1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 83
Текст из файла (страница 83)
АРуав(0Т!гв) Мк (г))( ('! Яп — Яп — Япда аг, У"„„(Л„'га гД вЂ” У',н(А$") г,) фв ЯЬ ив)( мт и(г, ф. !)= — 7 дви в !дви 1 ди 1 дви! =на '( в + + в в ~ г1 ~ г гя б~ф~фв 0~('<+со~ (!) '(дгв ° бт "дфв ! ' ди ~ ди ~ ди ~ ди ~ (2) и(г, ф, О)=! (г, ф), ) г1 (г(гв, 0(ф(фв иг(г, ф, 0)=Р (г, ф), ! решение краевой задачи (1), (2), [3) может быть представлено в виде + ОЭ и(г. ф, !) ~ (А„а соваХсь"в(+ В„за)п ай~~")!) У(„ь (г) ссв —, (4) 'ро «,а=з где (тю>г)У (Ц» ) У' ()ю >г))У (ть(ь! ) (5) 3(го — положнтельные корни уравнения )Уа' (йг,) У' (,! — Уь (Дг,) !У; (йгв) О, ее ~0а чь Ф (5) А„а ~3 ~3/(„ф))( (г),Фдф, л 0 Р) 2 в" Г Фнф фв 33 г, гв Ег А ь = ~ ~ ) (г, ф) тсаа (г) г дг дф, 1 ф.~ )(Ь()аг * " г (5) '-'г'. ' гв 2 г в ()(а)г ) — г'в(т(в г 1 г)(ва (г) кг =— пв.„(а)в ' ' у,в (в(в!г; а (0) где й„к (г) =хкв(Ц"'г) и Аа(а! Ввеки тот же смысл.
что и в задаче 45 тл. У', и а (г, ф) — точка, в которой сообщен мембране импульс К. р — поверхностная плотность массы мембраны (масса единицы площади). 62. Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой задачи и!. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 93.
Р вше н ив. Поместии начала сферической системы координат в центр сосудз и направим ось 6=0 по скорости движения сосуда прв 1(0. Тогда потенциал и скоростей частиц Газа не будет зависеть от угла !р и для и мы получим краевую задачу О(г~ге, 0~6 -и, 0 -'1(+со, п,(г„б, 1)=О, О~6~и. 0~1.<+Оз, и(г.
б, 0)=огсоз6, иг(г, б, 0)=0. О~г~га, О(6~и (2) !3) Естествеиио попытаться искать решение краевой задачи (1), (2), (3] в виде и(г, 6, 1)=в(г, 1)ссв6. Это приводят к следуюшей краевой задаче для в: (4! доз (! д ! дв'1 2в) — =о — ( — ) — —,>, О = — г ° 0~1~+ О, д(з (гз дг(, дг ) гз 1' (га, 1)=0, О ~ 1 ~+со в(г, 0)=от, в!Оч 0)=0, Оейг ~ге, (б) (б) (у) которая решается методам разделения переменныа, прячем для в (г. 1) полу- чается выражение (3) где ра — положительные корни уразяения 1 ру'з (р) — — Х, (р) =О, 2 2 2 (О) ° ~ г'уЗ ( — "," Аа= т о 2 6=1, 2,3, '12 (ра)~ 1 (10) 94.
Потбициал и скоростей частиц Газа является решеииеч краевой аадачи О~г~г. 0<6(и, 0<1<+со, = ыА сов 6 сов оМ. ди дг г —.. г„ и(г, 6, О)=0, иг(г, 6, 0)=0. (2) (3) + ОЭ в(г, 1)=,т Аа аЫ а=-! "(Ю ор.з1 бг га ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Решение краевой зздачн (1), (2), (2) может быть предстзнлено в виде ;- ';(:.') и(г, 8, 1) ИАг+ ~» А = — совзсовы(+ л г— л ! .- 'Ф) + 1) Са сов 6 с<и —, 2 орв( уг гв «=! где р — ноложительные корни уравнения ! ру'з (р) — 2 уз (р)=й гв (-",.'- —::)Ы ' "Р -Л' рад гв + з(г ) Уг гв л=! 2 — аз ()вз)~1 — — ~ гв в гв В 1 гву (Рзг)дг 2 — РЗ (ра) ~ 1 — — ~ о а меч ае не.
Слагаемое ' (Т) 2 ' сов 6 сов л!2, ИАг+ г А„ л=! входяшее в (4), является решением уравнения (1), удовлепюряюшим граничному условию (2), но не удовлетворявшим начальным условиям (й), Фчикпня ИАг сов 6 оси ы! уеовлешоряет граничному условию (2), ио не удовлетворнет урзвнеишо (1), Уз. УРАВНКНИЯ ГИПБРВОЛНЧЕОКОГО ТИПА 1Ф) 96. и(г, 6, 1) — „-(- ()1 Ат Агп к=з Р.( 6) (+ МПЗг и+ — т гз ) и зшй Р„(соз 6) соз —, (1) гз + '~ с, з=! Тле Раш' — Яоложительные коРии УРавиеаиа 1 (ьу' з (Р) — Х 1 (Р)-О. и+ 2 2 з (2) ыз А О и+ 2 (~фг) а а л(л+1) р)п)г е 2 С„ фу, з И)~1 „~ 1* лгп ~ ге п(п-1- 1) Аа.
(4! е гь Уз, (ра)~)в 2 и-1- — рб" 0 ~ г ( гз, 0 =й 6.6 л, 0 (1 ~+со, М„(гз, 6, 1) Рп(созе)К(1), О~а~я, 0~1(+со, л(г, 6, 0)=лт(Г, 6, О) аО, Ольг(гз, 0<6~я. (2) 3 а меч ание. См. замечание в ответу к ирелылущей задаче. 96. Потенциал скоростей частиц таза является решеиием краевой задачи ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ... ( — "',;") Н„(т) Р«(оса а), (4) ) г С« г«) И) и(г, е,() — „,+ ~ «г« е з=~ где щ'з †положительн корни уравнение 1 , (р) — г, („)=6, «+"- «+в (б) 4 ~«1 га (Е р ° ирл зрл(()= — ~ /«(т) а(п (( — т) Лт, 1=1, 2, 3... (6) аи(гп 3 г е е , ~р'""")., ,~--) Р (сов Е) осе оз(-1- )гг 97.
и(г, е, () ~ А„ «== 1 , ("'"") «+- чФ( л«А, Р„( с) сев, (1) ге А„- . ~1(В)Р«,аде)апьде. 2«+1 Р 2й„' (ге) '...Г) )) (г)= з «=0, 1, 2... «)г" .1 (т) ( — ";.)" гк (е ( ~«1) "1 2 «.~. ~ п'г (2) Е 1, 2, 3, ..., л о, 1, 2, 3, ..., (3) Решение краевой задачи (1), (2), (3] может быть предо~валено а анде ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где «ф! — положит!левые корни уравнения 1 р,),(р)- .,) 1(р)=О, а+в 2 л+— 2 (2) и а ,')/(~сс с 8)с Вл ' '~["— " с ) л, ( ) с, (сс") йн! — = /(Г) Рллс (ссж 0) сов «ссу, г(0) Г' (О) О, (2) л )с .
— й=е-й. Решение краевой задачи (1), (2), (3) может быть представлено в виде ., 1"— ':,") '"„'"),+ У Оа(г) л=! н(г, а, Г)- Р сл (оса З) соа сжу, (4) где фс! — положительные корня уравнения 1 )ь)' ! (р) - — У ! (Я)-0 л+а 2 а+в с сл! Г(т) — (à — )сй. й 1, 2, 0...„(В) гл е ж 2 — (рй"')1' - —" л+ ~ )сг ! 2 (О) гада с)а (г) лД~! 1 Аа л †! с 100. Потенциал скоростей частиц газа является решением краевой втдзчи Уд.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИД1ЕСКОГО ТИПА сс»2 а (Л»г) — 0»)У з (Л»г) 1О1. и(г, э. 1)= ~~ А» соваЛ»2 сорб, Г »=! Где Л» — положительные корни уравнения г Лгдуа ()гд) 2 га (Лгд) Лгвд(да (Лга) — 2 )1дв (Лга) 2 2 2 2 — ЛгаУ'э (Ага) — — /э (Лга) Лгдй)в (Лгд) — — днэ (Лгд) 0 (2) 2 2 2 н 1 1 а» Л»гд| а (Лвгд) — Ж а (Л»гд)„0» Л»гад а (Л»гв) 2 "г э (Л»гв)д (3) 2 2 2 2 г в с ~ г [сс».)а (Л»г) — 0»д) в (Л»г)~йг г 2 2 А й 1,2,2,... (Ч) 12 г [да»( а (Л»г) — Ьгг в (Л»г)) 2 2 Одэ ~ — „)-0)22 (о) 2 2 !02. и(г, В, 1) с<вы(+ ргг + сс»Х а (Л»г) — 0»)у (Л»г) + ~~ А» соваЛ»( совй, (ц у'г »=1 Где Лж да», 0» имеют те же значения, что и в ответе и предыдущей задаче, а э а ИА (2) (р (ед, а, г„гв) а а ,'[ — 'Г;("— ) — фд,( —,)~ —,'[.-.'и',(~) — ~ и,( —,')) 0 свА Р) (р(яд, а, гд, г,) ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ (Р'(Ы, о, го ге)= ~2 ~ г!оа(2 (Лаг) — ОАНа (ЛагЦ дг г1 2 2 б) Неоднородное среды 1М. Репением краевой аалачя 0<г~~гг ~ 0(ф<2д, (1) г < г = га, ~ 0< (<+со (1') и (ге — О, ф, (! = и (ге + О, ф, !), ( О е- ф < 2~, и (г, — О, ф, О=-и,(г,+О, ф, Г).
! 0<( <-)-оо, (2) (2') я (г„ ф, ()=О, и (г, ф, О) )(г, ф), иг (г, ф, О! = . (г, е), 0 -, г ~ га, 0 К ф < 2н, (3) является! + ео и(г, ф, !) ~ )(„>,(г)Ц6 сов нф+Ь„аа(пяф)соаЛ „(-(- ли а ! +(а- р+б а)я р)е)яЛ „!Ь (4) тде Лща — корни трансцендентного ураане ия =О, Р,Л э о' е рю )"о ' !Яи, . !д'и, ! ди, ! 'д'-иД Ре —., Ре( —,. + — — '+ дИ (дгг г дг г' дфе(' д~ие (дене ! дие ! дена! Рз — !е' — + — — +-- — (г д(2 ( дг' г дг га г)фе ! ' !т'„(аг,) еЗН (еаг,) ф „(Егее) 2 Р а(о) 2 2(„) чп няявннния гипиовгиличкгкого типа ( гл (ыелгг) Л'и Овелгз) )уи (мелгз) ) (ыт гз)1 уи (меиг) 0<г~го (ил(шиег) А л (шеигз) ~уи (мелг) (и (миегз)1 ул (меиг1У гз г «- гз, Зи гь байр~ р(г))(г, е)Я, (г)созлес(г Пеи вин~ р(г) Вли (г) Йг Зл ги ) йр ~ р (г) 1(г, е) Я л (г) еп ер бг о б„ и ( р(г1 К~~ (г) бг о 1 пря пчь0, 2прил=0, Формулы для аел и Ьие получаются иэ.формул (В) н (9) заменой пояынте- гральной функцйи 1(г, ~р) на р(г, е) и добавлением множителя й , л а знаме- нателе.
2 4. Метод интегральных представлений 1. Применение интеграла Фурье а) Пргоброеманьм Фурье Напомним, что образом Фурье функция р(к, р) с киром г' "бич называется функция Р (х, )ь) - — ' ~ о' "1'вч' р (В. и) с бц2п,з Оригинал восстанавливается по образу с помощью формулы обращения р(к р) — 1 ~ ' ио' р (Х. и) гн,бр. 2п,) (П) — — юи'/. з и,, )— нзп (й, )ь Е) п()ь рл 0)=Ф(), р).,0 ' ='р(д )ь) г(й()л ри О) ") Подробнее см. гл. Ч, у 3. Аналогично определяется преобразование Фурье в пространстве и). 1Оч.
Решение. Применяя преобразование Фурье вида (1) к уравнению (1) и начальным условиям (2) рассматриваемой задачи, получим обыкновенное дифференциальное уравнение н начальные условия Ответы. указания и Решения где и, Ф, чг — образы Фурье функпий и, Ф, зг. Решение уравнения (1) прн начальных условиях (2) записывается в виде И=Ф(Л, р)сезар( + йг(Л, р), р = )гЛз-(-рз. (3) ар Применяя обратное преобразование Фурье, находам: +СО 1( н (х, и, Г) = — ~ ~ Ф (Л, р) сезар(е ' '~*+па' ЫЛг( + 2п ~ .~.Дт<ьь — ' ьь). н> зю ар( ар Подставляя значения Ф(Л, р) и Ч(Л, р), придем к равенству +СО (х. р, ()= — „',, ~ ~ ~ ~ ~Ф(й, Ф аа.рг+р а, й) .',"~ )с Хе'""-П+"Ф вЂ” П11 ВЫВЫЛЫП.
(6) где р=):гЛз+рз. Введем полярные координапе с помощью соотношений $ — х гсозр, Л рсгиб, ~ (6) г) — р=гз(пр, И=рипа, получим: Л(с — х)+р(т) — у) рг сов (8 — ф)=рг с<и~р', где ф' — угол, отсчиты. ваемый, как указано нз рис. 64. Рис 54. Первое и второе слагаемые в правой части равенства (6) обозначим соот ветсгзенно через иг(х. р, () и аз(х, у, 1). В силу (6) мы будем иметы из(х, У. 0 (2 з чг(Ь т)) е ' ' Рг Ыг ЫР йР Ы<Р'. (7) В силу равенства е) 1 огеозе'Ы 2п о «) С (7), р.
666, (16'). те виденными гнперволнческаго типа из (7) получаем 1 )- —,„, Ц $ га. э)' гь(гь е, в Но ") +ее О при а((г„ .....;=! прн а(> г, ((О) 1 Г'аэг:: — гз поэтому ег тл 1 ~ ~ 'К(В, т))тй бф ив можно получить из из дифференцированием по т, если предварительно заменить %'16, т)) на Ф(й, т)). Таким образом эв та Г Г 16 т))г ВР 1 [~'У(С, Ч) б ф 1 д Г('Ф о В г = 'гг(х — 6)э+(у — э))э. вто было л 103. Рещение, Применяя п еоб р разование Фурье аналогично тому, как то ло сделано в решейии предыдущей задачи, мы получим: и(х, у, г, () и,(к, у, г, 1)+ив(х.
у, г. (), (1) +ОЪ и, (к, у, г, () — ~ Ц ~ ~ ~ Ф (6, т), В) сезар(Х хе Ю Ы вЂ” ВН вь — чэ+ таз 6)1 лз с(э) с(( лт лр дт, (й) д2 в Хе'(" (г В'+вот и'Ч е Ы вЂ” Ф) ц Лэ) щ Лй др бт (3) (р=)Г ~р + тв). Переходя к полярным координатам по формулам  — К г МП Всозяь П вЂ” у=г э(п В ми Ф,  — г=г сов Я, где Š— угол между положительным направлением оси г и вектором г = (з — х)(-[-(т) — у)(+(ь — г)й, а 6' — угол между г я р=л(+ Ч-1-тй й я (рис, 55), т. е, принимая направление оси г эа поло ол рной оси в сферической системе координат, получим: эа положительное нап валенке +со+со и и эп зл ! — (к+г мп Всов~р, у+г мп В миф, г сов В)Х Х вЂ” [ — е" ~~~ рзгв з)п В мп В' ар аг сй аВ йв йр'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
