаЯ плотносп, и начальное давРз ление, у †постоянн адиабаты. ") См., например, (7), гл.
11. 20 в. и. Булак в зз. которое получается, если (3) подставить в уравнение (1). Ряд для зз(р) лает Уз(р) 1 Р' И4 — — — — + — ° рз 8 96 3072' (5) Если ч, =2,4048 — первый корень уравнения ./з(т) О, то уз(Рт)= — г,(тг) --05191 а ( -Р,— г). Иа (4) н (5) получаем: 6,8619+0,4229)( ~' Эта формула позволяет вычислить поправки н первому собственному значению за счет присоединенного объема. Тзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
