1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Заметим, что при кшкдом значении ! ) О сйормально бесконечный ряд (1') фактически сводится всякий раз к сумме конечного числа членов, так как га г» су(г», Г) О при г< —, су(гж !)=О при !< —. а а „.<., о с Сс ! ! Ксо оасо, СС о сс'ггс о — а!в с С'а, о ссссо) о<а(С-тс Уао (г — т)о — ро где Р=У(х — ц'+(у — Ч)о. а. о., о — '( — ) ( о'о с о'Ггз — о ос о 2па дг + ~ ~ ор'(Ь ч) „...,р с(5с(ч+ а<си ии=а'(и „+и „+и, ), удовлетворяющее начальным условиям и (с-»=О, ис)с о и" (х, у)еоо, связано соотношением [2) и(х, у, г, Г)=ооон*(х, у, у) с репюнием уравнения иф ао (ио„+и*„)+стао, удовлепюряющим начальным условиям и (с »=О, ис ~г-о=У(х, у), что нетрудно получспь с помощью представления решенив задачи (1).
(2) через интеграл Пужсона а). Если же в уравнении перел сои стоит анак мин то нужно произвести замену и(х, у, г, !)=еСоои*(хс у, О, о) См, (21, т. П, стр. 553 — 554, где р=)' (х — $)о+(у — Ч)о, если в уравнении перел сои стоит знак плкю; если же в уравнении перед зтим членом стоит знак минус, то в приведенном ответе всюду сЬ нужно заменить на соо. указание. решение уравнения 521 те нрлвиеиия гиперволического типа 31.
Для потенциала скоростей и(г, Г) получаем выражение при р н(р, т)=1 р ! $' д(т) дт р при 1) 2па „1 у,~а (! т)з ра а а иш зквивалентнсе выражение !< а при Агссв— аг р — — а(1 — — сп ~) дь прн ж 3 е и(р, !)= или, если под интегралом считать д(1) 0 при 1<0, +СО и(Р, 0 — — — д! А!11 — Щ) д~, 2п а е (3) где р Г'хт-Г уз, если прямая. на кспорой расположены источники.
принята аа ось а. Указ ание. и(р, Д является решением краевой задачи дзи /дти 1 ди1 — аа! — + — — 1!, О<р <+со, 0<!<-(-оз, д (др р др) да 1 1(ш~2 р--~=у(1], О<1<+с . р е~ и(р, 0)=иг(р, О)=0. 0<р <+со. и(р, Г) — у~! — )1пр — д(0)1п21 — — д'(т)1п2(! — т]дт-(-в (р, 1), 1 аз аз где е(р, 1)-г0 прн р-ьО, 4 +оь йй и(х, у, 1) — — у ~ у~( — — си~)д4, а ! о Формально и(р, !) в форме (3) может быть получено методом «гпускаь (интегрированием по а от — со до +оз) из решения задачи 27; затем нетрудно проверить, что прн условии ограниченности а'(1) полученная таким образом функция удовлетворяет всем условиям задачи. Замечание. В начале координат и(р, 1) имеет логарифмическую осе.
бенность относительно р. Используя форму (1) для а(р, Г) и применяя интегрирование по частям и формулу Тейлора, можно представить и(р, 1] в виде ОТВЕТЫ. РКАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ а-Уа:*.уеь:ю, а -Уаа~г.н -ег. ро рг(х+ хе)'+ (р+ ро)а* ра = $' (х — хе)а+(к+ де)а. а ( г — га) а'а го -,— (' — — ') Р— о — "а г т а г р(т)о» а)т, г г — го г> —, и и(г, г)- ге <г<+ооа г — го а<в О, а внутри сферы выражение в Б|п — г о мп вг+ (/(г, т) — соа — ге+— и о го мп -- ге +со Х вп Хат „—" аш о) „Г, 0 < г < ге, 0 < г < -)- со, Г где ) — положителыше корни уравнения (й(геЛ)- —— геХ го ) (г) мп (Ааг) г)г Ва ге ) а)па()еаг) ог а вгод в 7 (г) з)п — г.
в в а в о — соз — го+ — о)п — ге о п ге о 3 а меч анне. Выражение для (г(г, г) прн 0 =.У<ге получено в пред. положении, что иет резонанса, т. е. что Х вЂ” не совпадает ни с одним из и собственных значений йв *). 34. Пусть центр сферы лежне на оси Ог в точке хо ) г, ~О, а плоскость з О является граничной для рассматриваемого полупространства. Тогда, обозначая через ()(г. )) решение предыдушей задачи, получим решение задачи 34 а виде и (х. и, х, Г) = 0 (га, Г)+ (г (го.
() пРи ге ) го н г » О, и (х, у, х, т) у (г„ () при 0 <ге <г, -У -> -н*- г. -УоЪд+Ф~:а *) с) разыскании решения в случае резонанса см. задачу 134 ф 3 гл, ц, 33. Лля потенциала скоростей частиц газа вне сферы позучаем выра- жение ок килвниния гипигваличиского типл 35. Для потеициала скоростей получаем выражение ~ -=.) гю) ,,„( Г и — ге при !<в где вектор м )а га У к аз а иве. Решеияе задачи можяо искать в виде ( — '.") В=3(т г Скорость частиц газа 3(уи) л — у + 3(у и) и — у (иу.) лгэ озг (и — едииичиый вектор е направлеиии г; штрих оэиачает диффереицироваииеу по его аргументу) удовлетворяет грзиичпому условию о,= ги при г=г, откуда лая Г'получаем уравиеиие ул, йаа "'+г у ")+ — т у(')=~у~' () го 36.
Для потенциала скоростей О, вызваииых малым возмушеиием„и для возмушеиия давления р получим выражении 0(х, у)=, О<к<+со, к(За<у- к13а, о,(у — х(йа) с(3 е+ (3 сс $3а " с(й е+ (й а ' У к а э а в и е. Для определеиия;6 иужио воспользоваться соотношением (4) ответа к залаче 1*). 3У. 0 (г, к)= Г хэ ! х — М а+ 1г/ — 13з а — ! г — ~/ — (йза — 1+ — — 13а!п ~~;у х Гкч — )к а — ~/ —.
)(и а — 1 Г гу оаг ! и+ т' — 1 — (3 а, — 1+ 3 (3 а (й а 1п т — г~тя — 1 О < к <+со„т с(3 а < — «с(3 а, ч = — ) 1. х )да г ' (па !и и -1- )гчз+ 1 т — 1' ча — 1 р!г=х!аз=уз~а 13 а. 1 т+Р тэ — 1 у та — 1+ — (йа(3 е!п т — г' к — 1 *) Нужно перейти в указанном гсоткошекии к эйлеровым координатам и воспользоваться стациоиаркостью процесса и малосгью воэмущеиий.
По повцзу обозначений см. ответ к задаче 7. 524 ОТВЕТЫ, УДАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ и (х, у) — о сов ых. ()з У'~ — М б] В случае сверхзвуковой скорости лооока 1 — Мо (О и (х, у) = — ' мп ы (х — у У М' — 1). (г К'м — ! У к аз а н и е. В зллиптнческом случае решение следует искать в виде и(х. у)=и*(х)ио(у), а в гиперболическом — в виде распространяющихся волн, учитывая, что в гипсрбознческом (сверхзвуковом) случае малые возмущения распространяются вправо от источников возмущения. Граничное условие (хт получается из точ- ного граничного условия (Л)„..-й)"- пренебрежением малых величин высшего порядка.
3 а и е ч а н и е. Сопоставляя решения в зллнптическом и гиперболическом случае, мы видим, что возмущенна„вызванные волнообразной стенкой по мере удаления от нее (роста у), в зллнптнческом случае быстро затухают, а в гийсрболнческом случае сохраняют свою амплитуду. 40. при 0(г(— го — г п(Го гп го — а('1 го го+г Оо'( — +асса)п — ) прн о'( 2 г а й 0 при — (1 (+со, го+г ЧЧ.. 1)= 0 < г < км пр, О<!(' й г — го г + го прн — <1(— й а гн го — а(1 ор(г, 1)= (Го~ — +агсз1п — ) (г г 0 го < г С+ со прн — (! (+ось с+го Указание. См.
ответ к задаче 8; решение уравнения (1) с краевыми услониямн (2) и (8) можно искать в виде гх) х (г'(г, х) гор( — 1=г (Ь), ~г/ Лля определения Р нужно воспользоваться соотношением (4) отвага к задаче 1. 39. Для определения потенциала возмущенных скоростей, вмазанных влия- нием стенки, получаем краевую задачу (в лагранжевых координатах) (г (1 — Мо) и „+изя — — О, — оэ<х<+со, 0<у<+со, М= —, (1) где а — скоросп* звука в газе, и„(х, О)=(/высотах, — со(х(-(-со.
(2] а) В случае дозвуковой скорости потока 1 — Мо ) 0 уравнение (1) является зллиптическим, уе уРАВнения ГипеРБОлическОГО типа У н а з а н н е. Полагая к=« сез ар, у= с зю ~р, и = он 6, В= а(п 6. выполнить сначала интегрирование по 6 от О до 2п. а затем сделать надлежащую замену переменного ннтегрироиання; зто приведет х выражению (1) условия задачи. 41. У н а з а н и е. Выполнить интегрирование сферичесни симметричных ), (аà — г) (з (ат+ г) волн н по х от — со до +оп, а затем «делась надлежат г щую замену переменного интегрирования„ 42.
Реш ение. Ищем рипсиме уравнения ози /д«и 1 ди) — =а«1 — — + — - -~, ге=к'+рз дР = ~дгз г д4' в виде и(г, г)=е-им) (г); зто дает: и (г, 1) = Асм™ 3з (ДГ) + В Н«о (дг) е гис„д = —, А и  — пРоизвольные Яонстанты *), и,(г, Г)=А« имХ«(аг) — стоЯчаЯ монохроматичесная цилиндрнчесхая волна, ве имеющая особенности при г=О, прн больших г - — ож( (т — — ) и,(г, 1)=А ~~ — еыи., Уд; из(г, Г)=Ва ™Н,'о (дг) — распространяющаяся, «рзсходящаясяь монохроматвчесная цилиндричеснзя волна, имеющая особенность при «=О.
При малых г 21 и,, (г, ()  — - 1и (дг) е 'и', при больших г г (аг — «х — — ) /2е из(г, 1) ~В 1гг р' )ге, Рис. 52. Интегрируя плоскую монохроматнчесную волну к со«в+ а «1п В) по углу 6 от О до и, получим: й,(Г, 1)=Е-Гис ~ с~а«он(6 Е)д6=2ПЕ ииа,(ЛГ), 6= —. а а Если же вьпюлнить интегрирование в плосности комплексного переменного 6 по пути 5 (рнс. 52), то мы получим: -вм ~ вм в,(6 -ганН,о(лг *) 0 фуннцинх Уа и Н'," см. (7), стр. 511, 580, 589, 511 н др. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 44. Решен не.
Примем за плоскость раздела двух сред плоскость г=О (рнс, 33). Величины, относящиеся к полупространству г(О, отметим индексом !, а а(носящиеся к полупространству г Π— индексом 2. Обозначим паданхцую, отраженную н преломленную волны соответственно через « и ,((и,г — а,«,г( фг= ай ф* лге ( 1 ( (и«( — а«««г) Ч!= ! фа= д е( (и*( — а «чг1 (а, ю*, ы, Здесь й,= —, й«= — ' и Аз=--— а, ' ' а, а, мг волновые числа, ыг, ш««м ыз — частоты « падающей, отраженной н преломленной волн, а, и о — скорость расправ странения волны в первой и во второй средах; пг, л««н па †единичн венторы в направлении распространения аютветствунхцих полн; вектор г = = (х, у, г), На плоскости г=-О должны ныполйяться граничные условия «) лг рг (а+фу) =рг((Ч при г=й, (1) Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
